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Fisica 2 = elettromagnetismo e ottica
A T
Bo
m
t₀
H
J
P
λ
Q
E
t
W
μ
R
∫∫
N
Δ
M
I
T
C
ε
π
r²
ρ(x,y,z)
φ
e
γ
∞
R
dxdydz
u
q
e
σ
K
Δ
fₑₘ
ω₀
t
Θ
α
ϕ
φ
v
η
e
Fz
Fc
σ
Legge di Coulomb
Esercitiamoci su cariche puntiformi:
si osserva che la forza esercitata sulle 2 cariche puntiformi q1 e q2 è pari a:
F = K * (q1 * q2) / r221
dove K è una costante universale che nel S.I. vale:
K = 9 * 109 [N * m2 C-2]
se siamo nel vuoto K si può indicare come 1 / 4πε0 dove ε0 è la costante dielettrica nel vuoto, definita a partire
da K come: ε0 = 1 / 4πK = 1 / 4π * 9 * 109 ≈ 8,8542 * 10-12 C2 N-1 m-2
Confronto tra forza gravitazionale e F. elettrica tra elettrone e protone di 1 atomo di idrogeno:
- H
- e-
- qe
- mp = 1,674 * 10-27 kg
- pe
- me = 9,1 * 10-31 kg
- r0 = 0,5 * 10-10 m (10-10 = 1 Å (angstrom))
Forza gravitazionale: FG = G * mp * me / r20 = 6,674 * 10-11 * 1,67 * 10-27 * 9,1 * 10-31 / (0,5 * 10-10)2 = 4 * 10-47 N
Forza elettrica: FE = K * e2 / r20 = 9 * 109 * (4,6 * 10-19)2 / (0,5 * 10-10)2 = 9 * 10-8 N
In fisica il rapporto: FE / FG = 2,25 * 1039 e noto che in questo caso la forza di natura elettrica è estremamente più grande della forza gravitazionale
Per la forza elettrica vale il principio di sovrapposizione degli effetti:
SITUAZIONE 1:
ho 2 cariche puntiformi e ferme:
su ogni ione esercitato una forza
repulsiva, di modulo |F21| lungo
la direzione del segmento che congiunge q1 e q2
SITUAZIONE 2:
tolgo q2 e posiziono q3 su un'altra posizione
questa volta ho invece un'attrazione F32| lungo
la direzione del segmento congiungente q2 e q3
SITUAZIONE 3:
riavvicino q2 e q3 e rimetto q1 nella sua posizione
3) Per una linea L carica:
dE considero un tratto di lunghezza infinitesimo dL contenuto in dq e definisco la quantità dq come: Densità lineare di Carica λ(x,y,z) = dq / dL Se il campo elettrostatico di una carica f. finite tale E(r') = G/z2r possiamo dedurreche il c.e. di infinitesimo di un elemento di carica dq sarà: dEP = dq 4πε0|z - z'|2quindi si vogliamo ricavare E0 a pertine di dq, per le 3 distribuzioni datedobbiamo integrare dEL lungo tutta la distribuzione:
a) Per un volume V:
dτdq scriver dq = ρ(x,y,z)dτ (perchè ρ = dq) e scriver dt = dx dyy dz dL = r - r' dE P dq = ρ(x',y',z') dx dy dz percio il c.e. generato da un volumetto dt è pari adEP = 1/4πε0 |z - z'|2(b) Quindi per ottenere E0(P) un intergro su tutto il volumne V:E0(x,y,z) = ∫ dE = ∭T (x',y'z') |z - z'|2 d x'dy'dz' 4πε0 |z - z'|2 campo elettrostatico di una distribuzione continuan di cariche in quiet
b) Per una superficie S:
E(x,y,z) = ∬ σ(x',y',z') (b>z - x>)|s=dS' 4πε0 |z - z'|2(ingero lungo S')
c) Per una linea L :
E0(x,y,z) = ∫ dE = ⸀ λ(x',y',z')(z - z'>)dl' 4πε0 |z - z'|2(intergo lungo L)
Riassumendo il teorema di Gauss si dice che:
Φ(E0) = Σ i Qi⁄ε0 per cariche puntiformi
Φ(E0) = S (ρ⁄ε0)dτ per una distribuzione di cariche
Posso sfruttare il teorema di Gauss in opportune simmetrie per ricavare ⊩ senza conoscere il valore
Esempio: Carica distribuita su una sfera:
ρ(D)
S prende
dalla distanza
della carica dal centro
Per il teorema di Gauss
Φ(E0) = S E0 dS = E0 4πr2 = T (ρ(t')/ε0)dt'
quindi se E0 4πr2 = Q/ε0 allora E0 = 1⁄4πε0 Q⁄r2
che è proprio il campo generato da una carica puntiforme, quindi è come se la carica fosse distribuita nella sfera fosse tutta concentrata nel centro
Nel caso in cui la funzione ρ(t) non è nota non posso ricavare E0 perciò assumiamo che la carica sia distribuita in modo uniforme: ρ = costante
E dato come prima una distribuzione sferica di carica vogliamo ricavare E0 fuori e dentro la sfera
Caso 1: r > R
per r>R e ricaviamo ecco nell'esempio
quindi E0 = 1⁄4πε0 Q⁄r2
Distribuzione Superficiale e Infinita di carica:
considero un piano di dimensioni infinite con una densità superficiale di carica
Il campo è E0 ed è diretto solo lungo l'asse del piano.
I Metodo per il calcolo di E0x:
considero il piano come la somma di infiniti anelli infinitesimi
dQ = δE = δx
- dE0x = dQ / 4πE0 (x2 + ℙ2)3/2
- δx δd / 2E0 (x2 + ℙ2)3/2
e paramosso agli angoli:
- x = x tg(Θ)
- dx = x / cos(Θ)
- x2 + x / cos(Θ)
se sostituisco:
- dE0x x tg(Θ) δd dQ / 2E0 cos(Θ)
- = δsin(Θ) cos(Θ) dE0
- = δ sin(Θ) dE0 sin(Θ) dΘ
passando all'integrale tra 0 e π/2:
- [ E0x dE0x sin(Θ) dΘ] / E0
- = δ(1 - cos(Θ)) int/2
- = δ sin(Θ) dx
E0= E0
il campo E e in un punto, generato dal piano infinito, non dipende dalla distanza ™
II Metodo per il calcolo di E0:
questa volta considero un cilindro così:
- x = ℵ ∀ E0
- >E0
- app ∀ [E0]
- il flusso lungo la superficie laterale è nullo perché il campo E e la normale alla superficie sono perpendicolari
- - il flusso attraverso le 2 facce inverse Φ(E) = E0 2E0
contemporaneamente per il "teorema di Gauss il app flusso equivale a:
- se ∏
- grafico è due:
- = E0
- perngo Qi: int: ∴
- = Π E0
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