Appunti di Fisica 1 - Dimostrazione dei principali teoremi e problemi

Vogliamo ricavare la legge oraria di due punti materiali isolati che interagiscono tra loro. Essendo isolati,

non ci sono forze esterne che influenzano le equazioni del moto

̅̅̅̅

= ̅

12 1 1

̅̅̅̅

=

̅

21 2 2

Sottraggo membro a membro le due equazioni

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

21 12

− = ̅ − ̅

2 1

2 1

La quantità di destra equivale all’accelerazione relativa del corpo 2 vista dal corpo 1

̅ − ̅ = ̅

2 1

Questa accelerazione può essere intesa come ̅

2 2 2 2

̅ ̅

2 1 (̅ )

̅ = ̅ − ̅ = − = − ̅ =

2 1 2 1

2 2 2 2

̅

Dove è il vettore posizione del corpo 2 visto dal corpo 1. Posso quindi riscrivere la formula iniziale come

̅

2

1 1

̅̅̅̅

= ( − )

21

2

2 1

Definiamo quindi la massa ridotta come

1 2

= < ,

1 2

+

1 2

Per come è costruita, la quantità tra parentesi equivale al reciproco della massa ridotta. Possiamo riscrivere

la relazione come ̅

2

̅̅̅̅

=

21

2

Il problema è quindi equivalente a quello di un corpo singolo. Essendo le forze esterne nulle (il sistema è

isolato per ipotesi), per il teorema del centro di massa l’accelerazione di G è nulla, quindi il centro di massa

si muove di moto rettilineo uniforme. Conosco quindi ̅ + ̅

1 1 2 2

() (0)

̅ = ̅ + ̅ =

+

{ 1 2

̅ () () ()

= ̅ − ̅

2 1

Ottengo un sistema di due equazioni a 2 incognite. Una volta determinata la legge oraria del centro di

̅ () () ().

̅ ̅

massa dall’equazione del moto ottenuta prima, dal sistema posso facilmente ricavare e

1 2

Forze impulsive

Quando avviene un urto, le forze interne al sistema sono impulsive (estremamente intense e applicate per

un brevissimo istante di tempo). Le forze esterne, quindi, sono trascurabili rispetto a quelle interne; di

conseguenza, per la prima equazione cardinale, la quantità di moto è costante

̅ ̅ ()

= ≅ 0 ⟹ ̅ ⟹ ̅ + ̅ = ̅ + ̅

̅ ̅ ̅ ̅

Dove e sono le velocità iniziali dei corpi, appena prima dell’urto, mentre e sono le velocità

subito dopo l’urto. Se l’urto è elastico, ovvero se tutte le forze sono conservative, si ha la conservazione

dell’energia meccanica 1 1 1 1 ̅ ̅

2 2

2 2

) )

(̅ + (̅ + + = + + (′ + (′

) )

2 2 2 2 ̅

̅ ≅ ′

Le energie potenziali si possono semplificare, dato che le posizioni precedenti e successive all’urto

̅

̅ ≅ ′

e sono pressoché identiche

1 1 1 1

2 2

2 2

+ = +

2 2 2 2

I due termini di conservazione, in genere, danno informazioni parziali, ma data la natura di un urto, in

questi processi non si perdono informazioni né sul tempo (istantaneo), né sulla posizione (che non varia).

Tuttavia il problema risulta ancora non risolvibile, dato che, in uno spazio tridimensionale nella migliore

delle ipotesi, si avrebbero 6 incognite (velocità finali dei due corpi in ciascuna delle tre componenti) e 4

equazioni (tre dalla conservazione della quantità di moto e una dalla conservazione dell’energia

meccanica). È per questo motivo che si studiano solo i casi di urti centrali, ovvero in un'unica dimensione.

Urto elastico centrale

Dopo la collisione i due corpi riacquistano le stesse proprietà (forma, struttura, temperatura…) che avevano

prima dell’urto, ad eccezione della velocità.

Data la contemporanea validità della conservazione di quantità di moto e di energia meccanica, siamo in

grado di determinare univocamente il moto dopo l’urto. Metto a sistema le due equazioni

+ = +

1 1 1 1

{ 2 2

2 2

+ = +

2 2 2 2

Raccolgo le masse ( ) ( )

− = −

{ 2 2

2 2

( )

− = −

( )

Divido l’equazione dell’energia meccanica per quella della quantità di moto ottengo (differenza tra

quadrati) + = +

Il sistema è stato abbassato di un grado con la perdita della soluzione banale della mancata soluzione ( =

e = ). Ricavo a questo punto e .

+ = +

{ − = −

= + −

{

+ + − = +

+ = + 2 −

{ = + −

( )

+ = 2 + ( − )

{ = + −

2 + ( − )

=

+

2 + ( − )

=

+

{

è ricavato scambiando e nella formula di , per la simmetria tra i corpi A e B tipica di un urto

elastico. Se le masse dei corpi sono uguali, allora la velocità iniziale di A diventerà la finale di B, e viceversa.

Urto perfettamente anelastico

Dopo l’urto, i due corpi restano solidali.

Questa condizione è traducibile nel vincolo che le velocità finali di A e B siano uguali; metto a sistema con la

conservazione della quantità di moto ̅̅̅

+ ̅̅̅

= ̅̅̅

+ ̅̅̅

{

̅̅̅ = ̅̅̅

̅̅̅

+ ̅̅̅

̅̅̅ = ̅̅̅

= = ̅̅̅

+

Tale risultato poteva essere ottenuto anche ricordando che la quantità di moto totale di A+B è uguale alla

massa totale per la velocità del centro di massa (prima parte della dimostrazione del teorema del centro di

̅ = ̅

massa: ).

̅

Momento di un vettore rispetto ad un polo

Σ

̅,

̅

Sia il piano che contiene il polo O e il vettore si dice momento di rispetto a O il prodotto vettoriale

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

×

̅,

̅.

dove è il vettore che congiunge il polo al primo estremo di

̅.

Il momento di un vettore non dipende dalla scelta di P, purché esso appartenga alla retta che contiene

̅,

Scelgo P’ sulla retta di posso scrivere quindi

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ′ ′ ′ ′

( )

×

̅ = + ×

̅ = ×

̅ + ×

̅

̅̅̅̅̅

′

×

̅ = 0,

Osservo che dato che i due vettori sono paralleli.

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

′ ′

⊥

̅,

̅

Quando P’ è scelto tale che il vettore è detto braccio di

Momento di una forza rispetto ad un polo

̅̅̅̅

̅ ̅

= ×

Se il polo coincide con il centro del sistema di riferimento

̅ ̅

= ̅ ×

La sua unità di misura è [Nm] (non [J], dato che non esprime la capacità di produrre lavoro). Anche in

questo caso, il momento di una forza dipende solo dalla componente azimutale, ovvero quella che produce

rotazione, dato che il prodotto vettoriale “filtra” le componenti radiali.

Momento della quantità di moto o momento angolare

̅̅̅̅

̅ = × ̅ = ̅ × ̅

2

⁄

[ ].

La sua unità di misura è Anche in questo caso, il momento angolare dipende solo dalla

componente azimutale della velocità, ovvero quella che produce rotazione, dato che il prodotto vettoriale

“filtra” le componenti radiali.

̅

̅

Il momento angolare è legato alle rotazioni attorno ad un punto; la velocità angolare vettoriale è

̅

̅

legata alle rotazioni attorno ad un asse. Scegliendo il polo appartenente all’asse di rotazione, e sono

paralleli e legati dall’equazione

̅ =

̅ × ̅ = sin(90°) ̅ 2

⇒ ⇒ =

̅

{ {

̅

= ̅ × ̅ =

Riformulazione dell’equazione del moto con i momenti

Per un corpo puntiforme in un sistema di riferimento inerziale: per esso vale l’equazione del moto

̅ = ̅

Considero ora il momento della somma delle forze che agiscono sul corpo e suo momento angolare

̅̅̅̅

̅ ̅

= ×

̅̅̅̅

̅ = × ̅

̅̅̅̅

= ̅

Scelgo il polo O nel centro del sistema di riferimento in modo che . Calcolo la derivata rispetto al

tempo del momento angolare ̅̅̅̅

̅ ̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

( )

= × ̅ = × ̅ + ×

il primo membro della somma è uguale a 0, dato che i due ve