Appunti elettromagnetismo, Fisica

APPLICAZIONI DI

Il gradiente

Il gradiente è il prodotto di un campo scalare D per si ottiene un vettore, perché è un vettore per

∇

uno scalare. Pertanto, il gradiente è un campo vettoriale che ci indirizza nelle regioni con massima

intensità.

̂ ̂

= + + ̂

Φ Φ(x, y, z)

Dove è il campo scalare

La divergenza

La divergenza è una quantità scalare che determina la tendenza delle linee di flusso di un campo

vettoriale a confluire verso una sorgente o diramarsi (divergere) da essa.

La divergenza avrà un valore molto alto nelle regioni in cui ci sono le cariche, mentre sarà bassa

nelle regioni con un basso quantitativo di cariche. La divergenza verrà utilizzata per individuare le

regioni in cui è presente la carica.

La densità di carica volumetrica nella legge di Gauss corrisponde alla divergenza. La divergenza viene

utilizzata per individuare dove sia massima o minima la variazione di una certa grandezza.

= + +

LA LEGGE DI GAUSS PASSAGGI E RELAZIONI

La legge di Gauss viene denominata in questo modo perché prende il nome da un teorema di analisi

vettoriale che prende il nome di Teorema di Gauss. Questo teorema afferma che:

∇

Sia assegnato un campo vettoriale A, e si calcoli la divergenza di A ( *A), si può scrivere:

̂

∭ = ∯

L’integrale di volume della divergenza del campo vettoriale in dV corrisponde al flusso di A

attraverso la superficie che limita questo volume. Avendo, quindi, un campo vettoriale di cui ne

calcolo la divergenza e calcolo l’integrale di volume di divergenza, questo integrale di volume viene

equiparato a un volume di superficie.

Descrivi le grandezze elettriche fondamentali tensione e corrente e le grandezze da esse

derivate: potenza istantanea ed energia. Che relazione c’è tra potenza ed energia?

Il modello circuitale di nostro interesse è a costanti concentrate. Per descrivere il funzionamento

di questi circuiti si prendono in considerazione due grandezze descrittive che sono la tensione

(d.d.p.) e la corrente.



Corrente vedi pag. 3



Tensione vedi pag. 1

Legge di Ohm

Alla base del comportamento dei circuiti con carico puramente resistivo, vi è la

legge di Ohm. Essa stabilisce che se si applica una tensione V ai capi di

una resistenza R, l'intensità I della corrente elettrica risultante che la attraversa,

è direttamente proporzionale alla tensione e inversamente proporzionale alla resistenza.

Effetto Joule

La corrente elettrica che passa attraverso un componente resistivo (R), genera

una dissipazione di potenza P il cui valore è dato dal prodotto dell'intensità (I) per

la differenza di potenziale (V). Tale fenomeno è detto effetto Joule.



Potenza In elettrotecnica si definisce potenza elettrica il flusso di lavoro elettrico per unità di

tempo che, tramite la definizione di tensione e corrente, si esprime attraverso l'equazione: p=vi.

Dove p è la potenza elettrica erogata o assorbita da un componente elettrico soggetto a una

tensione elettrica v e una corrente i, entrambe potenzialmente variabili nel tempo. Generalmente

nel caso di tensioni e correnti variabili nel tempo si utilizza la potenza media.

L’unità di misura della potenza è il Watt (W), che equivale a 1 joule al secondo (J/s) ed è

equivalente, in unità elettriche, a 1Vx1A (1 volt x 1 ampere) o a 1N x m/s.

L'energia (J) è la capacità di eseguire un lavoro ed indica la quantità di lavoro totale prodotto,

mentre la potenza è la velocità o la quantità di energia trasferita nel tempo.

LE CONVENZIONI NEI CIRCUITI

A seconda del valore positivo o negativo della carica e dal valore dell’intensità di corrente, si riesce

a comprendere se il circuito eroga o assorbe energia.

Convenzione degli utilizzatori (successivamente si farà riferimento a questa convenzione):

 La corrente arbitrariamente viene posta dal + al -. Eseguendo il prodotto di v*i si nota che,

se il prodotto è positivo il dipolo sta assorbendo energia, se il valore – dipolo eroga potenza.

 P>0: il dipolo assorbe potenza.

 P<0: il dipolo eroga potenza.

Nella corrente che segue tale convenzione, le cariche positive passano da un punto a potenziale

maggiore a uno a potenziale minore, quindi perdono energia potenziale e acquistano energia

cinetica, che nel caso del resistore verrà dissipata in calore per effetto Joule, nel caso del

condensatore avverrà un aumento del campo elettrico e per l’induttore l’aumento del campo

magnetico.

Convenzione dei condensatori:

 La corrente arbitrariamente viene posta dal - al +. Eseguendo il prodotto di v*i si nota che,

se il prodotto è positivo il dipolo sta eroga energia, se il valore – dipolo assorbe potenza.

 P<0: il dipolo assorbe potenza.

 P>0: il dipolo eroga potenza.

Nella corrente che segue tale convenzione, le cariche positive passano da un punto a potenziale

minore a uno a potenziale maggiore, quindi acquistano energia potenziale.

Elenca e descrivi gli elementi circuitali passivi di base, i loro principi fisici e le relazioni costitutive

che li caratterizzano

 Gli elementi attivi possono generare energia.

Esempi di elementi attivi sono i generatori di tensione o di corrente, sia indipendenti che

dipendenti.

 Gli elementi passivi non possono generare energia, solo assorbirla o scambiarla.

Esempi di elementi passivi sono: resistori, condensatori, induttori, trasformatori, diodi.

 In un dato circuito un elemento attivo può anche assorbire potenza oltre che cederla, ad

esempio quando carichiamo una batteria.

Il resistore

La proprietà caratteristica del resistore è la resistività r, che corrisponde all’attitudine di un

materiale ad opporsi al passaggio di corrente elettrica.

La seconda legge di Ohm:

R=ρl/ S ρ = resistività R = resistenza l = lunghezza S=sezione

La conducibilità: Misura della capacità di un materiale per condurre una corrente elettrica. È

definita come l'inverso della resistività (ρ). Un resistore può essere:

Lineare, in cui la resistenza R è fissa, corrente i e tensione V sono sempre proporzionali. È

- rappresentato da una retta (V=Ri)

Non lineare (spesso utilizzato in ambito biomedico), in cui la relazione tra i e V è non lineare

- (es. quadratica, esponenziale, logaritmica…). In questo caso, la resistenza cambia al variare

della corrente.

Sia in caso di resistore lineare che non lineare, la potenza è sempre data da:

2

[ ()

() = () ⋅ () = ∙ ()] ∙ () = ∙

Se si conosce la potenza assorbita, misuriamo l’energia assorbita dal resistore come integrale tra t 0

e t della potenza istantanea:

1

1 1 1

2 2

) () ()

( , = ∫ () = ∫ = ∫

0 1

0 0 0

Condensatore Il condensatore è un dispositivo passivo capace di accumulare energia sotto

forma di campo elettrico, perché capace di accumulare cariche in maniera fissa.

Due conduttori di geometria e forma arbitraria [armature del condensatore]

separati da una certa distanza d e un dielettrico con costante ε, costituiscono

un condensatore.

Nel caso di condensatore ad armature piane e parallele la capacità dipende in

modo semplice da superficie A e distanza d delle armature e dalla costante

   

= ).

dielettrica che caratterizzerà il materiale dielettrico centrale (

Ciò significa che più è grande la costante

 più accumulo di carica sarà

consentita.

Per generare accumulo di capacità di un

condensatore, in quanto serbatoio di

energia, si applica una differenza di potenziale V tra i due conduttori. Ciò genera un accumulo di

carica sulla superficie di ciascun condensatore con polarità opposta.

=

= = =

Ez = campo elettrico

La capacità si misura in F (farad, da Faraday).

Immaginando di avere un dispositivo con interruttore e batteria.

Quando si chiude l’interruttore, le cariche immagazzinate sulla batteria hanno spazio per

muoversi;

Le cariche si accumulano sulle armature del condensatore, fino ad un punto di equilibrio (di

differenza di potenziale, ddp), ossia quando il condensatore ha la stessa ddp del generatore

all’interno della pila.

Nel caso della presenza di un resistore nel circuito, se il condensatore risulta essere carico, le

cariche positive andranno dal condensatore al resistore. Anche qui, le cariche si accumulano fino

ad una certa entità (equilibrio). Quindi il condensatore potrà mettere in circolazione solo le cariche

precedentemente accumulate, in quanto ricordiamo che è un dispositivo passivo.

Relazione tra tensione e corrente nel condensatore

Nel condensatore esiste una relazione costitutiva tra tensione e corrente. Sapendo che nei

condensatori q(t) = Cv(t), equivale ad affermare che la carica accumulata q(t) tra le armature è

proporzionale alla tensione v(t) (oltre che alla capacità C, che sappiamo essere costante).

Il condensatore, essendo descritto da una derivata,

è un operatore lineare, ossia mantiene la linearità di

un circuito.

Il condensatore, nel tempo, fa una serie di diverse

traiettorie. Immaginiamo di avere tre condensatori:

Nel punto d’incontro, i 3 condensatori hanno

- la stessa energia;

ha potenza nulla, perché la tensione è

- 0

costante e, quindi, la derivata è nulla;

in fase di scarica; in questa fase, il

- 1

condensatore eroga potenza, per cui la

potenza assorbita <0, mentre la potenza

erogata>0;

[opposto] in fase di carica; la tensione sta aumentando: potenza assorbita>0, potenza

- 2

erogata<0.

Nel caso di valori di C<0 il processo di carica e scarica si inverte.

Induttore

Mentre il condensatore è in grado di accumulare energia sotto forma

di flusso del campo elettrico (ciò è dovuto alla presenza di un campo

elettrico tra le armature), l’induttore (solenoide) è un dispositivo

capace di accumulare energia sotto forma di flusso del campo

magnetico (ciò è dovuto al fatto che la corrente scorrendo genera un

campo magnetico).

Il flusso del campo magnetico nell’induttore è proporzionale alla

corrente che s