Appunti di Economia politica

OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA

Un pastore decide di realizzare un recinto rettangolare. Dispone di F metri di steccato, può scegliere le

dimensioni del recinto che avrà una lunghezza L in metri e un’ampiezza W in metri. Vuole scegliere L e W in

modo da massimizzare l’area del recinto ma non eccedendo F

Problema

a) qual è in questo problema la funzione obbiettivo?

b) qual è il vincolo?

c) quali tra le variabili sono esogene e quali endogene?

a) FUNZIONE OBBIETTIVO: è la relazione che il pastore sta cercando di massimizzare -> L’AREA LW

b) VINCOLO: ha solo F metri di steccato -> 2L + 2W F

i

c) F -> variabile esogena

L e W variabili endogene (w FUNZIONE

max

VARIABIL OBBIETTIVO

L w

,

ENDOGENE 2Wf

vincolo

il 2L

Sotto +

VINCOLO PERIMETRO

SUL

·

L’analisi dell’ ottimizzazione vincolata può rilevare che le risposte più ovvie possono essere sbagliate.

I problemi dell’ ottimizzazione vincolata possono essere risolti utilizzando la valutazione marginale.

Esempio

Siamo responsabili dei prodotti in una piccola azienda produttrice di birra, abbiamo un budget di 1 M per

la pubblicità e occorre collocarlo tra spot televisivi e radio. La pubblicità in radio è meno costosa ma quella

in TV più efficace.

Per capire come varia il ritorno di vendite di una determinata quantità di soldi spesi in radio o in TV

conduciamo uno studio

O

100 000

.

200 000 1800

.

300 000

. ② 4200

000

16 +

500 000 .

18750 3750

. 20200

600 000 21 000 4200

. .

700 000 22 750

. .

800 000

.

900 000 24 750

. .

1 000 000 25 000

. . .

Come investire il budget per massimizzare le vendite? -> problema di O.V

B(T R)

max ,

R

T ,

il vincolo

sotto T 1

R 000 000

+ = . .

OPZIONE 1

Spendere tutto il budget in TV

Nuove vendite per 25.000€

OPZIONE 2

Spendere tutto il budget in radio

Nuove vendite per 5000€

OPZIONE 3 B(T R)

max ,

Suddividere il budget R

T ,

il vincolo

sotto T 1

R 000 000

+ = . . 25 Solo

000 TV

.

↑

1) + 700

900 000 Tv 24750

- =

. 23700

>

-

100 RADIO

000 958

-> =

.

800 000 TV

2) 24 000

I

. . 800

25800

>

-

200 +

RADIO

000 1800

. =

Questo esempio illustra come la soluzione di un problema di O.V dipende da un impatto marginale delle

variabili decisionali sul valore della funzione obiettivo.

L’aggettivo marginale indica come una variabile dipendente cambi come risultato di un incremento

unitario di una variabile indipendente.

I termini variabile dipendente e variabile indipendente possono risultare nuovi, per capirne il significato si

pensi a un legame tra due variabili, come per esempio:

• la quantità prodotta (output),

• il costo totale di realizzazione della stessa.

Ci si aspetta che quanto più un'azienda produca un oggetto, tanto più il suo costo aumenti.

In questo esempio, si può classificare il costo totale dell'oggetto come la variabile dipendente, poiché il

suo valore dipende dal volume della produzione, che invece rappresenta una variabile indipendente.

Il costo marginale fornisce una misura dell'impatto incrementale dell'ultima unità di una variabile

indipendente (l'output) sulla variabile dipendente (il costo totale).

Per esempio, se per aumentare la produzione di una unità occorre affrontare un costo di 5€, il costo

marginale sarà proprio 5€. Equivalentemente, il costo marginale può essere visto come il tasso di

variazione della variabile dipendente (il costo totale) al variare della variabile indipendente (l'output).

Se il costo marginale è 5€, il costo totale aumenta di 5€ quando si produce una nuova unità di output.

Esercizio svolto 1.2 Ottimizzazione vincolata: scelta del consumatore

Supponiamo che un consumatore acquisti solo due tipi di beni, cibo e vestiario. Il consumatore deve scegliere

quante unità di ciascun bene acquistare ogni mese.

• F = la quantità di cibo acquistata al mese

• C = il numero di vestiti

avendo come obiettivo la massimizzazione del proprio benessere.

Supponiamo che il livello di soddisfazione del consumatore quando acquista F unità di cibo e C vestiti sia pari

al prodotto FC. Ogni mese può però acquistare solo una quantità limitata di ciascun bene perché ha un vincolo

di bilancio da rispettare. Per avere i beni occorre moneta e il consumatore ha un reddito limitato.

Ipotizziamo che il consumatore abbia un reddito fisso mensile pari a I e non possa spendere più di tanto nel

mese. Ciascun bene ha un prezzo, e precisamente assumiamo che sia Pf il prezzo del cibo e Pc il prezzo dei

vestiti.

Problema

1. Qual è la funzione obiettivo per questo problema?

2. Qual è il vincolo?

3. Quali variabili (Po C, Pp; Fe I) sono esogene? Quali sono le variabili endogene? Fornite una breve

spiegazione.

4. Rappresentate un caso di ottimizzazione vincolata.

Soluzione

1. La funzione obiettivo è la relazione che il consumatore cerca di massimizzare. In questo esempio sceglierà

la quantità di cibo e vestiario che massimizza il suo benessere rappresentata da FC FUNZIONE

OBBIETTIVO

2. Il vincolo rappresenta la quantità di cibo e di vestiti che possono essere scelti in funzione del reddito.

Se il consumatore acquista F unità di cibo al prezzo unitario la spesa per il cibo sarà data da .

(Pf)(F)

Pf

Analogamente, comprando C vestiti al prezzo unitario , la spesa in vestiario sarà data da .

PC (Pc)(C)

Conseguentemente, la spesa totale sarà data da .

(Pc)(c)

(pr)(F) +

Poiché la spesa totale non può superare l'entrata mensile, il vincolo è (Pf)(f) (pc)(c) I

=

+

3. Le variabili esogene sono quelle che per il consumatore sono già date al momento in cui effettua le sue

scelte d'acquisto. Visto che la sua entrata mensile è fissa, I è una variabile esogena.

Il prezzo del cibo e quello del vestiario sono variabili esogene, poiché il consumatore non può

Pf PC

controllare questi prezzi.

Le uniche scelte del consumatore riguardano le quantità di beni da acquistare, quindi F e C sono variabili

endogene.

4. La formalizzazione del problema dell'ottimizzazione vincolata è la seguente:

FC

Max

F C

, (Pc)(c)

(Pf)(f)

vincolo

il I

sotto =

+

Analisi dell'equilibrio

Un secondo importante strumento della microeconomia è l'analisi dell'equilibrio.

L'equilibrio di un sistema è uno stato o una condizione che permane indefinitamente finché un fattore

esogeno al sistema rimane costante, ovvero fintanto che un agente esterno non sposta il sistema

dall'equilibrio. Per illustrare l'equilibrio, consideriamo un sistema fisico composto da una palla in una buca,

qui la forza di gravità spinge giù la palla, verso il fondo della buca.

·

⑧ FORZA DI

GRAVITA

Una palla, ferma inizialmente al punto A, non rimarrà in quella posizione una volta lasciata libera, ma farà

su e giù fino a quando non si fermerà nel punto B. Dunque, la palla non è in equilibrio quando viene

rilasciata nel punto A, poiché la palla non vi rimane; sarebbe in equilibrio se fosse lasciata nel punto B. Il

sistema rimane in equilibrio quando la palla si trova nella posizione B finché un fattore esogeno non varia,

per esempio fino a quando qualcuno non spinge la palla, facendola muovere da B.

Consideriamo il mercato mondiale del caffè.

La curva di domanda ci dice la quantità di caffè che verrebbe comprata a ogni dato prezzo in questo

mercato "

Curva di domanda: cosa accadrebbe se…?

Esempio: cosa accadrebbe alla quantità di caffè

richiesta de il prezzo fosse 2,5€ all’etto?

La curva di domanda ci dice che con un prezzo

di 2,5€ la quantità acquistata sarebbe Q2.

Pendenza negativa

I prezzi più alti tendono a far ridurre il consumo

di caffè quindi la domanda

La curva di offerta ci mostra la quantità di caffè

che nel mercato sarebbe disponibile per la

vendita a un dato prezzo.

Curva di offerta: cosa accadrebbe se…?

Cosa accadrebbe alla quantità di caffè offerta se questo fosse venduto a 1,5€ all’etto. La curva ci mostra

che in questo caso la quantità offerta sarebbe Q1.

Pendenza positiva

L’aumento dei prezzi tende a stimolare la produzione.

In che modo il concetto di equilibrio si collega all’offerta e alla domanda.

In un mercato competitivo l'equilibrio è raggiunto:

a un prezzo in cui la quantità offerta in vendita eguaglia la quantità richiesta dai consumatori.

Il mercato del caffè sarà in equilibrio quando il prezzo raggiungerà i €2,00 per etto; a questo prezzo i

produttori offriranno Q3 etti e i consumatori acquisteranno proprio questa quantità in termini grafici si

ha l'equilibrio quando la curva di domanda e quella di offerta si intersecano.

Tutti i consumatori che sono disposti a pagare €2,00 per etto possono acquistare il caffè, e così pure tutti

i produttori disposti a vendere a quel prezzo possono trovare compratori. Il prezzo del caffè può

rimanere fisso a €2,00 per un tempo indefinito, visto che non c'è alcuna pressione che lo spinga verso

l'alto o verso il basso; in altre parole, siamo in una situazione di equilibrio.

• Cosa accade in un mercato competitivo al realizzarsi di un prezzo non di equilibrio?

Per esempio, per quale motivo il mercato del caffè non sarebbe in equilibrio a un prezzo di €2,50 per

etto? A questo prezzo, sarebbero richiesti solo Q2 etti di prodotto, mentre ne sarebbero disponibili per

la vendita Q5 si avrebbe un eccesso di offerta di caffè.

Alcuni venditori non troverebbero compratori per il loro caffè e per trovare acquirenti i produttori

dovranno essere disposti a vendere il loro prodotto a un prezzo minore a €2,50 per etto. Il prezzo di

mercato dovrà scendere fino a €2,00 per etto, in modo da eliminare l'eccesso di offerta.

Allo stesso modo, ci si potrebbe chiedere perché un prezzo al di sotto dei €2,00 per etto, per esempio

1,50, non sia di equilibrio. A tale prezzo, la quantità richiesta sarebbe Q4 etti, mentre ne sarebbero

disponibili per la vendita solo Q1 un eccesso di domanda; così alcuni acquirenti potrebbero non

riuscire a vedere soddisfatta