Appunti di calcolo numerico

Errore assoluto

E_a = |x - x̄| dipende dall'ordine di grandezza

Errore relativo

E_R = |x - x̄| |x| non dipende dall'ordine di grandezza

x = ± 0,a₁a₂a₃...a_m ... * β^b a₁ ≠ 0 β = basenumero in virgola mobile normalizzata

a₁a₂a₃...a_mm ... = MANTISSA a₁ ≠ 0β = base di numerazioneb = CARATTERISTICA (esponente delle base).

Dati x e x̄ in V.M.N (virgola mobile normalizzato)|x - x̄||x| ≤ 10^-k , x ≠ 0

x̄ approssima x con K cifre significative. (attendibili non esatte)

NORMA VETTORI

p=1   ||x||₁ =   ∑ |x_i| Norma 1

i=1

p=2   ||x||₂ = (∑ x_i²)^1/p Norma 2   ||x||_p = [∑ |x_i|²]^1/p

p=∞   ||x||_∞ = max |x_i| Norma inf.  p > 1

l'errore relativo e assoluto tra vettori si calcola usando la stessa norma

NORME MATRICI

p=1   ||A||₁ = sup   ||Ax||₁ =   max    ∑ |a_ij|   Il massimo delle somme

x∈R^m   ||x||₁  j=1,...,n   i=1,...,m dei valori assoluti degli

x≠0       elementi pesi per colonna

p=2   ||A||₂ = sup   ||Ax||₂ =   max λ_i (A^TA)

x∈R^m   ||x||₂  i=1,...,m

x≠0      

p=∞   ||A||_∞ = sup   ||Ax||_∞ =   max    ∑ |a_ij|   Il massimo delle somme

x∈R^m   ||x||_∞   i=1,...,m j=1,...,n dei valori assoluti degli

x≠0       elementi pesi per riga.

Norma Frobenius   ||A||_F = √( ∑ ∑   a_ij² )

i=1,...,m j=1,...,n

Errore assoluto

E_a = |x - x| dipende dall'ordine di grandezza

Errore relativo

E_R = ^{|x - x|}/_|x| non dipende dall'ordine di grandezza

X = ± 0.a₁a₂a₃...a_m... . β^b a₁ ≠ 0   β = base

numero in virgola mobile normalizzato

a₁a₂a₃...a_m... = MANTISSA   a₁ ≠ 0

β = base di numerazione

b = CARATTERISTICA (esponente della base)

Dati x e x in V.M.N (virgola mobile normalizzata)

|x - x| / |x| ≤ 10^-k, x ≠ 0

x approssima x con K cifre significative. (attendibili non esatte)

NORME VETTORI

p=1    ||x||₁ = ∑_i=1ⁿ |xi| Norma 1

p=2    ||x||₂ = ( ∑_i=1ⁿ |xi|² )^1/p Norma 2

p=∞    ||x||_∞ = max_i=1...n |xi| Norma inf. P≥1

        ||x||_p = ( ∑_i=1ⁿ |xi|^p )^1/p

L'errore relativo e assoluto tra vettori si calcola usando la stessa norma

NORME MATRICI

p=1   ||A||₁ = sup_x∈R^m ||Ax||₁ / ||x||₁ = max_j=1...n ∑_i=1^m |a_ij|

        Il massimo delle somme dei valori assoluti degli elementi pesi per colonna

p=2   ||A||₂ = sup_x∈R^m ||Ax||₂ / ||x||₂ = √max_i=1...n λ_i (A^TA)

p=∞   ||A||_∞ = sup_x∈R^m ||Ax||_∞ / ||x||_∞ = max_i=1...m ∑_j=1ⁿ |a_ij|

        Il massimo delle somme dei valori assoluti degli elementi pesi per righe.

Norma Frobenius

||A||_F = √(∑_i=1^m ∑_j=1ⁿ a_ij²)

Def (Norma vettore)

Una norma vettoriale è una funzione ||·|| che associa ad un vettore x ∈ ℝⁿ un numero reale ||x|| t.c.

• ||x|| ≥ 0      ||x|| = 0 ⇔ x = 0̅