Appunti di Calcolo numerico

Analisi e calcolo numerico

Corsi e docenti

Paolo Faragalla

Francesca Pitolli

francesca.pitolli@uniroma1.it

Docente: Michela Rovanelli - m.rovanelli@uniroma1.it

Tutor: Michela Tartaglione

Orario tutoraggio: Giovedì pomeriggio, 15:00 - 17:00

Libri consigliati

• L. Gori, Calcolo Numerico, Ed. Kappa 2006
• Gori - Lo Savio - Ciolli, Esercizi di Calcolo Numerico, Ed. Kappa 2007

Libri per approfondimento

• Quarteroni - Saleri, Giroscopio solido scientifico, Springer, 2017
• Conte - de Boor, Elementary numerical analysis, SIAP, 2018

Materiale didattico

• Lezione scaricare prof. Vittorio Bruno: slide fatte bene
• Luccarella: slides

Corso per MATLAB

MATLAB ON RAMPE-LEARNING: e-learning.uniroma1.it

Concetti da sapere

• Analisi 1
• Analisi 2
• Geometria - matrici, determinanti, autovalore, ecc.
• Sviluppo in serie di Taylor

Esame

• Scritto (orale facoltativo)
• Non votatura la bocciatura

Esempi di esame

• 6/06/2019 - 2 orale, programmazione (un'ora)
• 12/07/2019 - 2 scritti, orali, analisi
• 23/08/2019 - Annullato causa dismettere

Lunedì dalle 16:00 - Aula 4 - Portare il compito

Giovedì dalle 16:15

Voto finale

• 3 esercizi - max (30/30)
• Esercizio di programmazione - max (34/30)

Giustifica il risultato

Problemi del mondo reale

Scrivere: punti che ruotano

Modello matematico → Soluzione analitica

Algoritmo → Metodo numerico (scegliere il metodo numerico in linguaggio di programmazione)

Viene di approssimamento

Soluzione numerica

Soluzione approssimata (subiotone di tipo teorico)

Ricerca degli zeri di una funzione

f(x) = 0

f: R → R

aX + b = 0 a, b ∈ R

Esempio

Reggio affondare un disco nella sabbia di 30 cm, calcolare la pressione esercitata in funzione del raggio del disco

3 dischi (dati numerici):

• r₁ = 2,5 cm ρ₁ = 0,78 kg/cm²
• r₂ = 5 cm ρ₂ = 0,93 kg/cm²
• r₃ = 7 cm ρ₃ = 1,16 kg/cm²

Modello numerico:
p(r) = K₁e^K₂r + K₃π
K₁, K₂, K₃ > 0 queste costanti devono essere maggiori di zero, perché la pressione aumenta con il raggio

- P(r₁) = K₁e^K₂r₄ + K₃r₁

- P(r₂) = K₁e^K₂r₂ + K₃r₂

- P(r₃) = K₁e^K₂r₃ + K₃r₃

Sistema di 3 equazioni non lineari
Voglio calcolare valori approssimati di K₁, K₂, K₃

Calcolo dei massimi e minimi di una funzione

Per trovare i massimi e i minimi risolvo le derivate parziali rispetto x ed y uguali a 0

Sistema di equazioni non lineari

Esempio "Tema immigrazione"

Il modello tasso della crescita della popolazione = costante della popolazione₀ = diminuzione della popolazione
N(t) = N(t₀) e ^{(t-t₀)}

Condurre i seguenti dati:
t₀ = 0
N₀ = 10⁶ = 1 milione di giovani all'istante iniziale
v = 50.000 = tasso di immigrazione in 1 anno
t₁ = 1 => 1 anno
N(t₁) = 1.156.000

Calcolo quindi e = e + 0,50 (e¹-1) - 1,1564 = 0
f'() > 0
I = [0,05 - 0,15]

Esempio: Funzione polinomiale

Voglio calcolare gli zeri
Troppo grande l'intervallo
Un intervallo più piccolo per vedere tre zeri
0

Restringendo
Quindi riesco a vedere due radici

Esempio

f(x) = cosh x - cosh x - 1 = 0
f(x) = f(-x)   la funzione è pari e simmetrica rispetto asse Y
f(x) = 0   condizione per trovare gli zeri
cosh x ≠ 1
x ≠ (2K + 1)π/2
Disegno le due funzioni e vedo i punti di intersezione
1/cosh x   grafico in rosso
cosh x   grafico in nero
L’unico vertice nel zero e non ad x nel vertice negativo zero
L’intersezione tra i due grafici mi da gli zeri della funzione iniziale

Metodo a due pezzi ← Metodo di bisezione

f(x) = 0   f : ℝ → ℝ∃ ξ ∈ ℝ   tale che   f(ξ) = 0

Ipotesi

• f ∈ C(I)   I = [a,b]   → ipotesi di continuità
• ∃! ξ ∈ I = [a,b] f(ξ) = 0   radici di esistenza di una sola radice in un unica radice garantendo nell'intervallo [a,b]

I = [a,b]   intervallo scelto
b-a   ampiezza del mio intervallo scelto
Nel metodo di bisezione divido l’intervallo scelto in un intervallo più ridotto e quando dal termine bisezione divido in due l’intervallo torno a ridurre l’intervallo e quando finisce col cui errore che nel quale assumiamo   ξ

Convergenza

Errore di troncamento   e_k = ξ - X_k

Il procedimento iterativo converge se il limite tende a zero

Procedimento iterativo

X_k = a_k + b_k / 2
lim e_k = lim | ξ - X_k | = 0