Appunti Calcolo numerico

ERRORE ASSOLUTO E RELATIVO

x ∈ ℝ; x̄ ∈ ℝ x̄ approssimo x

e_a = |x - x̄|

e_r = |x - x̄| / |x|, x ≠ 0

Esempio:

1. x = 1; x̄ = 1.1

e_a = 1

e_r = 1 / 10 = 10^-1

2. x = 10,000; x̄ = 10,001

e_a = 1

e_r = 1 / 10,000 = 10^-4

In questo esempio, l'e_a è uguale nelle due coppie di dati, ma la 2^a coppia ha e_r minore => più precisa.

Misurando l'e_a si potrebbe concludere che le due coppie hanno un errore uguale, ma siccome è l'e_r diverso, la 2^a coppia è più precisa.

Se non conosciamo x ma conosciamo x

lo stima di l'e_a mi permette di dire quale cifra significativa di sono in x

Rappresentazione in virgola mobile normalizzata

x = ± 0.a₁a₂ ... a_n x 10^b, a₁ ≠ 0

Rappresentazione in cui le prima num dopo la virgola deve essere ≠ 0

x = ±0.37 = 1037.10² = 0,1037 . 10²

Rappresentazione a virgola mobile normalizzata

Lo capisci è univocamente definita

Se approssimo x̄ = x ho una stima di e_r e posso concludere quante cifra di x sono accettabili. (Calcolo delle matrici)

Cifre significative

Se xe xr è pari espresa in virgola meno numerata e x < 10^-k con x ≠ 0 e n > 0

invece x ha k cifre significative altre stabili/certi o attendibili.

Esempio 1:

x = 10.000

x = 9.999 = 0.9999 · 10⁴

er = 10.000 - 9999 = 1 → 10⁴

quindi k = 4. Tutte le cifre di x devono essere considerate attendibili

Esempio 2:

x = 0.42563

x = 0.42720

er ≈ 3.7 · 10^-3 in questo caso 3.7 · 10^-3

3.7 · 10³ ≤ 10² → k = 2

Esempio 3:

x = 0.151997 · 10²

x = 0.1520000 · 10²

er ≈ 2 · 10^-5 ≤ 10^-4 → k = 4

Norme di Matrice

Def: Una norma in R^{n x m} è una funzione da associare a ogni matrice A ∈ R^{n x m} che soddisfa alcune proprietà:

1. |A| = 0 se e solo se A = 0 Tutte gli elementi della matrice sono = 0
2. |α x A| = |α| |A| ∀ α ∈ R
3. |A + B| ≤ |A| + |B| ∀ A, B ∈ R^{n x m}
4. |A x B| ≤ |A| |B| ∀ A, B ∈ R^{n x m}

Norme indotte (da matrici)

• Definite mediante le norme di un vettore

|A| = sup_{X∈Rⁿ X≠0} |A x X| / |X| Il rapporto tra due norme vettoriali

• Per ogni sotto si estrarre il vettore di valore di X in R^m

• A ∈ R^{n x m}

X ∈ R^m

A x x ∈ Rⁿ

• Misura quanto una matrice A può trasformare i vettori X in Rⁿ

Con |A| = sup_{X∈Rⁿ‖X‖=1 X ≠ 0} |A x X| / |X|

La scelta dipende dalla definizione della norma

Norma 1

A = (a_{i, j})

|A| = sup_{X∈R^m X≠0} |A x X| / |X| = max ∑_j=1ⁿ |a_{i, j}|

a₁₁a₁₂...a_1n a₂₁a₂₂...a_2n ............ a_n1a_n2...a_nn

= max { |a₁₁| + |a₂₁|+ ... + |a_n1|, |a₁₂| + |a₂₂|+ ... + |a_n2|, ..., |a_1n| + |a_2n| +...+|a_nn| }

dopo aver fatto tutte le somme delle varie colonne della matrice

Utile il vettore finale e le colonne massime

6(3/octet)/03

Fissate le base β e le numero h de cifre disponibili per la rappresentazione dei numero, le numero Nʹ

indica quali è l'ordinata di un numero intero se non ne è disponibile il numero esatto di cifre per rappresentarlo.

Supponendo di poter rappresentare i numeri iterazioni solo in numero h al cifre, allora si può trovare il più grande e il più piccolo numeri rappresentabili.

β^h-1-1 massimo numero rappresentabile -(β^h-1-1) minimo numero rappresentabile

Esempio:

Trasformazione di un NUMERO REALE (X) 1≤X<=1

Come si trasforma la parte decimale:

DA BASE 10 A BASE 2

C x 10 = (C₀ C₁ C₂... C_n)₂

• x = 1/4

1 x 2 = 2 x 1 = 1 → a₁ = 0

1 x 2 = 0 → si ferma il procedimento

(¹/₄)₁₀ = (0,01)₂

x = ³/₈

8 x 2 = 1 → a₁ = 0

6 x 2 = 1 → a₂ = 1

(³/₈)₁₀ = (0,011)₂

x = ¹/₁₀

1 x 2 = 0 → a₁ = 0 1 x 2 = 1 → a₂ = 0 1 x 2 = 2 → a₃ = 0 1 x 2 = 8 → a₄ = 1

1/(1,0001)₂ si ripete in modo periodico (0,001001₂) qui del questo numero non si può rappresentare loro parte prima

Aritmetica di precisione finita

Gli errori sono commessi non nell'esecuzione delle operazioni a macchina,

ma perchè il risultato dell'operazione non è più rappresentabile a

(operazioni elementari):

Posti questi simboli si descrivono:

1. Somma di due numeri in macchina.
2. Si trasforma il numero con caratteristica minore nel numero con caratteristica maggiore
3. Il numero con caratteristica minore perde la rappresentazione in macchina (cifre meno significative)
4. Si sommano le mantisse
5. Si esegue il riporting del risultato

1. esponente esatto

2.

3. Si eliminano le

non è un risultato esatro

→ esatto

non è un risultato esatto

→ esatto

Si potrebbe completare un calcolo per l'addizione a causa delle

simmetrie nella sfera dispersiva per rappresentare i numeri

se ho due numeri in macchina (x,y) la differenza:

anche per la differenza funziona allo stesso

ALGORITMO

Un algoritmo è una sequenza finita di istruzioni...

Esempio 1

... scritto il vettore A_i =a₁,...,a_n...

1. Pon s=0
2. Per i=1,...,n
   • s=s+a_i

...

L'inizializzazione s=0 è necessaria...

Esempio 2

...calcol gestione calcolo...

1. Per i=1,...,n
   • s=s+x_i

Le racchi non deve essere...

...

- trovare l'intervallo in cui la funzione cambia segno

_a < _b tale che f(_a)f(_b) < 0

(tendenza)

^lim_n→∞(_bn - _an) = 0 la lunghezza dell'intervallo tende a 0

^lim_{n→∞ xn} = x* quindi il procedimento CONVERGE

(l'unico mezzo tende alla soluzione esatta)

questa è necessaria condizione perché funzioni.

Per come è costruito il Metodo, gli intervalli sono scelti successivamente in modo tale che f(_an)f(_bn)