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Problemi
- P. Ben Condizionato (facile)
- P. Mal Condizionato (Difficile)
Algoritmi
- A. Buoni (stabile - efficienti)
- A. Cattivi (inefficienti - instabili)
Esempi:
-
Algoritmo cattivo per calcolare fn(x) = 1
(1+n)fn = hn hn ≠ 0
-
h = 1/2: for 5 = 1:30, (1+l)h -1/ hn h, h = h/10, pause end
In Matlab = 16 cifre = simboli: ( ) n
Il problema delle 16 cifre massime con perdita delle successive viene chiamata Cancellazione Catastrofica
-
x² - 2x + 1 = 0 (x - 1)² = 0 x = 1 senza errori
In generale non sovrapporre il risultato:
Es. x = 0.00000123456789 ?
È giusto? x² - 2x + 1 = 0 ← MAL CONDIZIONATA
C sono sempre piccoli errori
x² - 2x + 1 = E, piccolo errore
(x - 1)² = E x = 1 ± √E
Per esempio
c = 1016
l'errore dell'input
l'errore dell'output > import errore
Si perde di approssimazione dell'errore
L'errore dell'output è 100 milioni, più grande dell'errore dell'input
x0 = 1, ... 900, xm, 1000 xm
x1 = 1/3 (33)
m = 1
x2 = 300 3 900
= 9
R = 32
m = 2 x3 = 300 3 1000 900
9 9 9 3 27 27
R = 33
xn = x0 3n (3 x 1000)
In teoria A = 1, B = 0
In pratica A ≤ x1, B ≠ 0
→ B opera più piccolo di 0 su ogni iterazione (x3) aumenta
→ B diventa dominante e il risultato diventa sbagliato
→ Problema mal condizionato
In= ∫xn e-x dx
In = I0 x e-x dx
u = xn
x e-x dx = e-x
= [(E - 0) - e-x]
In = [I0 e-x -] = (E - 0) e1
In = 1
In = [(nic) xn] e-x dx = [ ] (n - 1)
(-n) xn e-x dx = [(m n) x1] · ex = [ ] (n - 1)
In+1 = x e(n + 1) 2
In teoria (B ≥) condizioni - Algoritmo (mal condizionato)
Metodo di Bisezione
f(x) x
a (a+b)/2 b
(a+b)/2 = a+b/2
f(a+b/2) Se f(a+b/2)=0
Se f(a+b)>0 cerchiamo nell'intervallo [a,b/2]
Se f(-a+b) AUTOVALORE SEMPRE BEN CONDIZIONATO
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