Calcolo numerico - Appunti

Problemi e algoritmi

Algoritmi ben condizionati e mal condizionati

P. Ben condizionato (non difficile)
P. Mal condizionato (difficile)

Algoritmi buoni e cattivi

A. Buoni (robusti - efficienti)
A. Cattivi (inefficienti - instabili)

Esempio

1. Algoritmo cattivo per calcolare f'(x) = 1
   (int) + = , = h: = 1; for i = 1 to 10, h: = n h/10; pause end

In Matlab <= 16 cifre & simboli:

(-1) = Il problema delle 16 cifre massime con perdita delle successive viene chiamato cancellazione catastrofica

2. x² - 2x + 1 = 0
   (x - 1) = 0
   x = 1 senza errori

In generale non sappiamo il risultato
eg. x = 0.0000000000123456789 ? È giusto? x² - 2x + 1 = 04 Mal Condizionata
C sono sempre piccoli errori: x² - 2x + 1 = E = piccolo errore
(x - 1)² Ex = 1 + √E

Problemi e algoritmi

P. Ben Condizionato    (non difficili)
P. Mal Condizionato    (D(f,c,ε))
A. Buoni    (stabile - efficiente)
A. Cattivi    (inefficiente - instabile)

Esempio

1. Algoritmo cattivo per calcolare f'(x) = 1
   (int)    =    h = 1    h ≠ 0h = x, for x=1 = 1.30, ((1+b)-1)/h, h=h/10, pause end

In MatLab    > 16 cifre    e simboli: (x-1)    ∅ Il problema della 16 cifre massime con perdita delle successive viene chiamato cancellazione catastrofica x²-2x+1=0 (x-1)² = 0    x=1    senza errori In generale non troviamo il risultato es. x=0.0000000123456789 ? È giusto?    ∅    x²-2x+1=0    MAL CONDIZIONATA Anche sempre piccoli errori x²-2x+1=ε    = piccolo errore (x-1)² = ε    x=1±√ε

Per esempio ε = 10^-16 errore input 10^-8, 10^-9 errore output errore output > input errore Ordine di approssimazione dell'errore L'errore dell'output è 100 milioni più grande dell'errore dell'input

Ordine di approssimazione dell'errore

L'errore dell'output è 100 milioni più grande dell'errore dell'input

3. x₁= 1, 900x₁= 1000x_mx₁ = 1/3 (3?)m=1:
   x₂ = 900 / 3 = 1000
   x₃ = 9000 / 9 = 1000
   x₄ = 9000 / 9 = 1000
   x_m = 3²m=2
   x₃ = 900 / 3 = 1000
   x₄ = 9000 / 9 = 1000
   x₅ = 900 / 3 = 1000
   x₆ = 9000 / 9 = 1000
   x_m = 3³ (***)

x_m = x³ In generale x_m 1/3^{(>3 (3000))} con x₀ = 1, x₁ = x/3 Intanto A≠1, B=0 In pratica A≠1, B≠0 B appare più piccolo e a sue doppie iterazioni (3000)^m amenta B diventa dominante e il risultato diventa sbagliato

Problema mal condizionato

4. In = ∫_(0,1) xⁿ e ^x dx
   In = ∫_(0,1) xⁿ e^x dx x = u^-x e^xx^e( e^x-e^o e^x( e^-o) x^ex dx In+1 = ∫_(0,1) xⁿ¹ e^x dx In = 1/3.sup=n = (n(n!)) et. e Risolubile Indebisoo) I = ∫₀¹ x⁴ dx = ? problema Algoritmo 1 A = 1 - x I_k = 2 - m I_n-1 Algoritmo 2 ∫_x¹ A⁴ - 1 = 1 - x² I = ∫ x⁴ dx = 1 - x³ dx = ...FUNZIONA MALE! INSTABILESTABILE ... adesso confronto...Il problema di cancellazione abolbica è null...quando abbiamo più negative, non è, non nel caso di titolo che deriva

Esercizio 1

1999.9999 999.01 Δ 10 B = -10.001 Problema calcolare l'inverso di A: A ^-1 non è a B = (A - 1) ^-1 → il PROBLEMA MAL CONDIZIONATO

11/03/23 P(Z) = ₂₀C_z (x-5)^z z=1,2,3,...,20 g(x) = P(x) + un piccolo errore = f(x) = 6 * 10 ^-23 * ...pf cit di Z de (DGP) sono molto diversi.

Conditions

D1. Come riconosco quanto mal condizionato è questo polinomio P(x)? x - x₀=0 z=∞ x + x₀ = √2 -2 -x₀ = ∞