Appunti di Calcolo automatico delle strutture (Straus7)

Università di Bologna 26

/

Meccanica

Computazionale

Teoria di Calcolo Automatico delle Strutture

Autore

Professori Antonio José Gregorio Rega

Stefano De Miranda

Giovanni Castellazzi

CAS - Homework

Utilizzo del software agli elementi finiti Straus7

Antonio José Gregorio Rega

Matr. 0001241281

Docenti: Prof. Ing. Stefano De Miranda

Prof. Ing. Giovanni Castellazzi

·

Alma Mater Studiorum Università di Bologna

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile - DICAM

Corso di: Calcolo Automatico delle Strutture

Dispensa teorica

Bologna Anno Accademico 2025/2026

CAS - Homework

Copyright © 2026 - Antonio José Gregorio Rega.

Il presente lavoro è un lavoro originale, elaborato esclusivamente per questo fine. Tutti gli

autori e le fonti consultate per la sua stesura sono stati debitamente citati. È consentita

la riproduzione parziale con citazione dell’autore e riferimento al corso di laurea, anno

·

accademico e istituzione —Alma Mater Studiorum Università di Bologna.

La stesura di questo lavoro è stata facilitata dall’uso di una versione adattata del template

José Areia, 2023 IPLeiria-Thesis. Abstract

® Guida alla lettura

Il presente elaborato si configura come una guida teorica organica dedicata ai fondamenti

del calcolo automatico delle strutture e all’applicazione del metodo degli elementi finiti

(FEM) nell’ingegneria civile. L’obiettivo primario del manuale è garantire al progettista

una solida base matematica e meccanica per l’utilizzo consapevole dei moderni codici

di calcolo strutturale, fornendo gli strumenti critici necessari per superare il limitante e

rischioso approccio puramente operativo di tipo black-box.

La trattazione ripercorre in modo sistematico l’iter della meccanica computazionale:

partendo dall’idealizzazione del problema fisico e dalla cinematica del continuo, il testo

esplora la formulazione del metodo degli spostamenti e l’approccio in forma debole basato

sul principio dei lavori virtuali. Vengono illustrate le derivazioni analitiche delle matrici di

rigidezza per elementi monodimensionali (bielle e travi piane) e bidimensionali (piastre e

membrane), includendo la gestione delle connessioni rigide, degli svincoli e dei modelli a

telaio equivalente.

Rispetto alle formulazioni di base, il volume estende l’indagine a tematiche strutturali

avanzate. Un ampio spazio è dedicato alla dinamica delle strutture, affrontando l’analisi

modale, lo smorzamento e i molteplici algoritmi di integrazione temporale diretta. Ven-

gono inoltre trattate in dettaglio la valutazione della convergenza numerica, la stima a

posteriori dell’errore e le strategie di submodeling. Infine, il manuale esplora la risoluzione

dei problemi complessi legati alla non linearità meccanica, tramite tecniche di controllo

incrementale-iterativo e modelli a fibre, e alla non linearità geometrica, analizzando i

fenomeni di instabilità e le risorse post-critiche.

Un’attenzione particolare viene posta, trasversalmente ai capitoli, all’analisi dell’errore

(di modellazione, discretizzazione e soluzione) e al processo di recovery delle sollecitazioni.

Il fine ultimo è formare una sensibilità ingegneristica che consenta non solo di modellare

strutture articolate, ma soprattutto di dominare l’algoritmo, garantendo la corretta inter-

pretazione e la validazione critica dei risultati numerici ottenuti in ogni ambito dell’analisi

strutturale.

Keywords: Analisi strutturale, metodo degli spostamenti, Straus7, FEM, telaio piano,

strutture iperstatiche. i

Indice

Elenco delle tabelle v

1 Introduzione al FEM 1

1.1 Il processo di simulazione e l’errore di discretizzazione . . . . . . . . . . . 2

1.2 Il metodo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 I sei passi operativi del FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Biella e travature reticolari 5

2.1 Equazioni di campo e diagramma di Tonti . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Derivazione della matrice di rigidezza locale . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Travature reticolari piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Assemblaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Condizioni al contorno (BCs) e soluzione . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.3 Post-Processing: calcolo delle reazioni e degli sforzi interni . . . . 16

2.3.4 Caso generale: cedimenti vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Generalizzazione delle BCs: partizione a blocchi . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Travi piane 23

3.1 Carichi distribuiti e forze nodali equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Estensione allo spazio tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Connessioni rigide 27

4.1 Connessioni elastiche ed elementi a lunghezza zero (springs) . . . . . . . 31

4.1.1 Malcondizionamento numerico e metodo della penalty . . . . . . 33

4.1.2 Sintesi applicativa: il metodo del telaio equivalente . . . . . . . . 34

4.2 Applicazioni avanzate: sinergia degli strumenti di modellazione . . . . . . 35

5 Meccanica dei solidi 37

5.1 Cinematica del continuo e analisi della deformazione . . . . . . . . . . . . 38

5.1.1 Dalla formulazione tensoriale alla notazione matriciale . . . . . . . 39

5.1.2 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Il legame costitutivo e le condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Modelli di trave: ipotesi cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Il modello di Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iii

5.3.2 Il modello di Eulero-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Compatibilità e proiezione deformativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5 Statica della trave ed equivalenza energetica . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5.1 Il paradosso del taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5.2 Eulero-Bernoulli: il taglio come reazione vincolare . . . . . . . . . 51

6 Metodo agli elementi finiti 53

6.1 Il problema dell’equilibrio elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1.1 Soluzione in forma forte (strong form) a 3 variabili . . . . . . . . 55

6.1.2 Condensazione a 1 variabile (Equazioni di Navier) . . . . . . . . . 55

6.2 La formulazione in forma debole (weak form) . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2.1 Integrazione per parti e requisiti di continuità . . . . . . . . . . . 57

6.2.2 Il metodo di Galerkin e l’approssimazione discreta . . . . . . . . . 58

6.3 Discretizzazione del dominio e formulazione dell’elemento . . . . . . . . . 60

6.4 Formulazione dell’elemento biella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4.1 La biella rastremata: insorgenza dell’approssimazione . . . . . . . 63

6.5 Raffinamento della soluzione: h-refinement e p-refinement . . . . . . . . 65

6.5.1 L’elemento quadratico e la condensazione statica . . . . . . . . . 66

6.6 Esempi applicativi: analisi dell’errore e convergenza . . . . . . . . . . . . 68

6.6.1 Esempio 1: biella a sezione costante con carico distribuito . . . . 68

6.6.2 Esempio 2: biella rastremata con carico distribuito . . . . . . . . 71

6.6.3 Esempio 3: convergenza per h-refinement e rigidità intrinseca . . 73

6.7 Introduzione al modello di trave inflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7.1 Il limite dell’interpolazione Lagrangiana e le funzioni Hermitiane . 76

6.7.2 Il problema dello shear locking nel modello di Timoshenko . . . . 78

7 Dinamica delle strutture 79

7.0.1 L’oscillatore semplice (SDOF) e il telaio shear-type . . . . . . . . 80

7.1 Smorzamento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Oscillazioni libere non smorzate e pulsazione propria . . . . . . . . . . . . 83

7.2.1 Oscillazioni libere smorzate e rapporto di smorzamento . . . . . . 85

7.3 Oscillazioni forzate e risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.4 Sistemi a più gradi di libertà (MDOF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4.1 L’analisi modale e il problema agli autovalori . . . . . . . . . . . 92

7.4.2 Sovrapposizione modale e disaccoppiamento . . . . . . . . . . . . 95

7.4.3 Sistemi continui a massa distribuita . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5 Formulazione agli elementi finiti in dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5.1 La matrice d’inerzia per il modello di trave . . . . . . . . . . . . . 98

7.5.2 La matrice delle masse consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5.3 Le matrici delle masse concentrate (lumped mass) . . . . . . . . . 101

7.6 Analisi modale ed errori di discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.7 Integrazione diretta nel tempo e criteri di valutazione . . . . . . . . . . . 105

7.7.1 I requisiti di Hilber e Hughes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.7.2 Il metodo dell’accelerazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.7.3 I metodi di Newmark e HHT- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.7.4 Il metodo HHT- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.8 Analisi spettrale e smorzamento algoritmico . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.9 Il comportamento in dinamica non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.10 Note implementative sui software commerciali . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 Piastre e membrane 117

8.1 Cinematica, deformazioni e sforzi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 Discretizzazione FEM e l’elemento triangolare . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.2.1 L’elemento triangolare a tre nodi (CST) . . . . . . . . . . . . . . 122

8.2.2 Triangoli di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.3 Elementi quadrangolari e fenomeni parassiti . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3.1 Elementi quadrangolari di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . 126

8.4 Formulazione isoparametrica e matrice Jacobiana . . . . . . . . . . . . . 128

8.4.1 La matrice Jacobiana della trasformazione . . . . . . . . . . . . . 129

8.5 Modelli strutturali bidimensionali: piastre inflesse . . . . . . . . . . . . . 131

8.6 Il modello di Reissner-Mindlin (piastre spesse) . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.6.1 Cinematica e deformazioni generalizzate . . . . . . . . . . . . . . 132

8.6.2 Sforzi e legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.6.3 Equazioni di governo in forma matriciale . . . . . . . . . . . . . . 134

8.7 Il modello di Kirchhoff (piastre sottili) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.7.1 Equazioni di governo e post-processing del taglio . . . . . . . . . 135

8.7.2 Limitazioni sulle condizioni al contorno ed effetto di vertice . . . . 136

8.8 L’approccio agli elementi finiti e le problematiche numeriche . . . . . . . 137

8.8.1 Requisiti di continuità per il modello di Kirchhoff . . . . . . . . . 137

8.8.2 Il modello di Reissner-Mindlin e il fenomeno dello shear locking . . 138

8.9 Gusci spaziali (flat shells) e grado di libertà di drilling . . . . . . . . . . . 139

8.10 Estensione all’elasticità tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9 Convergenza 141

9.0.1 Errore di troncamento ed estrapolazione numerica . . . . . . . . . 142

9.1 Il problema delle singolarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.1.1 Dimostrazione analitica delle singolarità . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Stress recovery e qualità dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.3 Procedure e stima a posteriori dell’errore . . . . . . . . . . . 148

patch-based

9.4 Submodeling e connessioni tra elementi cinematicamente misti . . . . . . 150

9.4.1 Gestione delle connessioni miste e dei drilling DOF . . . . . . . . 151

10 Non linearità meccanica 153

10.1 Non linearità meccanica e necessità dell’approccio incrementale . . . . . . 154

10.2 Equilibrio non lineare e matrice di rigidezza tangente . . . . . . . . . . . 155

10.2.1 Il Residuo e i metodi iterativi (Newton-Raphson) . . . . . . . . . 156

10.3 Tecniche di controllo del percorso di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.4 Esempio pratico e modelli a fibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.5 Implicazioni sulle analisi dinamiche e perdita della sovrapposizione . . . . 160

10.6 Analisi limite e meccanismi di collasso (cerniere plastiche) . . . . . . . . . 161

11 Non linearità geometrica 163

11.1 L’approccio generale alla stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Buckling Analysis)

11.2 Teoria classica della stabilità (Linear . . . . . . . . . . 165

11.2.1 Procedura operativa di estrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.3 Limiti della formulazione lineare e l’influenza delle imperfezioni . . . . . . 166

11.4 Risorse post-critiche e strutture in parete sottile . . . . . . . . . . . . . . 167

Bibliografia 169

vi Elenco delle tabelle

5.1 Confronto sinottico tra le formulazioni dei modelli di trave inflessa. . . . . . . 51

7.1 Valutazione comparativa degli algoritmi di integrazione nel tempo. . . . . . . 110

ix

1

Introduzione al FEM

L’impiego dei software commerciali per l’analisi strutturale, come o è

SAP2000 Straus7,

diventato ormai imprescindibile nella pratica ingegneristica moderna. Questi strumenti si

presentano all’utente attraverso interfacce grafiche estremamente intuitive, promettendo

di risolvere problemi complessi con facilità e di essere accessibili a prescindere dal livello

di esperienza. Tuttavia, questa rassicurante semplicità nasconde un’insidia fondamentale:

il software opera come una “black-box”, una scatola chiusa in cui l’utente inserisce dei

dati di input e ottiene dei dati di output senza avere reale visibilità sui processi matema-

tici interni. Come sottolineano le Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC) e le linee

guida CNR 10024/86, il progettista resta l’unico responsabile civile e penale dell’intera

progettazione e dei risultati ottenuti.

Per non subire passivamente le risposte della macchina e acquisire un controllo critico

sui risultati, l’ingegnere deve padroneggiare due ingredienti inscindibili: la profonda co-

noscenza del problema strutturale fisico e la comprensione della logica matematica alla

base dell’approccio di modellazione.

Il primo ingrediente richiede di non accendere mai il calcolatore senza essere prima in grado

di abbozzare, con carta e penna, un’analisi qualitativa per prevedere l’ordine di grandezza

degli spostamenti e delle sollecitazioni attese. Senza questa sensibilità preliminare, si

rischia di accettare ciecamente risultati numericamente esatti ma fisicamente assurdi.

Il secondo ingrediente richiede di conoscere i limiti degli elementi finiti che si stanno

impiegando. Se, ad esempio, si tenta di analizzare un fenomeno di instabilità (che richiede

di abbandonare l’ipotesi di piccoli spostamenti per entrare nel campo della non-linearità

geometrica) utilizzando un solutore lineare, il software restituirà comunque un risultato,

ma esso sarà del tutto inattendibile. Questo scenario descrive il pericoloso fenomeno

noto in informatica come GIGO (Garbage In, Garbage Out): l’inserimento di ipotesi

errate produce inesorabilmente calcoli privi di significato, confermando che un modello

matematico va utilizzato con consapevolezza e mai creduto in maniera acritica e fideistica.

1

1.1 Il processo di simulazione e l’errore di discretizzazione

Per comprendere a fondo l’origine degli errori numerici e le approssimazioni in gioco, è

fondamentale inquadrare il FEM all’interno del più ampio processo di simulazione basato

su modelli (model-based simulation). Il passaggio dal sistema fisico reale ai risultati

numerici finali avviene per gradi intermedi, ciascuno dei quali introduce una specifica

fonte di imprecisione:

• Idealizzazione: Il sistema fisico (physical system) viene tradotto in un model-

lo matematico (mathematical model) retto da equazioni differenziali alle derivate

parziali.

• Discretizzazione: Il modello matematico continuo, caratterizzato da un numero

infinito di incognite, viene trasformato in un modello discreto (discrete model)

analizzabile al calcolatore.

• Soluzione: La fase di calcolo algoritmico che fornisce i risultati, la quale introduce

un ulteriore (seppur minore) errore numerico.

Per comprendere appieno l’errore di discretizzazione insito nel FEM, è utile ricorrere al-

l’analogia della misurazione di una circonferenza. Risolvere esattamente il sistema di

equazioni differenziali continue equivale a misurare il perimetro usando un “metro curvo”

perfetto. Purtroppo, i calcolatori sanno gestire unicamente sistemi di equazioni algebri-

che lineari, che rappresentano il nostro “metro rettilineo”. Per superare questo limite,

applichiamo la logica del divide et impera: spezziamo il dominio curvilineo in tanti piccoli

segmenti retti, accettando di confondere l’arco con la corda. Sostituendo la circonferenza

continua con un poligono inscritto, riduciamo il problema a una somma di misure lineari.

Naturalmente, questa operazione genera un errore di approssimazione, ma sappiamo che

1 ), il poligono tenderà alla forma

aumentando il numero di suddivisioni (infittendo la mesh

del cerchio e l’errore diminuirà, garantendo la convergenza del metodo.

Figura 1.1: Analogia della discretizzazione: approssimazione di un dominio continuo (circonfe-

renza) mediante un modello discreto a elementi finiti lineari.

1 Mesh (it. maglia): Reticolo geometrico spaziale risultante dalla suddivisione di un dominio continuo in

un numero finito di sottodomini discreti (elementi).

1.2 Il metodo degli spostamenti

Storicamente, la meccanica computazionale ha sviluppato differenti approcci per affronta-

re il modello discreto, suddivisibili principalmente nel metodo delle forze (o della congruen-

za) e nel metodo degli spostamenti (o dell’equilibrio/rigidezza). Tuttavia, l’approccio

basato sugli spostamenti è quello universalmente ado