Elaborato di calcolo automatico delle strutture (Straus7)

Università di Bologna 26

/

Meccanica

Computazionale

Homework di Calcolo Automatico delle Strutture

Autore

Professori Antonio José Gregorio Rega

Stefano De Miranda

Giovanni Castellazzi

CAS - Homework

Utilizzo del software agli elementi finiti Straus7

Antonio José Gregorio Rega

Matr. 0001241281

Docenti: Prof. Ing. Stefano De Miranda

Prof. Ing. Giovanni Castellazzi

·

Alma Mater Studiorum Università di Bologna

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile - DICAM

Corso di: Calcolo Automatico delle Strutture

Elaborato finale

Bologna Anno Accademico 2025/2026

CAS - Homework

Copyright © 2026 - Antonio José Gregorio Rega.

Il presente lavoro è un lavoro originale, elaborato esclusivamente per questo fine. Tutti gli

autori e le fonti consultate per la sua stesura sono stati debitamente citati. È consentita

la riproduzione parziale con citazione dell’autore e riferimento al corso di laurea, anno

·

accademico e istituzione —Alma Mater Studiorum Università di Bologna.

La stesura di questo lavoro è stata facilitata dall’uso di una versione adattata del template

José Areia, 2023 IPLeiria-Thesis. Abstract

® Guida alla lettura

Il presente elaborato espone l’analisi e la risoluzione di una struttura piana iperstatica

soggetta a carichi distribuiti e concentrati, sviluppata nell’ambito del corso di Calcolo

Automatico delle Strutture.

L’obiettivo del lavoro è duplice: inizialmente, la carpenteria è stata risolta analiticamente

mediante il metodo degli spostamenti, determinando le incognite cinematiche (rotazio-

ni e traslazioni nodali), le reazioni vincolari e i diagrammi delle sollecitazioni interne

(momento, taglio e sforzo normale).

In una fase successiva, la medesima struttura è stata modellata tramite il codice di calcolo

agli elementi finiti Sono state definite le proprietà geometriche e meccaniche

Straus7. , , ),

delle aste (modulo elastico momento d’inerzia area i vincoli cinematici e le

condizioni di carico.

Lo studio si conclude con un confronto critico tra i risultati analitici e gli output del

solutore FEM, al fine di validare il modello numerico. L’analisi ha evidenziato una perfetta

congruenza tra i due approcci, confermando l’affidabilità della modellazione agli elementi

finiti per lo studio di strutture intelaiate.

Keywords: Analisi strutturale, metodo degli spostamenti, Straus7, FEM, telaio piano,

strutture iperstatiche. i

Indice

Elenco delle figure vii

Elenco delle tabelle xiii

1 Modellazione di telai iperstatici con elementi beam 1

1.1 Struttura 1: risoluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Metodo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Diagrammi finali delle sollecitazioni - Struttura 1 . . . . . . . . . 3

1.2 Struttura 2: risoluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Metodo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Diagrammi finali delle sollecitazioni - Struttura 2 . . . . . . . . . 5

1.3 Modellazione FEM in Straus7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Risultati grafici - Struttura 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Risultati grafici - Struttura 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Confronto dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Analisi di una parete in muratura mediante telaio equivalente 9

2.1 Determinazione dell’altezza efficace dei maschi murari . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Sviluppo del modello geometrico in ambiente CAD . . . . . . . . 10

2.2 Costruzione del modello FEM in Straus7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Analisi dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Spostamenti e deformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Caratteristiche della sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Confronto dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Modellazione di strutture miste e telai spaziali 21

3.1 Sintesi della modellazione dei pannelli murari (tamponamenti) . . . . . . 23

3.2 Analisi statica: solaio deformabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Deformata della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2 Spostamenti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Sollecitazioni negli elementi in c.a. e in acciaio . . . . . . . . . . 25

3.3 Analisi statica: impalcato infinitamente rigido . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Deformata della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Spostamenti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

iii

3.3.3 Sollecitazioni negli elementi in c.a. e in acciaio . . . . . . . . . . 27

3.4 Sintesi conclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Analisi dinamica: pulsazioni naturali di una trave vincolata 29

4.1 Modellazione numerica e discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Soluzione analitica di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Tabelle dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Galleria delle deformate modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Analisi di convergenza e conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Modellazione di elementi piani: la mensola di Cook 39

5.1 Formulazione degli elementi finiti impiegati . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Richiami teorici: shear locking e funzioni incompatibili . . . . . . . . . . 41

5.3 Convergenza e tecnica di h-refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4 Modellazione FEM in Straus7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4.1 Costruzione della geometria e delle mesh . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4.2 Condizioni di vincolo e di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5 Risultati: spostamento verticale del nodo A . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5.1 Deformata e campo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5.2 Tabelle dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.6 Analisi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.6.1 Spostamento verticale in funzione del numero di elementi . . . . . 46

5.6.2 Errore relativo in funzione della dimensione caratteristica . . . . . 46

5.7 Analisi dell’errore di discretizzazione: tensioni mediate e non mediate . . . 48

5.8 Confronto e conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Lastra con foro 51

6.1 Richiami teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2 Modellazione in Straus7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3 Analisi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3.1 Andamento della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4 Tensioni mediate e non mediate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Analisi statica non lineare 63

7.1 Richiami teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2 Analisi incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2.1 Prima analisi incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2.2 Seconda analisi incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2.3 Terza analisi incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2.4 Quarta analisi incrementale (collasso) . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.3 Modellazione FEM in Straus7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.4.1 Modello A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.4.2 Modello B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.4.3 Modello C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8 Analisi di stabilità dell’equilibrio (Buckling) 79

8.1 Richiami teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.2 Modellazione FEM in Straus7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3 Risultati: analisi lineare di buckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.3.1 Forme modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.4 Risultati: analisi non lineare geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.5 Risultati: influenza delle imperfezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.5.1 Eccentricità verso destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.5.2 Eccentricità verso sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bibliografia 91

v

Elenco delle figure

1.1 Modello FEM della Struttura 1 in Straus7 con vincoli e carichi applicati. . . . 7

1.2 Diagrammi del momento flettente e del taglio per la prima struttura. . . . . . 7

1.3 Modello FEM della Struttura 2 in Straus7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Diagrammi del momento flettente e del taglio per la struttura 2. . . . . . . . 7

2.1 Definizione della struttura: disposizione dei carichi e dimensioni geometriche. 9

2.2 Schema geometrico della parete con applicazione del criterio di Dolce. . . . . 11

2.3 Scomposizione a telaio equivalente con evidenza delle altezze efficaci . . 11

2.4 Modello a telaio equivalente semplificato senza tratti orizzontali a sbalzo. . . 12

2.5 Schema del telaio equivalente: evidenza dei link rigidi (azzurro) e degli assi

delle travi deformabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Rendering solido del modello con distinzione cromatica delle proprietà e vincoli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

applicati.

2.7 Configurazione deformata del modello a telaio equivalente (elementi linea). . 15

2.8 Configurazione deformata del modello con rendering delle sezioni solide. . . . 15

2.9 Analisi cinematica: mappa a contorno degli spostamenti orizzontali . . . . 16

2.10 Analisi cinematica: mappa a contorno degli spostamenti verticali . . . . . 16

2.11 Diagramma delle caratteristiche della sollecitazione: sforzo normale (N). . . . 17

2.12 Diagramma delle caratteristiche della sollecitazione: taglio (T). . . . . . . . . 18

2.13 Diagramma delle caratteristiche della sollecitazione: momento flettente (M). 18

3.1 Vista assonometrica (anteriore). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Vista assonometrica (posteriore). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Vista laterale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Vista frontale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Modello tridimensionale della struttura e relative viste geometriche in am-

biente Straus7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6 Deformata - Vista laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7 Deformata - Vista frontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.8 Spostamento in direzione X (DX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.9 Spostamento in direzione Z (DZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10 Momento flettente (BM1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.11 Momento flettente (BM2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

vii

3.12 Taglio (SF1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.13 Taglio (SF2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.14 Diagrammi delle sollecitazioni taglianti e flettenti per il modello con solaio

deformabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.15 Deformata - Vista laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.16 Deformata - Vista frontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.17 Spostamento in direzione X (DX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.18 Spostamento in direzione Z (DZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.19 Momento flettente (BM1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.20 Momento flettente (BM2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.21 Taglio (SF1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.22 Taglio (SF2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.23 Diagrammi delle sollecitazioni taglianti e flettenti per il modello con solaio

rigido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Condizioni di vincolo per la trave inflessa (incastro-appoggio) e definizione

delle costanti utili al calcolo delle pulsazioni naturali. . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Rappresentazione delle quattro configurazioni di mesh analizzate: dal basso

. . . . . . . . . . . . . . . 30

verso l’alto, modelli a 1, 5, 10 e 20 elementi finiti.

4.3 Deformate modali per la mesh a 1 elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Deformate modali per la mesh a 5 elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Deformate modali per la mesh a 10 elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6 Deformate modali per la mesh a 20 elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7 Andamento dell’errore percentuale in funzione della discretizzazione per il

primo modo di vibrare. Confronto tra assemblaggio consistent e lumped. . . 37

4.8 Andamento dell’errore percentuale in funzione della discretizzazione per il

secondo modo di vibrare. Confronto tra assemblaggio consistent e lumped. . 38

4.9 Andamento dell’errore percentuale in funzione della discretizzazione per il

terzo modo di vibrare. Confronto tra assemblaggio consistent e lumped. . . . 38

5.1 Geometria della mensola di Cook, condizioni di vincolo e definizione del carico

al contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Struttura indeformata di partenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

×

5.3 Configurazione deformata (mesh base . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1 1). ×

5.4 Configurazione deformata (mesh raffinata . . . . . . . . . . . . . . 44

16 16).

×

5.5 Contour degli spostamenti in direzione per la discretizzazione . . . 45

16 16.

5.6 Spostamento verticale del punto A in funzione del numero di elementi. . . . . 46

ℎ

5.7 Andamento dell’errore relativo in funzione della dimensione caratteristica

(scala bi-logaritmica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.8 Contour senza averaging (Never Average): visibili i salti tensionali. . . . . . . 48

5.9 Contour con averaging (Average Same Property): campo continuo. . . . . . 48

6.1 Geometria della piastra infinita con foro circolare, condizioni di vincolo di

simmetria e definizione del carico al contorno secondo la soluzione esatta di

Kirsch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Mesh del quarto di piastra prima dell’applicazione di 53

Tools > Smooth Plates.

6.3 Mesh del quarto di piastra dopo l’applicazione di 53

Tools > Smooth Plates.

6.4 Indicatori di qualità della mesh di base prima dello smoothing. . . . . . . . . 54

6.5 Indicatori di qualità della mesh dopo l’applicazione di 55

Tools > Smooth Plates.

6.6 Distribuzione di — modello 1ef (72 elementi). . . . . . . . . . . . . . . 56

6.7 Distribuzione di — modello 4ef (288 elementi). . . . . . . . . . . . . . . 57

6.8 Distribuzione di — modello 16ef (1 152 elementi). . . . . . . . . . . . . 57

6.9 Distribuzione di — modello 64ef (4 608 elementi). . . . . . . . . . . . . 58

6.10 Distribuzione di — modello 256ef (18 432 elementi). . . . . . . . . . . . 58

6.11 Convergenza di al punto A al variare della discretizzazione. La linea

×

tratteggiata rossa rappresenta il valore analitico di Kirsch 3 3.0

= =

inf

4 Pa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 FEM

| − |/

6.12 Errore relativo percentuale in funzione della dimensione

Kirsch Kirsch

√

ℎ ∝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

caratteristica 1/ el

6.13 Tasso di convergenza in scala bi-logaritmica. La pendenza della retta di

≈ . . . . . . . . . . . . . 60

regressione fornisce la stima del parametro 1.34.

6.14 Distribuzione di senza mediazione (Never Average). Le discontinuità

evidenziano l’errore di discretizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.15 Distribuzione di con mediazione (Average Same Property). Il campo di

tensione risulta continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.1 Traccia del problema e schema di carico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Configurazione indeformata con schema di carico. . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3 Configurazione deformata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4 Modello A: mesh minima senza alcun raffittimento. . . . . . . . . . . . . . . 70

7.5 Modello B: raffittimento uniforme degli elementi. . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.6 Modello C: raffittimento localizzato nelle zone plastiche. . . . . . . . . . . . 70

7.7 Modello A — diagramma carico-spostamento con Storia di Carico 1 (10 in-

crementi). La convergenza si interrompe a . . . . . . . . . . . . . 72

4,50.

=

7.8 Modello A — momento a (fase elastica). . . . . . . . . . . . . . . 72

0,75

=

7.9 Modello A — momento a (prima cerniera). . . . . . . . . . . . . . 72

3,375

=

7.10 Modello A