Appunti di Analisi matematica 2

Matematica

II

d) x = -1

possiamo scrivere che xⁿ = (-1)ⁿ|x| e scriverlo su S_n.

S_n = ^{1 - xn}/_{1 - x} = ^{1 - (-1)n|x|}/_{1 - (-1)|x|} sostituendo (-1|x|)¹ = (-1)¹|x|¹

=> S_n = ^{1 - (-1)n|x|n}/_{1 + |x|} = { ^{1 - |x|2p}/_{1 + |x|} se n = 2p (n pari) ^{1 + |x|2p + 1}/_{1 + |x|} se n = 2p + 1 (n dispari)

ne deduciamo che lim S_n = { -∞ per n = 2p +∞ per n = 2p + 1

quindi per x = -1 la serie è multeterminata perché non esiste lim S_n

Possiamo riassumere i vari casi così:

^∞Σ_{k = 0} x^k lim S_n =

+∞ x ≥ 1 ¹/_{1 - x} x ε (-1, 1) ∃ x = -1

le serie geometriche costituiscono un caso particolare delle più generiche serie di potenze

per la condizione        y(0)=1       si      ricava      a_o=1

segue      y(x):=     ∑_n=0^∞ a_n xⁿ = 1+a₁ x+a₂ x²+a₃ x³+...+a_n xⁿ      +      ∑_n=1^∞ a_n xⁿ       bracket in   m=n+1

x+∑_m=0^∞ a_m+1 x^m+1

ora    calcolo    i    singoli    termini :

1)   y(x)= x ∑_n=0^∞ a_n xⁿ⁺¹

        y'(x)=a₁+∑_n=1   n a_n x^n-1   pongo  m=n-1  <==>  n=m+1

2)   y'(x)=  ∑_m=0^∞  (m+1)  a_m+1 x^m  cambio m   con    n:   y'(x)=∑_n=0^∞ (n+1)  a_n+1 xⁿ

3)   y^(") (x):=  ∑_n=2^∞   (n+1)  a_nx^n-2     pongo   m=n-2  <==>   n=m+2 

y^(") (x):=  ∑_m=0^∞  (m+2) (m+4)  a_m+2 x^m   cambio m   con    n  y^(") (x):=  ∑_n=0^∞  (n+2) (n+4)  a_n+2 x^m+4

quindi    raccolgo    y^(") (x):=  ∑_n=0^∞  (n+2) (n+4)  a_n+2 xⁿ⁺⁴

ho   ottenuto

• y(x):=  ∑_n=0^∞  a_n xⁿ⁺¹
• y^(') (x):=  ∑_n=0^∞  (n+2) (n+4)  a_n+2  xⁿ⁺¹
• y^(") (x):=  ∑_n=0^∞ (n+4) a_n+1 xⁿ

posso partire da 1  perchè  a₂=0 :∑_n=1^∞  (n+1)  a_n+1 xⁿ

pongo  m=n-1   y^(') (x)=  ∑_m=0^{@text@}  (m+2)  a_m+2  x^m+4=  ∑_n=0^@  (n+2)  a_n+2  x^u+2

∑_m=0^∞   [  (n+2)  (n+1)  a_n+2 +  (n+2)  a_n+2   +  a_n   ] xⁿ⁺⁴ - 0

∑_n=0 ^∞ [  a_n+2  (n+2)² + a_n   ]  xⁿ⁺⁴ - 0

quindi   deve   essere    a_n+2  (n+2)²  +  a_n   = 0

Sviluppi in Serie di Taylor di alcune funzioni

Teorema: Se la funzione f è derivabile infinite volte in un intervallo (a,b) e se esistono due numeri reali L e M tali che:

|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ MLⁿ ∀ x ∈ (a,o) ∀ n,

allora per ogni x₀ ∈ (a,b) la funzione è sviluppabile in serie di Taylor centrata in x₀.

Esempi di funzioni analitiche su R

• e^x = Σ_k=0^∞ x^k/k!
• sin(x) = Σ_k=0^∞ (-1)^k x^2k+1/(2k+1)!
• cos(x) = Σ_k=0^∞ (-1)^k x^2k/(2k)!

Serie di Potenze in C

z^k = (x + iy)^k

La serie geometrica per |z| < 1 è: 1/(1 - z) = Σ_k=0^∞ z^k e la serie di potenza in C è:

Σ_k=0^∞ a_k z^k

Quindi definiamo l'esponenziale complesso e^z = Σ_k=0^∞ z^k/k!

Una funzione f definita su un sottoinsieme aperto A di R o C è analitica se è rappresentabile localmente come una serie di potenze: ogni numero x₀ ∈ A ha un intorno aperto A' ⊂ A, tale che esiste una serie di potenze con centro x₀ che converge a f(x) per ogni x ∈ A'.

Ogni serie di potenze con raggio di convergenza positivo fornisce una funzione analitica sull'interno della sua regione di convergenza.

Ogni funzione olomorfa (derivabile in senso complesso) è una funzione analitica complesso.

Serie di Fourier:

La serie di Fourier è il polinomio trigonometrico con n - ∞.

_a0/2 + ∑_k=1^∞ a_kcos(kx) + b_ksin(kx)

Sia f(x) = _a0/2 + ∑_k=1^∞ a_kcos(kx) + b_ksin(kx) per ricavare a_k e b_k

∫_-π^π f(x)cos(mx)dx = ∫_-π^π a₀cos(mx)dx + ∑_k=1^∞ ∫_-π^π a_kcos(kx)cos(mx)dx + ∑_k=1^∞ ∫_-π^π b_ksin(kx)cos(mx)dx

Ottengo

a_m = 1/π ∫_-π^π f(x)cos(mx)dx   m ≥ 1

b_m = 1/π ∫_-π^π f(x)sin(mx)dx   m ≥ 1

a_k = 1/π ∫_-π^π f(x)cos(kx)dx

b_k = 1/π ∫_-π^π f(x)sin(kx)dx

a₀ = 1/π ∫_-π^π f(x)dx

Quando f(x) è una funzione pari: b_k=0 e a_k= ²/₀∫₀^πf(x)cos(kx)dx

Invece se f(x) è una funzione dispari: a_k=0 e b_k = ²/π ∫₀^π f(x)sin(kx)dx

=> ^π/_π ∫ ∫ f(x+t) (¹/₂ ∑ ^∞/_k=1 cos(kt)) dt = ¹/_π-x ∫ f(x+t) dn(t) dt = ¹/_π ∫ ^π/_-x f(x+t) dn(t) dt

Teorema di Convergenza Puntuale

f: [ -π, π ] → ℝ

( X → |X| )

Definizione

Data una funzione f: [ a, b ] → ℝ diciamo chef è regolare a tratti su [ a, b ] se esistono unnumero finito di punti a, x₀, x₁, …, x_n con a=x₀, x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ , …, x_n ≤ x_n = b tafiò è derivabile con derivata continua in ogni intervallo (x_i, x_i+1) e lafunzione f a (x_i, x_i+1) e prolungabile con continuità in [x_i, x_i+1 ] Se la funzione f è aggiunta su ℝ, allora diciamo f è regolare a tratti in ℝ se èregolare a tratti in ogni intervallo [a, b] contenuto in ℝ

Teorema

Sia f una funzione periodica regolare a tratti su ℝ. Per ogni x reale la serie di Fourier converge alla media aritmetica tra il limite destro eil limite sinistro:

f(x⁺) + f(x^-) / 2 e↔ ^lim/_h→0⁺ f(x+h) = ^lim/_h→0^- f(x