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DERIVATA DELLA RADICE DI X
Consideriamo la funzione potenza con pari, nell’intervallo in cui è continua e
( ) [0, )
= +∞
monotona strettamente crescente e quindi invertibile. Pertanto, esiste la funzione inversa:
[0, ) [0, )
: +∞ → +∞
→
−1 [0, ) [0, )
: +∞ → +∞
′ −1
( )
=
Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse sappiamo che essendo la funzione derivabile in
′
e ( )
[0, ) ≠ 0
∈ +∞
0 0
−1
è derivabile in
)
( =
⇒ → = ⇒ = �
0 0 0 0 0
1 1 1 1
−1 ( )|
∃
= = = =
= −1
( )
′ −1
0
� � �
0 0 0−1
�
0
′ (
( ) [0, ) (0, ) )
= √ ∈ +∞ è +∞ ⇒ = −
√
Se è dispari, la funzione è derivabile in {0}
ℝ ∖
DERIVATA DEL LOGARITMO
Consideriamo la funzione in tutto in cui è continua e monotona strettamente crescente e
( )
= ℝ
quindi invertibile. Pertanto, esiste la funzione inversa:
(0, )
: ℝ → +∞
→
−1 (0, )
: +∞ → ℝ
′
( )
= ≠ 0
e
Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse sappiamo che essendo la funzione derivabile in ∈ ℝ
0
′ ( )
≠ 0
0 −1
è derivabile in )
( =
⇒ → = ⇒ = ln
0
0 0 0 0 0
1 1 1
−1 ( )|
= = =
∃ = ( )
′
0 0
0 0
′ (
( ) (0, ) )
= ln ∈ +∞ è ⇒ =
DERIVATA DELL’ARCOSENO in cui è continua e monotona strettamente
Consideriamo la funzione seno nell’intervallo �
�− ,
2 2
crescente e quindi invertibile. Pertanto, esiste la funzione inversa:
[ −1,1]
�− �
: →
,
2 2
→
−1 [ −1,1] �
�−
: → ,
2 2
′ ( )
=
Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse sappiamo che essendo la funzione derivabile in ∈
0
′
e ( )
�
�− ≠ 0
; 0
2 2 −1 è derivabile in )
( =
⇒ → sin =
0 0 0 0
1 1 1 1
−1 ( )|
= = = =
= ( )
′
0 02
2 �1
−
�1 −
0 0 0
calcolata nel 2
�1
= −
0 0
punto
vera poiché
0 > 0 ∀ ∈ ,
�− �
0 0 2 2
( è positivo in tale intervallo)
0
′ (
( ) ( −1,1) )
= arcsin ∈ è ⇒ =
√ −
DERIVATA DELL’ARCOCOSENO
Consideriamo la funzione coseno nell’intervallo in cui è continua e monotona strettamente
[0, ]
decrescente e quindi invertibile. Pertanto, esiste la funzione inversa:
[0, ] [ −1,1]
: →
→ cos
−1 [ −1,1] [0, ]
: →
′ ( )
= −
Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse sappiamo che essendo la funzione derivabile in ∈
0
′
e
(0, ) ( )
≠ 0
0 −1 è derivabile in )
( =
⇒ → =
0 0 0 0
1 1 −1 −1
−1 ( )|
= = = =
= ( )
′
−
0 02
2 �1
−
�1 −
0 0 0
calcolata nel 2
�1
= −
0 0
punto 0,
vera poiché ( )
> 0 ∀ ∈
0 0 0
( è positivo in tale intervallo)
0
′ (
( ) ( −1,1) )
= arccos ∈ è ⇒ = −
√ −
DERIVATA DELL’ARCOTANGENTE in cui è continua e monotona
Consideriamo la funzione coseno nell’intervallo aperto �
�− ;
2 2
strettamente crescente e quindi invertibile. Pertanto, esiste la funzione inversa:
�
�− → ℝ
: ;
2 2
→
−1 �
�−
: ℝ → ;
2 2
1
′ ( )
=
2
cos
Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse sappiamo che essendo la funzione derivabile in ∈
0
′
e ( )
�− � ≠ 0
; 0
2 2 −1 è derivabile in )
( =
⇒ → =
0 0 0 0
2
1 cos 1 1
0
−1 2
( )|
∃
= = cos = = =
= 0 02
( )
′ 2 2 2
1 + tg
cos + sin 1 +
0 0 0 0 0
′ (
( ) )
= arctg ∈ ℝ è ⇒ =
+
DERIVATE SUCCESSIVE
derivabile:
(,
: ) → ℝ
Sia ′ (,
: ) → ℝ
′
se è derivabile, allora diremo che la funzione è derivabile due volte o esiste la derivata
2
′′ ′ ′
seconda ( )
= = � �
2
PUNTI DI MASSIMO E MINIMO RELATVO
Definizione: diciamo che è un punto di
(, (,
: ) → ℝ, ∈ )
Sia 0
massimo (o minimo) relativo o locale se
) (
∃ > 0: ( ≥ () ∀ ∈ − ; + )
0 0 0
(≤) si chiama massimo
(,
∈ ),
Il più grande dei valori per
( )
assoluto di nell’intervallo (,
). TEOREMA DI FERMAT
e sia un punto di massimo o di minimo relativo
(, (,
: ) → ℝ ∈ )
Sia .
0 ′
Se è derivabile in ( )
= 0
⇒
0 0 ciò significa che e cioè
= 0
geometricamente la retta tangente al
grafico in un punto di massimo o minimo
relativo è orizzontale, parallela all’asse
Dimostrazione:
consideriamo il caso in cui sia un punto di massimo relativo. Significa che:
0 ) (
∃ > 0: ( ≥ () ∀ ∈ − ; + )
0 0 0
)
+ℎ)−(
(
TESI: 0 0
=0
ℎ
ℎ→0
Dimostriamo che: ) )
( ) ( ( ) (
+ ℎ − + ℎ −
0 0 0 0
=
∃ ℎ ℎ
−
+ ℎ→0
ℎ→0
Se e
ℎ > 0 ℎ < : ) (
( ) ( )
≥
+ ℎ ∈ − ; + ⇒ + ℎ
0 0 0 0 0
)
) (
( + ℎ −
0 0 ≤ 0
ℎ
Allora per il teorema della permanenza del segno anche: )
( ) (
+ ℎ −
0 0 ≤ 0
⇒ ℎ
+
ℎ→0
Contemporaneamente se e
ℎ < 0 −ℎ < → ℎ >
− < + ℎ <
0 0 0 ( )
) (
+ ℎ −
0 0 ≥ 0
ℎ )
( ) (
+ ℎ −
0 0
⇒ ≥ 0
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