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Equazioni Differenziali - Ordinarie (ODE)
- Equazione in cui l'incognita è una funzione y(t). L'equazione coinvolge y e alcune sue derivate.
- Differenziale: per soluzioni esistenti
- Funzionale: soluzione è una funzione, ma le equazioni differenziali sono funzionali
- Formali (primi sviluppiamo derivate parziali)
y = f(t)∫ f(t) con ∫[f(t) dt] + C
- Ammesso letterale soluzioni al variare di C
- Modelli matematici: insieme di equazioni e/o relazioni matematiche che descrivono un fenomeno estrapolando le caratteristiche essenziali e la cui soluzione permette di controllarne e prevederne lo sviluppo
- Procedura di base:
- Definire variabile indipendente
- Analisi della buona posizione (soluzione deve esistere ed essere unica e stabile)
- Simulazione numerica su soluzione approssimata, non esatta)
- Validazione sperimentale
- Il modello matematico è costituito da:
- Leggi modello teorico-matematico
- Stesura equazioni non varia col variare dell'ambito d'applicazione
- Test validità confronti sperimentali
Es.: Dinamica delle popolazioni
- N(t): numero di individui al tempo t
- λ: tasso di natalità (per individuo per unità di tempo)
- μ: tasso di mortalità (per individuo per unità di tempo) → intervallo di tempo [t; t + Δt]
- Nuovi nati: 2N(t) λΔt
- Nuovi morti: μN(t) Δt
Quindi N(t + Δt) - N(t) = (λ - μ) N(t) Δt
Dividendo per Δt e → Δt → 0
N’(t) = ε N(t)
N(t) = N0 eεt
Modello ε > 0, lim N(t) = ∞
t→∞
Modello ε<0, lim N(t) = 0
t→∞
Modello logistico (realistico)
- La popolazione più numerosa comporta minor risorse → il potenziale biologico diminuisce nel tempo (b = capacità dell'ambiente, massimo)
- N'(t) = ε(1 - N(t) / N(t)
- K(t) k = b N(t) simile a prima
- N(t)/h è derivata nulla, Qe crescita è decrescita
N(t) = b N0 eεt
b = 1 - N0 + N0 eεt
- Modello preda-predatore (sistema di equazioni differenziali)
x(t): prede y(t): predatori a: tasso relativo alla crescita delle prede c: tasso relativo alla crescita dei predatori in assenza di prede
.x = (a - by)x + condizione iniziale .y = (-c + dx)y
- Caduta libera di un corpo
. .y(t) = ay(t) = v0t - gt22f .y(t0) = y0 .y(t0) = v0
NB: derivate integrazione -> necessità di doppia condizioni iniziali
- Oscillatore armonico
-legge generale: F = ma (Newton) F = -ky (Hooke) m ..y + ky = 0 m ..y + w2y = 0 y(t0) = y0 .y(t0) = v0 w = w2 > 0
[..y + 2ky + w2y = f(t)] attrito, mezzo viscoso, forza esterna applicata
- Modello più complesso
st1: la stessa struttura che ha un circuito elettrico RCL Li. + Ri + C1 = f(t)
- Pendolo
Fp = -mg sin Θ Ffl = -mg cos Θ Θ.. = -b sinΘ ma = -T ml.Θ = -mg sin Θ ba = Θ l: per piccole oscillazioni sin Θ ≈ Θ/l = Θ
- Modello epidemiologico
S(t): suscettibili I(t): infettivi R(t): rimossi
S(t+Δt) - S(t) = - β I(t) S(t) Δt I(t+Δt) - I(t) = β I(t) S(t) Δt - α I(t) Δt R(t+Δt) - R(t) = α I(t) Δt per Δt -> 0
.S = -β IS .I = β IS - α .R = α I
S(t0) = S0 S0 + I0 = N0 S + I + R = 0
numero - tati poposione campos: i morti
Integrale generale:
u(t) = 1/2 ξ + t2/2 = c + t
1/2 c + 1/2 = c, quindi c = 1/2 → u(t) = c + 1/2, y(t) = 1/2t + 1/2Equazioni a variabili separabili
y = y(t, l(t)), g = G(t), u = U(s), s ∫ a(t)
- i) Se α = c ∈ h e radice di h(y) = 0, cioè α = 0, allora y = α→ soluzione dell'equazione y deve essere funzione costante (ṙ=y=0)
- ii) Se h(y) ≠ 0,
es. equazione logistica
ṙ = a[1-by] g(t) = costante h(y) = y(1-by)- i) h(y) = y(1-by)=0 → y=0 v y = 1/b → y1=0 e y2 = 1/b sono soluzioni
- ii) y(1-by) = a → ∫ y(1-by) = ∫ a dt + c
- DE lineari del secondo ordine completa con a b c ∈ ℜ a ≠ 0
ay"+by'+cy = f(t)
NB: in molti sistemi fisici f(t) è una forza che agisce dall'esterno del
sistema. Per questo viene denominata forzante
χ per determinare l'integrale generale di questo tipo bisogna conoscere
la soluzione generale dell'equazione omogenea associata e sommarne
una soluzione particolare:
y = c1φ1+c2φ2+ψp c1, c2 ∈ ℜ
metodo di somiglianza nel caso di: funzioni esponenziali, polinomi o
combinazione lineare (co loro prodotti)
f(t) si può scrivere come un operatore → cercare una y tale che l'azione
di L su y dia f:
L(y) → a^t+by'+cy | y=f(t)
es. -L(y) = f(t)
yp(t) = Ceλt
Ly = aCeλt + 2(b+2Ceλt) + b(cCeλt) + cCeλt = [aλ2+bλ+c]Ceλt
-Ly = f(t)
y(t) = t2
Ly = ∑(t2+t)
Ly = f(t) y'(t) = cos(2t) + sin(2t)
Ly = a[−(a cos(2t)Θ-L sin(2t)) + b(c − 2 sin(2t) + 2 cos(2t)) + c[(cos(2t))+sin(2t)]−
−(-Ca1+2b+c) cos(2t) +(-Ca1+2bc tc) sin(2t)
- costante esponenziale L(t)=Aeλt
yp(t)=Ceλt dove C è da determinare e α è la stessa della forzante
φ 2(t) = Cα-ex
yp2(t)= (Co2 x eλtθbCeλt)cCeλt)
L Oscar → a Cos2te[λ=a]deλt
L → Oc [a α2+bC+c] - A
H → E = 0 [24]
(0'a
cte ) Ed β2a1L eλt ) ω'
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