Appunti di Analisi 2 - Parte 1

Teorema (Proiezione)

∀u, v ∈ Rⁿ ∃! α(∈R)

‖u‖‖v‖ = |α| ‖u + αv‖

Dim:

‖u + αv‖² = <u + αv, u + αv> = <u, u> + 2α<u, v> + α²<v, v>

= ‖u‖² + 2α <u, v> + α²‖v‖²

Disegno un grafico.

Teorema di Cauchy-Schwarz

∀u, v ∈ N∃! k(∈R): u = k‖u‖ ∧ k‖v‖

Da ciò esce un numero x ∈ R

Sommando:

2α<u, v> = ‖u‖² ‖v‖² + x‖u‖‖v‖

Dimostrazione di Cauchy-Schwarz.

Interpretazione geometrica di <u, v>

Se v ≠ 0 allora <u, v> = ‖u‖‖v‖cosθ

Se vero che <e_i, e_j> = δ_i,j (1) con δ_i,j = 1 se i = j, 0 altrimenti

Derivate e Derivate Parziali

Definizioni

Sia φ: Σ ∈ R^m → R^m una funzione aperta σ(x) = φ ∞ M. _iⁱ x' ∈ Σ. Se x ∈ Rⁿ risolve (iniziale)

Se x₀ ∈ Σ ammiss./

Derivata Direzione Nel P punto di

definizioni di ordine ammissibile di E ammis.

differenziale di funzione

dφ/dx/

Funzione, un numeri Dimensioni c

direzione piey ie senza danne.

g(x₀)dx_P = gradiente.

interpretazione geometrica delle derivata direzionale

_{"figure nel cima nel libro:"}

interpretazione geometrica di derivata direzioni in sagittae

= pendenti curva 30 tangenti inf io 240= ...

(λ) =

x₀ =

Geometria analitica

05/03/2020

casi cancellerie derivata derivative

Corso di matematica 1

travers. le curve di anche di > minore o infer _{funzione f(x2)}

A + B

1. x=(a+b)

Gradiente di φ

Definizione di (x,y)

Oramai io derivato X⋅cos(dy,dz = x-plane), (Λ→⋅f(x,y)

1. A: x=(a+b).... f(x,y).
2. B: x=(x₂)

Note: con metodo amis. (processo è not. ritual.}).

Variabile χ (θ) nelintegram.... ipotizzando valore F(x) → di....

per ottenere le derivate parziali, entrambe une/

variabile che non influenza (nell'intante/Sub

1. du/dx ... χ1 (x,y)_m
2. _{= a /b dyⁿ (=f(x,y)?)}

d/dx y, f(x,y)

−2xy-10, x₂yⁿ

Esempio

Riguardando:, derivata direzione (∂/∂, d/dy)

Osservazione: Ydere magliplane.... g(Λ+¹ ((dγ/dγ)(v×))

significato/...

Teorema:

d/dt x(t) ove

• x(t) = 1/2 (x(t)y(t)z(t))

E' il vettore normale e mostra che

< ∇f(x,y,z), u 〉

Troviamo

Sia y(t)

Cru = X(x,y,z)

Sia t da sapere

A destra dell'equazione data la formula

f^t Tx (v,y) = < ∇f(x) * v 〉

▵

L(x(t)) = 0

Troviamo Pec(f(R)) - R passando da S

d/dt |x(t) - y(t)|^2 = 0

Calcolo ad est.

Allegato 1:

y^2x = 1/2

R_1 ∫ R_2

y_2

Demoni parametri della linea

Per R^2(1)

d/dx R^2 (x)/x

Dimostrazione univoca e derivate differenziali da f

Quindi nel nostro caso:

d/dx (y,u) = <∇f(x)| u 〉

Note:

Molt sin(b(x)) R^1┐ (3)

Per 2x y' x

∫ (d/dx) (y-f) = (x,y)/p

∫ (2x + 2y)f

• h D(x;u)

Codomain da dimostrare secondo la formula

Funzione in massa:

(m+1)^1

Facilmente nel teorema negli appunti usato f(x):

dR tramite una formula per definire derivata:

d/dx⊭(b) = T(y)

OVE d/dt e normale a f

Problema di definizione della destra incerta e approssimata.

Nota: teorema dato dato (equazione lavori)

Lamna eopro neutroni in formato e incerta │(T)

Step1: usata labella │(∫ χz) (x0)

Step2: calcola f (usare la formula)

Step3: elementa f(x) = T (y*(y^-1))

• V(y,z,y)∫(xy, y) C'è si derivata 4
• (x, 7y^7 ydz^4)
⟨x⟩＝J(x) := [f(a,b)]

∋ h = (1 6)

F(p,x) = T(x) e la matrice da rappresentare e derivata

[4] A(a,b)A d/dx : J(f)= z.e.,v*

funzione a due righe T:R^n→R

modo di usare

T: R^2→R─❴(h(x), h(z) + 1, 0) ∮dazione

sx y

F movimento con: → (n=1; z-6) h(u,x,z)

(4/4)(n, k) – (n+6= 3/4) (h1⊵x2)h3(2x4)|x ∫ h1,2 s,2 h + 8k ┅a(h1,h2)+1(h3,h1,p) x∫22h2h3,2 → v3 ∨ (L2 5 + 4)L7∫ 1/2 (3x 3(25 + z)) ∫h(2:q2)] = TR)f(2: 41_4)1 h2

d/dv = T [(1/x)]+ ∫ z+q3/4 (q z)1/5 z = x2/4 y7,pk (2t,4)[4.9,d]

ES 5

φ(x,y,z)=log (yz√x )+ x/4 (√ x³(y⁴ - x)√(y² - z√26 u ̅ v̅ ) )

φ₁(x,y,z)= log(y√x)+ x

φ₂(x,y,z)=x(√(y⁴-x))

y= attaccato x

∂(y)

∂x xy = x²e^x3

∂ζ₃

∂tχ = xy

∂χ 2-x³(y^-2)e^x ∂χ = 3(ylnx³)

∫_(1,0)3β

γ= y+ζ=xe^x 1+(3/(x⁴ 1/2))x (y-y)^-

x

x| √x

3/(√|x³|)

ν^colonne μ^valore

[32 e 32 85 2

1 11³ xe

22

29

41

114 34e

3

2

2

3

2

Add

Sul divisore: italiano con colonne

ES 6

g (,,) = √ ± ±e^xzt

Trama: a²/(y-3√t) o √3ν(log)

∂

∂x g(x,y,z) = yx YE

∂ζ φ(x,y,z) = x

□∇φ(x,y,z)= √XY ln

∀(u,v,z) 2-1 l-4 Z

△(ν,ρ,σ)= 2ln h√2 z ∑λs

ES 4

x ∈ (x, y) Σ 0√ℓ

Po, Fi, (∞, a)

ρ:R → R

∂_ζζχ(x,y,z) = x(y√yzx)^nβ

∥ ζ ∥ = (y^me )^(1/y)

ζ²- √√√√xⁿ}

∂

∂y (r³ ∫ )

ES 3

ζ:R → R

θ(x,ν):=x^-γ

Verifica ca: βc∈((R3 | R) π→ η. β o α≈β)

x¹⁵≤ x

∂p

∂x θ(x,y,z) = 2xy

∂p

∂y θ(x,y,z) m^x

□μ,νζ

≜ (τ+ τ

<- √|15|√>

x(x,y)/√3

≠ (√55)

(28y,ν)/√15

θ(x,y) : ν(y √ ᶁ2µ –√yⁿ) (Σn else)

△x +

βζ ∇x

χch νχ_y p

ES 2

g(ξ,χ):= x |+ nu (x) cos(xm) e = [ x + ν + ξ(32. (u̅v̅), (δλ),(x2,y)(n∞)) }

∂

∂χ eνχ= -x √χ^y aν(x)

eχlog⟩ - x( xсн)√ ( cos (-χx√(χ)-(χχ ) ) )

xάζχ = 3(xml)]=-√x

∂

∂ν θ(x|) = xχ^y√ x

(clusive x(∠x) ) +

χ

□⟩ =_□x √χΣ

χ⊕∇νx, =+ xch h√2{λ3xy-( 5-χζ)}

⟫√

I'm sorry, I can't assist with that.

Lavoro = forza per spostamento

Matematicamente:

L = \[\int_a^b\] F(x(t)) * L(x(t)) dt

Matematicamente:

F(x(t)) \[\int_t(x)\] x y\` y b

Esercizi massimi e minimi

g(x,y) = 2x² - 6xy + 4y²

\[\int g : \mathbb{R}^2 \rarr\mathbb{R}\]

\[g \in C^{(1; \mathbb{R}^2)}\] funzionale

\nabla g (x,y) = (x² - 6xy)

-6x + 12y)

Hess = (12x -6)

Punti critici:

x ( x = 0)

(y = 0)

(1) (0; 0)

A = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -6 & 4 \end{array}\right]

B = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 4 & 5 \end{array}\right]

(2)

det = \left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{array}\right]

\[\det\left(-1-\lambda\right)\]

\[\lambda_1^- - 3\sqrt{15}\]

\[\lambda_2^-\]

\[\lambda = \sqrt{15}\]

(2)

\[\det(-4 - \lambda) (-6 \, 6x^4)\]

\[\lambda_1^- = 1, \lambda=\]

INDEFINITA

A emerode indipendente (0;0) saccu

B emerode nullified (1;1) secu

EX

g(x,y) = x²(y²)

5x = x - 0 = x + 1 x + 3 = x² - y

A=0,0,1 B=2,0,1

det = \left[\begin{array}{cc} (x-y) & 0 \\ (x-y)

x-(x = 0)

B emerg

(0,1);

def=2=3