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Analisi 2
6 Marzo 2019
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Serie di funzioni
domande: come approssimare una funzione come somma finita di funzioni "semplici"?
Come recuperare le linearità di derivata/integrale per somme infinite?
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Calcolo differenziale in più variabili
obiettivi: trovare massimi/minimi di funzioni di più variabili
studiare funzioni vettoriali
ottimizzazione vincolata (come trovare massimi e minimi di funzioni con relazioni tra le variabili)
-
Calcolo integrale in più variabili
solido tridimensionale
possiamo fare delle "sezioni" e trasporre su un piano
Se si integra otteniamo un'area
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Campi vettoriali e superfici
domande: come integrare funzioni vettoriali su curve o superfici
Richiami (serie numeriche)
{an} n ∈ ℕ an ∈ ℝ definiamo Sk = ∑n=0k an ∑n=0∞ an = limk→∞ Sk (1)
Serie di potenze
(capitolo 7, § 4.2)
{fn} n ∈ ℕ, con fn : I ⊂ ℝ (intervallo) → ℝ
per ogni x ∈ I, consideriamo Σn=0∞ fn(x)
Definizione: Convergenza Puntuale: se esiste I* ⊂ I tale che per ogni
Σn=0∞ fn(x) converge, allora diciamo che la serie Σn=0∞ fnconverge puntualmente su I*.
Esempio (serie geometrica)
fn(x) = xn ∀n ∈ ℕ (definita su I = ℝ)
Per quali valori della x converge puntualmente?
Converge puntualmente per x ∈ (-1,1) ⇒ intervallo I*
x ∈ (-1,1); f(x) = Σn=0∞ xn ⇒ f(x) = 1/1-x
fuori da questo intervallo non converge
Esempio (serie esponenziale)
fn(x) = xn/n! ∀n ∈ ℕ (definita su I = ℝ)
Σn=0∞ xn/n! converge puntualmente su I* = ℝ
per x ∈ ℝ; f(x) = Σn=0∞ xn/n! ⇒ f(x) = ex
Esempio (serie armonica)
fn(x) = xn/n ∀n,>1 (definita su I = ℝ)
Σn=1∞ xn/n converge puntualmente su I* = [-1,1)
in x = 1 la serie Σn=1∞ 1/n non converge
in x = -1 la serie Σn=1∞ (-1)n/n converge per il criterio di Leibnitz
Domande
f(x) = Σn=0∞ fn(x) per x ∈ I*
- se fn è continua ∀n lo è anche f?
- se fn è derivabile ∀n lo è anche f?
- in caso affermativo, vale f'(x) = Σn=0∞ f'n(x)
- se fn sono integrabili ∀n lo è anche f?
- se sì, vale ∫ ab f = Σn=0∞ ∫ ab fn?
La risposta a (i), (ii), (iii) è NO.
Dimostrazione:
Sia {an} : |fn(x)| ≤ an ∀ x ∈ I con ∑n=0∞ an converge allora dato ε > 0 ∃ N0 : ∑n=N0∞ an < ε ⁄ 3
definiamo g = ∑n=0∞ fn ⇒ g continua in x0
⇒ ∃ δ : |x-x0| < δ ⇒ |g(x) - g(x0)| < ε ⁄ 2
Vogliamo dimostrare questo
se |x-x0| < δ
|f(x) - f(x0) - (∑n=0N0 fn(x) + ∑n=N0+1∞ fn(x)) - (∑n=0N0 fn(x0) + ∑n=N0+1∞ fn(x0))|
≤ |∑n=0N0 fn(x) - ∑n=0N0 fn(x0)| + |∑n=N0+1∞ fn(x) - ∑n=N0+1∞ fn(x0)|
= |g(x) - g(x0)| + 1|...1|
< ε ⁄ 3 ⁄ 2
< ε ⁄ 3 ⁄ 3 ⁄ ε
⇒ f' è continua in x0
Teorema: (derivabilità termine a termine)
I ⊆ ℝ intervallo aperto, fn : I → ℝ
derivabili su I.
Supponiamo:
- ∑n=0∞ fn converge puntualmente su I
- ∑n=0∞ f'n converge totalmente su I
Allora f = ∑n=0∞ fn è derivabile su I inoltre f'(x) = ∑n=0∞ f'n(x) ∀ x ∈ I
Teorema (di Abel) doppio limite
Sia R > 0 R.D.C. di ∞n=0 an (x-x0)n tale che ∞n=0 an (R-x0)n converge.
Allora: f(R) = limx → (R-x0)- f(x)
uguale per f(-R) --> ∞n=0 an(-R-x0)n converge
Esempio
∞n=1 (-1)n+1⁄n = limx → 1- ∞n=1 (-1)n+1xn⁄n = limx → 1 (ln (1+x)) = ln (2)
Serie di Taylor
Sia f: → derivabile infinite volte di 0 per x ∈ (-ε, ε) (opportuno)
si può scrivere f(x)= ∞n=0 f(n)(0) ⁄ n! xn + En(x)
con En(x) = f(n+1)(C) ⁄ (n+1)! xn+1 dove C ∈ (0,x) ∪ (x,0)
Fatto : se per ogni x ∈ (-ε, ε) En(x) → 0 → n→∞ allora si può scrivere
f(x)= ∞n=0 f(n)(0) ⁄ n! xn per x ∈ (-ε, ε)
Viceversa, se f(x)= ∞n=0 anxn con R.D.C. = R allora in (-R, R) vale an = f(n)(0) ⁄ n!
In generale le funzioni f sviluppabili in serie di Taylor con En(x) → n → ∞
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