Analisi 2 - Appunti - Parte 1

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di Mariao

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Appunti Analisi matematica 2 - Parte 1.Presi con cura a lezione, con esempi ed esercizi svolti a lezione.Appunti divisi e ridotti leggermente di qualità a causa del vincolo sulla massima …

Esame Analisi 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Giannazza Ugo

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2019-2020

100 pagine

Appunti esame

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Analisi 2

6 Marzo 2019

Serie di funzioni domande: come approssimare una funzione, come somma finita di funzioni "semplici"? Come recuperare la linearità di derivata/integrale per somme infinite?
Calcolo differenziale in più variabili obiettivi: trovare massimi/minimi di funzioni di più variabili studiare funzioni vettoriali _{ottimizzazione vincolata (come trovare massimi e minimi di funzioni con relazioni tra le variabili)}
Calcolo integrale in più variabili

solido tridimensionale

possiamo fare delle "sezioni" e trasporre su un piano Se si integra otteniamo un'area
Campi vettoriali e superfici domande: come integrare funzioni vettoriali su curve o superfici

Richiami (serie numeriche)

{a_n} n ∈ N a_n ∈ R definiamo S_k = ^k∑_n=0 a_n

^∞∑_n=0 a_n = lim_k→∞ S_k

Analisi 2

6 Marzo 2019

Serie di funzioni

domande: come approssimare una funzione come somma finita di funzioni "semplici"?

Come recuperare la linearitá di derivata/integrale per somme infinite?
Calcolo differenziale in piú variabili

obbiettivi: trovare massimi/minimi di funzioni di piú variabili

studiare funzioni vettoriali

ottimizzazione vincolata (come trovare massimi e minimi di funzioni con relazioni tra le variabili)
Calcolo integrale in piú variabili
- solido tridimensionale
- possiamo fare delle "sezioni" e trasporre su un piano
- Se si integra otteniamo un'area
Campi vettoriali e superfici

domande: come integrare funzioni vettoriali su curve o superfici

Richiami (serie numeriche)

a_n n ∈ ℕ, a_n ∈ ℝ definiamo S_k = Σ a_n Σ a_n = lim_k→∞ S_k

SERIE DI POTENZE

(capitolo 7, §4.2)

{ f_n } n ∈ ℕ, con f_n : I⊂ℝ (intervallo) ⇒ ℝ

per ogni x ∈ I, consideriamo ∑_n=0^∞ f_n(x)

Definizione "Convergenza Puntuale": se esiste I* ⊆ I tale che per ogni

x ∈ I* la serie numerica

∑_n=0^∞ f_n(x) converge, allora diciamo che la serie ∑_n=0^∞ f_n converge puntualmente

su I*.

Esempio (serie geometrica)

f_n(x) = xⁿ ∀n ∈ ℕ (definito su I = ℝ)

Per quali valori dello x converge puntualmente?

Converge puntualmente per x ∈ (-1,1) ⊆ intervallo I*

x ∈ (-1,1); f(x) = ∑_n=0^∞ xⁿ ⇒ f(x) = 1/(1-x)

Esempio (serie esponenziale)

f_n(x) = xⁿ/_n! ∀n ∈ ℕ (definito su I = ℝ)

∑_n=0^∞ xⁿ/_n! converge puntualmente su I* = ℝ

per x ∈ ℝ; f(x) = ∑_n=0^∞ xⁿ/_n! ⇒ f(x) = e^x

Esempio (serie armonica)

f_n(x) = xⁿ/_n ∀n > 1 (definito su I = ℝ)

∑_n=1^∞ xⁿ/_n converge puntualmente su I* = [-1,1)

in x = 1 la serie ∑_n=1^∞ 1/n non converge

in x = -1 la serie ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ/n converge per il criterio

domande f(x) = ∑_n=0^∞ f_n(x) per x ∈ I*

(i) Se f_n è CONTINUA ∀n, lo è anche f? f:=somma della serie

(ii) Se f_n è DERIVABILE ∀n ...?

In caso affermativo, vale f'(x) = ∑_n=0^∞ f'_n(x)

(iii) Se f_n SONO INTEGRABILI ∀n lo è anche f?

Se sì, vale β∫ = α∫ (∑_n=0^∞ f_n)?

La risposta a (i), (ii), (iii) è NO.

Esempi di casi in cui la risposta è positiva.

Serie geometrica

∑_k=0 x^k+2 = ^1-xⁿ⁺¹/_1-x

Deriviamo ambo i lati:

^{∑_k=0 k x^k-1}/_(x-1)² = ^{(n+1)xⁿ(x-1) - (xⁿ⁺¹-1)}/_(x-1)²

passando al limite per n->∞

∑_k=0 k x^k-

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