Analisi 2 (parte 1) - Appunti

Definizione di curva

Sia I un intervallo reale. Una curva è un'applicazione r: I ⊂ R → Rⁿ in I continua (in ogni suo punto). La funzione I ⊂ t → r(t) è detta rappresentazione parametrica della curva; t è detto parametro. L'immagine r(I) è detta sostegno della curva.

Esempio

1. y = ax² = f(x)

x = t, y = at², t ∈ I ⊂ R

Equazioni parametriche

N.B. L'ordine dei numeri reali induce sul sostegno un'orientazione.

1. x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t ∈ [0, 2π]

Dal grafico si nota che non rispecchia la definizione di f(x) in una variabile, lo diventa solo se si considera un intervallo (ad esempio y > 0).

Curve cartesiane

y = g(x), x ∈ I

x = t, y = g(t), t ∈ I

Gf = {(x, y) ∈ R² x ∈ I, y = f(x)} è il sostegno di r.

Immagine

Definizione di curve

Sia I un intervallo reale. Una curva è un'applicazione r: I ⊂ R → Rⁿ, in 1 continua (in ogni suo punto). La funzione I ∋ t → r(t) è detta rappresentazione parametrica della curva; t è detto parametro. L'immagine r(I) è detta sostegno della curva.

Esempio

1. y = ax² = f(x)

x = t, y = at², t ∈ I

Equazioni parametriche

N.B. L'ordine dei numeri reali induce sul sostegno un'orientazione: le curve cartesiane il sostegno è grafico di una funzione di una variabile.

1. x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t ∈ [0, 2π]

Dal grafico si nota che non rispetta la definizione di f(x) in una variabile, lo diventa solo se si considera un intervallo (ad esempio y₀).

Curve cartesiane

y = g(x), x ∈ I

x = t, y = g(t), t ∈ I

Gf = {(x, y) ∈ R²: x ∈ I, y = f(x)} e è sostegno di r immagine. Se ad esempio cambio il periodo da [0,2π] a [0,4π], la curva è diversa, sono due curve distinte anche se sostengono il uguale.

Definizione di curve chiuse e semplici

Una curva γ : [a,b] si dice chiusa se r(a) = r(b) (stesso valore agli estremi).

Una curva γ : I ⊂ ℝ → ℝⁿ si dice semplice se per ogni coppia t₁, t₂ ∈ I con almeno uno tra t₁, t₂ interno ad I, si ha r(t₁) ≠ r(t₂) (a eccezione che agli estremi assuma stesso valore).

La curva γ definita da x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π] è semplice.

La curva γ definita da x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,4π] non è semplice. Si noti che γ, γ sono curve diverse con uguale sostegno.

Curve in forma polare

Un'altra classe di rilievo di curve piane sono le curve in forma polare (o curve polari). ρ = ρ(Θ), Θ ∈ J

Da ciò segue che:

• x(Θ) = ρ(Θ) cos Θ
• y(Θ) = ρ(Θ) sin Θ

Θ ∈ J

Inverso si è ottenuta una rappresentazione parametrica della curva definita da ciò.

Esempio: Spirale di Archimede

ρ₁(Θ) = Θ, Θ ≥ 0

Equazione di una curva del piano

x² + y² = √(x² + y²) + x

Introduciamo le coordinate polari. Da ciò si deduce:

ρ² = ρ + ρ cos θ

ovvero ρ² = ρ (1 + cos θ)

Si osserva che (0,0) soddisfa l'equazione con ρ ≠ 0, si ottiene:

ρ = 1 + cos θ, θ ∈ [0, 2π]

{ x(θ) = (1 + cos θ) cos θ
{ y(θ) = (1 + cos θ) sin θ

Derivabilità e vettore velocità

Data r: I ⊂ R → Rⁿ se r è derivabile in t₀ il vettore r'(t₀) = lim_t→t0 ( r(t) - r(t₀) ) / ( t - t₀ ) è detto vettore velocità (o vettore derivato).

Se r'(t₀) ≠ 0 (n ≥ 2) la retta di equazione x = x(t₀) + r'(t₀)(t - t₀) è tangente ed è sostegno della curva in r(t₀).

Curva regolare

Una curva r: I → Rⁿ si dice regolare se r ∈ C¹(I) e r'(t) ≠ 0 ∀t ∈ I.

Nel caso n = 2:

r(t) = (x(t), y(t)) ≠ 0 implica che x'(t) ≠ 0 o y'(t) ≠ 0

N.B. C¹ = derivata, ma anche derivate continue. Se x'(t₀) > 0, si avrà x'(t₁) > 0 in un intorno di t₀, ovvero x(t) è invertibile localmente in un intorno di t₀, ed è possibile ottenere t = t(x). Da y = y(t) e t = t(x) segue che y = (y∘t)(x) = f(x) (localmente).