Analisi 2 (parte 1) - Appunti

Curve

Definizione: Sia I un intervallo reale. Una curva è un'applicazione r.

La funzione I _t r(t) è detta rappresentazione parametrica della curva; t è detto parametro.

L'immagine r(I) è detta sostegno della curva.

Esempio

1. y = ax² = f(x)

Equazioni Parametriche

1. (x(t) = R cos t

   y(t) = R sin t

   t ∈ [0, 2π]

Dal grafico si nota che non rispetta la definizione di funzione in una variabile, lo diventa solo se si considera un intervallo (ad esempio y≥0).

Curve cartesiane

y = f(x) x ∈ I

• x = t

  y = f(t) t ∈ I

Gf = {(x,y) ∈ R² x ∈ I, y = f(x)}

Definizione:

Una curva r : [a, b] si dice CHIUSA se r(a) = r(b) (stesso valore agli estremi).

Definizione:

Una curva r : I ⟶ R² si dice SEMPLICE seper ogni coppia t₁, t₂ ∊ I con almeno uno trat₁, t₂ interno ad I, si ha r(t₁) ≠ r(t₂)(a meno che agli estremi assuma stesso valore).

La curva γ definita da x = Rcos t y = Rsin t, t ∊ [0, 2π] è semplice.

La curva γ definita da x = Rcos t y = Rsin t, t ∊ [0, 4π] non è semplice.

Si noti che γ, γ̅ sono curve diverse con uguale sostegno.

Un'altra classe di rilievo di curve piane sono le curve in forma polare (o curve polari).

ρ = ρ(θ), θ ∊ I

Da (5) segue che x(θ) = ρ(θ) cos θ y(θ) = ρ(θ) sin θ, θ ∊ I

Ovvero si è ottenuta una rappresentazione parametrica della curva definita da (5).

E.g. ρ(θ) = θ, θ ≥ 0 → Spirale di Archimede

Se l'insieme in (8) è sup limitato, la curva si dice rettificabile

e si pone

L(γ) = sup{L(P), β poligonale con vertici su γ}

L(γ) è detta lunghezza della curva

Vedremo che sono rettificabili:

• le curve regolari
• le curve appartenenti a C¹
• le curve regolari a tratti

L(γ) = ∫_a^b |r'(t)| dt → lunghezza curva

Dato ψ(β) , se i(β) è sup limitato, la curva si dice rettificabile, e L(ψ) detta lunghezza della curva è posto come:

sup {L(ψ(β), β poligonale}

Inoltre:

L(ψ) = ∫_a^b |r'(t)| dt

Si ha

X'(s) = r'(t(s)) · t'(s) = r'(t(s)) · 1/||r'(t(s))||

d/dt r(t(s)) = d/ds r(t(s))

||X'(s)|| = 1, ∀s ∈ [0,L(γ)]

ESEMPIO:

• x(θ) = R cos θ
• y(θ) = R sin θ

θ ∈ [0, 2π] R > 0 dato

Si considera la curva definita da tali parametri:

c : [0, 2π] → R²

c ∈ C¹([0, 2π])

c(θ) = (R sin θ, R cos θ)

||r'(θ)||² = R² sin²θ + r²cos²θ = R²

La curva è regolare.

Determinare la rappresentazione standard:

Si definisce:

• s(θ) = ∫₀^θ ||r'(φ)|| dφ = ∫₀^θ R = Rθ, θ ∈ [0, 2π]

L'inversa è:

θ = s/R, s ∈ [0, 2πR]

X(s) = (R cos(s/R), R sin(s/R)), s ∈ [0, 2πR]

c è la funzione composta

INTEGRALI DI LINEA

fes parametrica c

γ: [a, b) → R²

(γ ∈ C⁰([a, b]) qua monotona)

Teoremi (risultati) di rilievo

• Teorema degli zeri
• Teorema dei valori intermedi
  • concetto di insieme connesso
• Teorema di Weierstrass
• Teorema di Heine-Cantor (uniforme continuità)

Limiti - Continuità

Per _f: _D ⊂ ℝⁿ → ℝ

nel caso n=2 se abbiamo un punto (x₀,y₀) di accumulazione per D

f(x,y) → _{x→x0,y→y0} L ∈ ℝ¹ (1)

(1) è vera se e solo se ne ha:

lim _p→0⁺ sup _{(θ ∈ [0,2π])} f(x₀ + p cosθ, y₀ + p sinθ) = L = 0 (2)

ovvero è equivalente: la (1) implica la (2) e viceversa.

Al momento la dimostrazione è omessa.

Esempio 1

f(x,y): = ^xy/_√(x²+y²) è continua nel suo dominio perchè è un rapporto tra due f.ni continue

E ma estendibile con continuità:

f(x): = {\semx/x x ≠ 0, 0 x = 0} _{p ∈ C⁰(D)}

Si definisce _f̃(x) = ^{{f(x) x ≠ 0, 1 x = 0}} → _{f̃∈C⁰(ℝ)}

Se n=1 e i=1,2,...,m, ove è un vettore dello spazio normato, e l'eventuale(i) derivate direzionali si chiamano derivate parziali. Esse si indicano con i simboli:

_∂f/_∂xi

_∂f/_∂xi (x₀)

Df(x₀)

f_xi(x₀)

Nei caso in cui:

n = 2, m = 2

p_o = (x_o,y_o) e il rapporto incrementale è:

f (x_o + h,y_o) - f(x_o,y_o) / h

h ≠ 0

Esempio

f( x,y ) = { xy/x² + y² ; (x,y) ≠ (0,0) }

{0 ; (x,y) = (0,0)}

In un punto diverso dall'origine: p_o = (x_o,y_o) ≠ (0,0) ∃ f_x (x,y) con (x,y) ≠ (0,0).

O meglio se p_o = (x_o,y_o) ≠ (0,0) esiste f_x (x_o,y_o) al fatto di assolute, re la derivabilità della funzione x → f (x_o,y_o) e si ha che:

f_x (x_o,y_o) = y_o d/dx x/x₂ + y₂² x = x_o

ψ = x² + y² - 2x/x₂ + y₂ t x - y_o√x² x₂/(x_o + y_o)²

Si ottiene la funzione:

(x,y) → f_x(x,y)

(x,y) ≠ (0,0)

Se p_o = (0,0) h ≠ 0 si ha:

f(h,0) - f(0,0)/h = 0

0/h = 0 → 0, h → 0

Dunque ∃ f_x (0,0) = 0

Per motivi di simmetria f_y (x,y) = f(x,y)

∃ f (0,0) = 0

∃ f_x/∂y( x,y ) = x¹/x²_/(x¹ + y¹)²

∀(x,y) ≠ (0,0)

Problemi di massimo / minimo

• Soluzione che si vede a occhio

Es f(x,y) = ^x/_x+y²

g = ^x/_√x²+y²

Analisi per mezzo di curve / superfici di livello

Nel caso di f: K ⊆ ℜⁿ → ℜ con K chiuso e limitato e f continua in K

Analisi di f | K         ricerca di eventuali punti critici o         stazionari per f f | ∂ K         parametrizzazione di ∂ K, quando pos. l         Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Esercizio

Determinare massimo e minimo assoluti della funzione

P(x,y) = ^{x2 + z}/_{x²y⁴ + 1}

Nell'insieme D = {(x,y) ∈ ℜ² : x²y² ≥ 8} (il complementare è aperto)

Proposizione

Si ricordi che se g: ℜⁿ → ℜ è continua e l'insieme D = {x ∈ ℜ : g(x) < 0} (∈ un sottolivello) è aperto.

Conseguentemente:

1. C = {x ∈ ℜⁿ : g(x) ≥ c } è chiuso    se C ∈ ℜ
2. Infatti   C = {x ∈ ℜ : g(x) ∈ c}^c
3. E = {x ∈ ℜ : g(x) = c } è chiuso    perché il complementare è aperto.
4. F = {x ∈ ℜ : g(x) = c} è chiuso Infatti: F = {x ∈ ℜⁿ : g(x) ≤ c} ∩ {x ∈ ℜⁿ : g(x) ≥ c} (intersezione di due chiusi)