Appunti del corso di Fondamenti di telecomunicazioni

Richiami sui numeri complessi (Capitolo 1)

Nascino per dar soluzione a x² = -4

• L₁, L₂ : numeri immaginari
• i² = -1

Numero complesso c = a + ib con a, b ∈ ℝ , c ∈ ℂ

c^* = a - ib

Nel piano di Gauss

• [a, b] numero complesso
• somma per complex [a, b] + [c, d] = [a+c, b+d]
• prodotto:
  • [a, b] ⋅ [c, d] = [ac - bd, ad + bc]

In telecomunicazioni usiamo j al posto di i

Formula di Eulero

c = a + ib = z ⋅ cosψ + i ⋅ z ⋅ sinψ

φ : argomento → arg(c) z : modulo → |c|

In coordinate polari

c = a + ib : z cosψ = x_c y = z (cos φ + i sin φ)

C₁ + C₂ = z₁z₂ [cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)]

Funzioni goniometriche:

cos_ψ = ^{eiψ + e-iψ}/₂ sin_ψ = ^{eiψ - e-iψ}/_2i

Sinusoidi e fasori

x(t) = A cos(ωt + θ) = A_ce^{j(ωt + θ)} - A_ce^{-j(ωt + θ)} _{/sub> 2}

x(t) = Re{A_c e^{j(ωt + θ)}}

Num. complesso rappresentativo del fasore → A_ce^jθ

Se la frequenza è nota è comodo usare questo numero: metodo dI Steinmetz

Analisi di Fourier

(Capitolo 2)

Sviluppo in serie di Fourier

x(t) = x(t + T)   funz. periodica

Prima forma (esponenziale)

x(t) = x(t + T)   con   (ω₀ = ^2π/_T)

x(t) = ^∞∑_{n = -∞} C_n e^jnω₀t   con   ω₀ = ^2π/_T

                sintesi

                num. compl. rapp. nell'n-esimo fasore

  analisi

lim_N→∞ { x(t) - ^N∑_{m = -N} C_m e^jmω₀t } = 0

            convergenza puntuale

lim_N→∞ ⌠ x(t) - ^N∑_{m = -N} C_m e^jmω₀t ⌡ dt = 0

     ⌡^T        

            convergenza media quadratica

Se valgono le

Condizioni Dirichlet

1) ⌠ | x(t) | dt < ∞

  ⌡^T

2) # max < # min    su - T < ∞

   numero finito

3) # discontinuità 1° specie x(t) su T < ∞

Allora la serie converge

^∞∑_{m = -∞} C_m e^jmω₀t = ^{x(t+) + x(t-)}/₂

        ------------

Condizione per conv. media quad.

⌠ | x(t) |² dt < ∞

⌡^T

E_x < ∞   ⟹ C.M.Q.

Considerazioni:

1) ⌠ x₀ dt

  ⌡^T

2) x(t) ⟺ ^∞∑_{m = -∞} C_m e^jmω₀t

3) Se x(t) ∈ ℝ   1 C_m ∉ ℂ

4) C₀ = ¹/_T ⌠ x(t) e^jω₀t    dt = ¹/_T ⌠ x(t)    dt   → valore medio di x(t)

Integrale di Fourier

x(t) = ∫√(V(w))cos[wt - φ(w)] dw

con V(w) = |X(w)| / π

con w ≥ 0

Spettro di Ampiezza Modulato

Spettro in Fase

Banda di un segnale = intervallo sul semiasse positivo dove V(w) ≥ 0

Si parla di passa-basso quando la banda è uguale a 0 o prossima ad esso

Si parla di passa-banda con wc = w2 - w1 / 2

Esempio

x(t)

X(w); V(w); φ(w); grafico w ?

X(w) = ∫x(t)e^-jwtdt

= A(∫e^-jwtdt) = A(e^-jwtπ/2 / -jw π/2)

= A(e^-jwt/2 / -jw)

= I sinc wπ/2 / 2π

In questo caso X(w) ∈ _IR

X(w)

V(w) = |X(w)| / π per w ≥ 0

φ(w) = -arg{x(w)}

{0 per x(w) ≥ 0 π per x(w) ≤ 0}