Appunti Telecomunicazioni

Schemi per orale TLC

Analisi complessa

Coordinate polari: Eulero

Simmetria ermitiana: modulo pari e argomento dispari

Prodotto di convoluzione: *da approfondire

Quando viene inviato un messaggio

Il segnale arriva alla stazione radiobase, la quale si domanda se quel segnale è per lei o per un’altra stazione radiobase.

• Le stazioni sono infatti collegate tra di loro e anche al core network.
• Nel core network, che comprende una moltitudine di nodi, ci si domanda se l’utente ha tutti i permessi necessari per accedere alla rete e se la risposta è SI, può accedere a uno dei collegamenti del core network: rete fissa, Internet o rete mobile di altri operatori.

Una volta che un dominio (www. …) arriva a internet, il domain name system si domanda a quale dispositivo corrisponda quel dominio e cerca quindi l’indirizzo IP corrispondente.

• Una volta trovato, l’indirizzo IP viene mandato al router, che potrà instradare il messaggio, mediante altri numerosi router, verso il destinatario finale.

Internet = insieme dei nodi che instradano il segnale verso il destinatario finale (problema: indirizzi IP limitati → soluzione o indirizzi IP dinamici)

Segnale

Collegamento = trasferisce il a distanza, dalla sorgente all’utilizzatore.

Il messaggio non ha una forma fisica ben definita.

• Il segnale è una funzione del tempo che ha caratteristiche fisiche ben precise, che trasporta il messaggio, e viene misurato in Volt.

3 possibili metodi di codifica per un messaggio binario

• Ai bit sono associati impulsi → es. bit 1 corrisponde a +5V.
• Ai bit vengono associati simboli → es. bit 1 corrisponde a +1, bit 0 a -1.
• Codifica di Gray multilivello simmetrica:
• Si hanno livelli simmetrici (considero x bit alla volta).
• Ai bit vengono associati simboli.
• Gray: a simboli adiacenti (es. -3 e -1) vengono associate stringhe di bit che differiscono al massimo di 1 bit.

Tipi di messaggio

Messaggio binario

Messaggio numerico: l’informazione viene emessa in istanti discreti e i valori appartengono a un intervallo finito.

Messaggio analogico

L’informazione risiede nei valori istantanei della grandezza che la trasporta e varia con continuità.

Funzioni ausiliarie

Tale che → rettangolo di A=1 con b→ 0 e h →

Proprietà

• Dim:
• Dim: →
• Prodotto di convoluzione:

Valore medio

• Complesso
• Riassuntivo dell’intero segnale
• Se V è periodico non c’è il limite

Energia

• Reale
• Riassuntivo dell’interno segnale
• Energia finita segnali a durata limitata o praticamente limitata

Potenza

• Potenza istantanea
• Potenza media
• Reale
• Riassuntivo dell’interno segnale
• Potenza finita segnali a durata illimitata (es. periodici)

Fasore

È periodico → dim: perchè

Il fasore è identificato da spettro di ampiezza e spettro di fase

Formula di Eulero

Segnale = funzione tempo-continua e continua nei valori

• Segnali analogici → trasportano messaggi analogici (video, audio..)
• Segnali campionati → trasportano campioni di grandezze fisiche misurate tramite sensori
• Segnali numerici → trasportano messaggi numerici

Segnale analogico

Audio

Il messaggio f(t) è costituito da un’onda acustica.

• Il trasduttore di sorgente che genera il segnale Str(t) è il microfono.
• L’onda acustica colpisce con una certa pressione la superficie del microfono.
• Tale pressione può essere vista come una somma di sinusoidi e varia con continuità.
• Il microfono genera così un segnale proporzionale alla pressione esercitata.

La quantità di informazione contenuta nel messaggio è misurata attraverso la larghezza di banda. È possibile ridurre la quantità di informazione introducendo un filtro che riduce il range di frequenze trasmesse, e in questo modo migliora la trasmissione; inoltre se due frequenze sono molto vicine è possibile trasmetterne solo una poiché l’orecchio umano non sentirebbe la differenza.

Video

Il messaggio f(t) è un’onda luminosa.

• Il trasduttore di sorgente è la videocamera.
• L’onda luminosa che colpisce la videocamera è costituita da tante onde luminose a diverse frequenze e alla fine il video risulterà essere una sequenza di immagini fisse.
• Per avere fluidità f(quadro) > 45 Hz.

In un video in bianco e nero viene trasmessa la luminosità, ovvero il livello di grigio, di ciascun pixel mediante una scansione per righe. A ciascun livello di luminosità viene poi associata una tensione. La quantità di informazione viene misurata mediante la frequenza di pixel: con K = numero di pixel → è possibile ridurre la quantità di informazione trasmettendo unicamente i pixel che variano da un quadro all’altro, mediante un codificatore di linea.

Segnali campionati

Trasportano campioni di grandezze fisiche misurate tramite sensori (es. temperatura in una stanza). La quantità di informazione è misurata mediante la frequenza di campionamento. T coerenza = tempo dopo il quale due campioni sono incorrelati → si può ridurre la quantità di informazione ma tenendo conto del T coerenza.

Segnali periodici

• Sono segnali a energia infinita e potenza finita.
• Un segnale è periodico se il segnale può essere visto come una somma di infiniti fasori → serie di Fourier f₀ = frequenza fondamentale nf₀ = armoniche

Proprietà:

• Dim:
• Se v è reale → (simmetria ermitiana) dim:
• Se v è reale → dim: scrivo v(t) come somma di contributi zero, negativi e positivi cambio variabile due volte solo a quelli negativi con m= -n e dopo m= n riduco ad un’unica somma raccolgo il modulo dei C_n ottenendo la somma di esponenziali trasformo le esponenziali in un coseno.

Teorema di Parseval

Per un segnale v periodico la potenza è data dalla somma delle potenze dei singoli fasori che lo compongono → dim: parto dalla definizione di potenza scrivo v e v* come somme di più fasori con serie di Fourier distinguo 2 casi: m uguale a n e m diverso da n (che si cancella).

Segnali a energia finita

• Sono segnali a energia finita e potenza nulla.
• Possono essere visti come una somma di infiniti fasori mediante la trasformata di Fourier.

Proprietà:

• V(0) = Area sottesa da v(t) →
• Se v(t) è reale → (simmetria ermitiana) dim:
• Se v(t) è reale →

Teorema di Rayleigh

Dim: parto dalla def di energia scrivo soltanto v(t) come integrale con la trasformata di Fourier effettuo gli scambi.

Segnali a potenza finita aperiodici

Si definisce la funzione di autocorrelazione, che indica quanto il segnale traslato di somiglia a se stesso.

Proprietà:

• In zero assume valore massimo →

Densità spettrale di potenza

Descrive come la potenza è distribuita nel dominio delle frequenze (positiva e reale) dim: →

Sistema

= entità che rappresenta un dispositivo o un fenomeno la cui evoluzione temporale si manifesta mediante variazioni di alcuni suoi attributi misurabili detti ingressi e uscite. → Y(t) = T[x(t)]

Un sistema può essere:

1. Lineare → se T[a x₁ + b x₂ ] = aT[x₁] + bT[x₂]
   • Esempi:
     • y(t) = A x(t) → T[a x₁ + b x₂ ] = A (a x₁ + b x₂) aT[x₁] + bT[x₂] = a Ax₁ + bAx₂ → È lineare
     • y(t) = A + x(t) → T[a x₁ + b x₂ ] = A + a x₁ + b x₂ aT[x₁] + bT[x₂] = a(A + x₁) + b(A+x₂)
2. Tempo – invariante → se → ovvero traslando l’ingresso di un certo intervallo anche l’uscita è traslata dello stesso intervallo es. y(t) = t x(t) →
3. Causale → y(t) dipende unicamente da x(t) per (y non dipende dal futuro) es. → non causale → causale
4. Senza memoria → se dipende solo da (y dipende solo dal presente) - sotto-caso del causale, esempio: resistenza
5. Reale → se x è reale allora anche y è reale

Esempi:

• Amplificatore e attenuatore sono LTI, causali e senza memoria.
• Derivatore, integratore e ritardatore sono LTI.
• Quadratore è NON lineare, senza memoria e tempo invariante.
• Modulatore a prodotto è NON tempo invariante, ma senza memoria e lineare.

Funzione di trasferimento in regime fasoriale

x è un fasore quindi anche y lo è! → il modulo è detto caratteristica di ampiezza, la fase caratteristica di fase

Segnali a potenza finita periodici

• Il modulo del fasore di uscita non dipende dalla caratteristica di fase.
• La fase del fasore di uscita non dipende dalla caratteristica di ampiezza.

Se allora...

Segnali a energia finita

• Il modulo del fasore di uscita non dipende dalla caratteristica di fase.
• La fase del fasore di uscita non dipende dalla caratteristica di ampiezza.
• Se V(f)=0 allora U(f)=0.

Segnali a potenza finita aperiodici

Condizioni di non distorsione

y(t) è detta versione indistorta di x(t) se il sistema LTI è non distorcente se: → caratteristica di ampiezza COST e caratteristica di fase LINEARE → distorsione di ampiezza o distorsione di fase

Filtri ideali = sistemi LTI

che soddisfano le condizioni di non distorsione all’interno di una certa banda e hanno caratteristica di ampiezza nulla al di fuori di quella banda

1. Filtro ideale passabasso: con
2. Filtro ideale passabanda: con
3. Filtro elimina – banda → duale del passabanda
4. Filtro passa-alto → duale del passabasso

Filtri reali

Sistemi LTI che hanno caratteristica di ampiezza quasi costante e caratteristica di fase quasi lineare in una certa banda e caratteristica di ampiezza nulla al di fuori di quella banda → si va a definire una banda passante (rosso, ma anche una banda di transizione (blu))

Sistemi LTI in cascata

H₂(f)H₁(f)x(t) w(t) y(t) dim:

Sistemi LTI in parallelo

y₁(t)H₁(f) y(t)x(t) dim: y₂(t)H₂(f)

Sistemi LTI in regime sinusoidale

Dim: sapendo che so inoltre che:

Conversione analogico/digitale

Ingresso segnale trasdotto Str(t), uscita {b_n} Sma Trs La conversione analogico/digitale deriva dalla cascata di 3 operazioni: campionamento, quantizzazione e codificazione

Campionamento

Teorema del campionamento:

Un segnale v(t) con spettro (di ampiezza o di potenza) nullo al di fuori di una banda [0;B] è univocamente determinato quando si conoscono i valori del segnale in istanti t_n che si succedono con intervallo di campionamento → Significato:

• Ho un segnale v(t) con una certa banda B di questo segnale conosco i valori in certi istanti distanziati di un intervallo Tc
• Se significa che a partire da quei valori posso ricavare ESATTAMENTE (UNIVOCAMENTE) quel segnale
• Conoscere i campioni o tutto il segnale è equivalente → il campionamento è reversibile → mediante il campionamento si passa da un segnale TEMPO-CONTINUO e CONTINUO NEI VALORI a un segnale TEMPO- DISCRETO e CONTINUO NEI VALORI

Quantizzazione

→ mediante la quantizzazione si passa da un segnale TEMPO-DISCRETO e CONTINUO NEI VALORI a un segnale TEMPO-DISCRETO e DISCRETO NEI VALORI → quantizzazione NON reversibile

• La quantizzazione avviene in diverse fasi:
  • Si suddivide l’asse dei valori in INTERVALLI di quantizzazione (non sono x forza identici)
  • Associo a ogni intervallo di quantizzazione un LIVELLO di quantizzazione
  • Si genera un errore di quantizzazione → NON REVERSIBILE
    • Se aumenta il numero di livelli → si riduce l’ampiezza dell’intervallo e si riduce l’errore

Codificazione

→ si associa a ogni livello di quantizzazione una sequenza di bit → → ciascuna stringa che rappresenta il campione è formata da x bit

Segnale PAM

= è una sequenza di impulsi rettangolari (rect) moltiplicati per il simbolo a_n, in cui: con *N = numero simboli → si usa la codifica di Gray multilivello simmetrica PAM significa Pulse Amplitude Modulation → ho impulsi rettangolari e li modulo attraverso una modulazione dell’ampiezza

Processi aleatori

→ si considera un fenomeno che varia nel tempo e a quel fenomeno si associa una funzione che varia nel tempo (realizzazioni, funzioni campione)

• Valore medio statistico → dipende da t, NON dipende dalla specifica realizzazione
• Valore medio temporale → NON dipende da t, dipende dalla specifica realizzazione

Esempio: considero una realizzazione: posso trovare il valore medio temporale di questa realizzazione, se poi conosco più realizzazioni (x₂, … x_n) potrei trovare anche il valore medio statistico x₁(t) Valore medio temporale T esempio di processo aleatorio: rumore termico ai capi di un resistore, segnale PAM → ho segnali diversi ma il valore medio tra i due sarà nullo.

Processo aleatorio stazionario

= se le sue caratteristiche statistiche NON dipendono dal tempo.

Processo aleatorio ergodico

= se con probabilità 1 ciascuna realizzazione è caratteristica dell’intero processo

Significato: considero una realizzazione qualunque con delle sue caratteristiche e queste mi permettono di descrivere l’intero processo → una sola realizzazione descrive l’intero processo.

Esempio: resistore di resistenza R e temperatura T → segnale che esce da quel resistore sarà rappresentativo di tutti i resistori con resistenza R e temperatura T

Proprietà:

• Se il processo aleatorio è ergodico si parla di densità spettrale di potenza del P.A. →
• Un processo aleatorio ergodico è noto se sono note la densità di probabilità e la densità spettrale di potenza
• Se x(t) è ergodico allora anche y(t) lo è

Rumore termico e effetto Johnson

Si considera un processo aleatorio ergodico e gaussiano con valore medio nullo, che ha densità di probabilità:

Si definisce la sua densità spettrale di potenza: Con De L’Hopital si trova 1° approssimazione: 2° approssimazione: dato che con la 1° approssimazione la potenza risulta infinita e non ha senso, si calcola la potenza solo all’interno di un certo range di frequenze W(f) F Se si considera un CARICO ADATTATO: R R_Y out → Trasduttore Trasmett. S APP tr trasmissione MEZZO DI PROPAGAZ. Trasduttore U Ricev. APP ric MEZZO ricezione TRASMISSIVO

Si distinguono DISTURBI:

• Esterni: es. interferenze
• Interni: es. rumore termico

PRIMA del ricevitore: viene introdotto un rumore additivo, gaussiano e bianco (ovvero W(f)=cost) DOPO il ricevitore: viene introdotto un rumore additivo, gaussiano e NON bianco Pertanto dopo il ricevitore il segnale totale sarà dato da: Considerando: in cui CIFRA DI RUMORE: → Temperatura equivalente di rumore: Per dispositivi lineari in cascata (PRIMA DEL RICEVITORE): Tr₁, G₁ Tr₂,G₂ caso particolare attenuatore: se

Determinare SNR (Signal to Noise Ratio)

A valle del ricevitore arriva il segnale: ha potenza → (perché n è l’uscita e l’ingresso!) esempio: W_n(f)W_v(f) H(f)²N₀ G N₀G Spiegazione esempio: il primo disegno indica il secondo disegno indica (guadagno) *IMPO AL QUADRATO! L’ultimo disegno indica la Potenza è l’area sottesa dal grafico di ovvero *OSS. G non influenza SNR grafico: Peb in unità lineari ma in scala logaritmica su asse y, SNR in dB sull’asse x → si hanno diverse possibili curve al variare delle tecniche di trasmissione, Peb è una funzione monotona e decrescente

Teorema

Dato un valore di SNR* è possibile rendere Peb piccola a piacere purché la bit rate R_b sia inferiore alla capacità di canale → B_c = banda del canale → Significato: Posso cambiare la tecnica di trasmissione avendo una Peb piccola a piacere, tendente allo zero, a patto che R_b rimanga minore di C Grafico C-SNR: SNR = 1 (Pr = Pn) → C= B_c anche con un SNR molto piccolo C è comunque maggiore di 0 → ho potenza di segnale molto bassa ma posso comunque trasmettere qualcosa se → → raddoppiare il SNR non permette di raddoppiare la bit rate R_b C SNR** se filtro passabanda con banda B e guadagno G: Grafico C- B_c: C se B_c → 0: C→ 0 se B_c →: C → B_c

Segnale PAM

→ il segnale PAM è un processo aleatorio, non è ergodico ma è ciclo-ergodico se gli a_n sono indipendenti e a media statistica nulla si definisce la densità spettrale di potenza con e *V= ampiezza impulso si assume

Mezzi trasmissivi

In cui S e U sono rispettivamente: FZ DI TRASFERIMENTO TOTALE = H(f) = H_t(f)*H_p(f)*H_r(f) → prodotto (perché in cascata) tra le f_z di trasferimento del trasmettitore, mezzo trasmissivo e ricevitore Si vuole scegliere H_t(f) e H_r(f) (f_z di trasferimento di trasmettitore e ricevitore) in modo da compensare H_p(f) (f_z di trasferimento del mezzo trasmissivo) in modo da ottenere H(f) con ampiezza costante e fase lineare (condizioni di non distorsione) segnale dopo il trasmettitore → (ingresso) segnale prima del ricevitore → (uscita)