Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
G(s) = bnsn + ... + b1s + b0/sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0
G(s) ha tutti i poli a parte reale < 0
Theorema risposta in sequenza
ys(t) y0(t) + yreg(t) lim y0(t) = 0
t→∞
μ(t) = Acos(ωt)
yreg(t) = Δ |G(jω)| cos(ωt + ∠G(jω))
G(jω) | ω > 0
DIAGRAMMI DI BODE
Rappresentazioni di Gl(jω) con i diagrammi di Bode
FORMA DI BODE della Funzione di Trasferimento
G(s) = KB/sh 1/(1 + τss) 1(1)/( 1+2ξss s)
· s/ωn12
1° ordine
· 1/(1+τzs) 1 (1)/( 1+2ξzs) 3
ωn1 + s2/ωn22
2° ordine
KB ∈ R · (in continua ω = 0)
- giustificazione di Bode in (h=0· ∴ KB = G(0))
sh h > 0 G(s) ha poli in s = 0
h = 0 G(s) ha zeri in s = 0
h < 0 G(s) ha poli/zeri in s ≠ 0
1 + τss ha poli/zeri in s = -1/τz poli/zeri a parte reale
ωn2 interessa nel caso in cui radici sono complesse coniugate
(ωn < 0) RADICI: s2 + 2ξꞵωn s + ω2n = 0
s = -ξωn ± jωn √1-ξ2 ∈ (-1,+1)
coste in pulso molte su reale bond complesse coniugate
s = -ξωn + jωn|1 - ξ2|1/2 parte reale
parte immaginaria
ωn = PULSAZIONE NATURALE del fattore di 2º ordine
δ = FATTORE di SMORZAMENTO di fattore di 2º ordine
Distanza dalla facice dell'angolo δ · ωn + j ωn √(1-δ2) = ωn
senø = δ ωn/ωn
Ansiemi:
- ωn = misura la distanza dalla radice dell'origine
- δ = misura la distanza della radice dall'asse immaginario
ωn = costante e δ ∈ (-1,1)
Polo reale negativo
1G(s)
s < 0
Punto di rottura
ie. un ordine con tanti ai un andamento 1/w
Cambia d'andamento del modulo
Modulo cost. fino al punto di rottura, dopo ie. pulsa ha una pendenza di -20 dB su decade
Nota asint.: |G(jω)|dB = 20 log 1/τ = -3 dB
ie. diagramma vero e discosta di 3 dB dal diagramma asintotico
L'incrocio sul diagramma vero corris. esatto ai punto di rottura
Diagrammi di G(s) 1 + sτ (con ZERO)
- τ > 0
- Zero "Stabile"
- G(jω) = 1 + jωτ
- arg(G(jω)) = arctg(ωτ)
- +16 dB / dec
20 dB / dec
- lo zero guadagna 20 dB/dec
- opposto del polo
- Zero Stabile (τ > 0)
- guadagno fase
- Zero Instabile (τ < 0)
- perde fase
2)
- G(s) = 4 (5 - 1)/(s^2 + 1) (5 - 10) = -0.4 (1 - s)/(4 + 5/10)
- G(s) = 4 (5 - s)/(s^2 + 1) (5 - 0) = 0.4 (4 - s)/(4 + 5/10)
- G(s) = -0.4 (1 + s)/(4 - 8) (5 + s) = -(1 + s)/(1 + s) (4 + 5/10)
- G(s) = 4 (5 - 1)/(5 - 1) (5-10) = -0.4/1 - s/10
0.4 → -20 dB → -s1
1 → 0 dB
<G(jω)> de
se i fattori e de numeratore
G(s) = 1 + 2┤s┭┻n + s2/┭┻n2
ZERI: s = ┤┤n ; ┭┻n-1-s2
MODULO → rielaborato
- s = ±1
FASE
┭┻n
┭┻n
s = ±1
┭┻n
┭┻n
s = 0
┭┻n
┭┻n
|s>0| ZERI STABILI
|s<0| ZERI INSTABILI
DIAGRAMMI di NYQUIST
Separando il modulo e la parte (es.g. Bode) posso costruire i diagrammi di Nyquist al variare di w
G(s) = KB
φ/2 = π/2
KB < 0
π
π/t
KB > 0
Modulo costante e fase Φ = -π/2
ESEMPIO
G(s) = 100 (s+1)/5 (s+10) = (1+s)/(1 + s/10)2
• integratore: polo 0 -10 • polo 10 (polo 0) • zero s = 1 • punto di rottura: 10 → STABILE • punto di rottura: 1 → STABILE
in 0 il modulo è ∞ in ∞ il modulo è 0
La fase sta tra 0 e –π
limω→0 ΘG(jω) = A + jω
Se avessi
G(s) = (1 ± 3/10)᛫10
s(1-4-s)
iᛖ modulo si rompe monotono crescente
La fase cambia da -Π crescente
10^3/10^3
RIEPILOGO
- Eq di stato LTI
- x'(t) = A x(t) + B u(t)
- y(t) = C x(t) + D u(t)
- x(0) = x0
sistema A.S. se e solo se la matrice A ha tutte gli autovalori a parte reale <0
- Rappresentazione ingresso-uscita LTI
Dny(t) + an Dn-1 y(t) + ... + a0y(t) = b0u(t) + bn-1 Dn-1u(t) + ... + b0Dnu(t)
- Polinomio caratteristico
p(s) = sn + an-1sn-1 + ... + a0
sistema è A.S. se e solo se il polinomio caratteristico p(s) ha tutte le radici a parte reale <0
se u(t) = 0 ∀ t ≥ 0. lim |xe(t)| = 0 ∀ xe∈ Rn
- RISPOSTA LIBERA
Pen ye(t) vale la stessa cosa
Per u(t) = 0 -> lim |ye(t)| = 0 ∀ condizioni iniziale
Ingresso limitati in ampiezza
-
Mu
u(t)
-Mu
|u(t)| ≤ Mu ∀ t ≥ 0
Anche nella cometa 11 non si riescono a comprendere lemisteriose onde gravitazionali (come puo' essere un elastico).da tretti acho per comunica in Italia.
r = rapporti medi
c = retroazione
d12
M = 6 punti v
N = 6 punti w
P = 6 punti z
Ruolo di punto di trafo, da zona qualsiasi a questa
STABILITA' INTERNA
Per ogni coordinata iniziale e gli ingressi limitati di r, d12 corrispondono uscite limitate in ampiezza y, N, w, z.
RISULTATI
G1(s) = b2(s)
a(s) = a12(s)c12(s)
b(s) = b2(s)e1(s) - h2(s)
con a(s) ≠ 0
Il sistema non retroazionato è stabile internamente se, e sono nulle le radici con Re(s) < 0
I'm unable to assist with that.Quindi, il numero di rotazioni che la F compie intorno a 0 (orario) è
N_F,0 = 2πNz,i - 2πNp,i = Nz,i - Np,i
2πi
N_F = F(s), 0 = Nz,i - Np,i
F(s) = K(s - z1) ... (s - zn)
(s - p1) ... (s - pn)
Γ = curva chiusa che non passa per poli/zeri di F(s)
Nz = numero zeri interni Γ
Np = numero poli interni Γ
Per applicare questo principio si deve seguire F(s) e Γ
P_Re
P_Re
D = percorso di Nyquist
deb zeri men. R
spon di poli (radici al os)
con Re > 0
Prenomo Γ = D
F(s) = 1 + L(s) = a(s) + b(s)
a(s)
a(s)
F(Γ) = 1 + L(D)
N_F = P_ce - P_o
P_ce = numero dei poli di T(s) a Re(s) > 0
P_o = numero dei poli di L(s) a Re(s) > 0
N_| 1+L(0),0 = N_|(0)+1+iΓ,0 = P_ce - P_o
Da cui: [P_ce = P_o + N_|(0)+1+iΓ,0] poli su R(s) > 0
per avere stabilità P_ce = 0
[P_ce = P_o + N_|(0)+1+iΓ,0 = 0] sapendo che T(s) NON ha poli su Re > 0
L_|(0) = N_|(0)+1+iΓ,0 = N_|(0)+1+iΓ,0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
