Appunti di Fondamenti di Automatica

Si supponga che il sistema (3.1) e (3.2) abbia un solo ingresso e sia sollecitato con un impulso unitario

applicato in : si assuma cioè m=1 e u(t)=imp(t). Denotando con e i particolari movimenti

= 0

0

forzati dello stato e dell’uscita che si ottengono dalle (3.7), (3.8) risulta

(t)=

(t)=C B+Dimp(t)

Questi movimenti sono detti risposta all’impulso dello stato e dell’uscita. Per t> 0 essi coincidono

con i movimenti liberi prodotti dallo stato iniziale x(0)= B e come tali sono costituiti da combinazioni

dei modi del sistema.

Equilibrio:

Si vogliano ora analizzare le caratteristiche del sistema (3.1), (3.2) per quanto riguarda le condizioni

di equilibrio. Assumendo costante e pari a l'ingresso del sistema, si può affermare che gli stati di

equilibrio sono le soluzione dell’equazione

A + B = 0 (3.38)

A ogni stato di equilibrio corrisponde l’uscita di equilibrio

= C + D

Notevole è il caso in cui a è invertibile, ovvero il det(A) è diverso da 0 ( o equivalentemente A non ha

autovalori nulli): in questa circostanza l’equazione (3.38) ha una e una sola soluzione, per cui lo stato

di equilibrio è unico e risulta

−1

= – B

−1

= (-C B + D)

−1 *

La matrice D-C B rappresenta il guadagno statico del sistema. Per i sistemi SISO

∈

costituisce il rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando tutte le variabili del sistema stesso sono costanti.

Stabilità:

- Il sistema lineare e stazionario è asintoticamente stabile se e solo se tutti i suoi autovalori

hanno parte reale negativa

- Il sistema lineare e stazionario è instabile se almeno uno dei suoi autovalori ha parte reale

positiva

Concentrandosi ora sulla proprietà di stabilità asintotica, l'accertamento della sua presenza non

richiede più la soluzione di un'equazione differenziale per il calcolo del movimento libero, ma solo la

soluzione di un'equazione algebrica per il calcolo degli autovalori. Dall'altra parte l'equazione

caratteristica ottenuta uguagliando a zero il polinomio caratteristico

φ= 0

−1 −2 +

φ = ( − ) = + + +... +

1 2 −1

È un'equazione polinomiale di grado n la cui soluzione esplicita non è banale già per n > 2, mentre la

formula risolutiva non esiste per n > 4. Esistono Infatti dei risultati che, Senza richiedere la soluzione

dell'equazione caratteristica, consentono di dire se tutti gli n autovalori Hanno parte reale negativa

oppure no, dando così luogo a criteri di stabilità asintotica tanto semplici da poter essere applicati

senza l'ausilio di particolari supporti di calcolo. Conviene riscrivere il polinomio caratteristico:

−1

φ = φ + φ +... + φ + φ

0 1 −1

Osservando che

)

φ() = φ ∏ ( −

0

=1

si nota che

= -tr(A) = - ,

φ /φ ∑ φ /φ = (− ) = (− 1) ∏

1 0 0

=1 =1

Quando il sistema è asintoticamente stabile risulta < 0, quindi tr(A) < 0 e perciò > 0. Le

∑ φ /φ

1 0

=1

condizioni > 0, > 0, sono necessarie per la stabilità asintotica.

φ /φ φ /φ

1 0 0

Teorema: Se il sistema (3.1) è asintoticamente stabile, allora i coefficienti , i = 0, 1,...,n, del

φ

polinomio caratteristico hanno tutti lo stesso segno.

Criterio di Routh:

Per formulare una nuova condizione di stabilità asintotica che sia sufficiente oltre che necessaria,

occorre per prima cosa definire la tabella di Routh, costruita a partire dai coefficienti del polinomio

caratteristico. Essa possiede n +1 righe e Ha una struttura triangolare In quanto ogni due righe, a

esclusione della prima Se n è pari, il numero di elementi diminuisce di 1:

. . . . .

φ φ φ

0 2 4 . . . . .

φ φ φ

1 3 5

. . . . . . .

. . . . . . .

. . .

ℎ ℎ ℎ

1 2 3 . . .

1 2 3 . .

1 2 3

. . . . .

Le prime due righe contengono i coefficienti del polinomio caratteristico. Successivamente ogni riga

si costruisce sulla base degli elementi delle due righe precedenti:

ℎ

1 +1

= ℎ −

+1 1

Teorema: Il sistema è asintoticamente stabile se solo se la tabella di Routh relativa al suo polinomio

caratteristico è ben definita e tutti gli elementi della sua prima colonna hanno lo stesso segno.

Linearizzazione e stabilità dell’equilibrio di sistemi non lineari

Si consideri un sistema non lineare, in generale MIMO, invariante nel tempo e proprio, descritto da

soggetto all’ingresso costante u(t) = . Si faccia poi riferimento a un suo stato di equilibrio e alla

corrispondente uscita di equilibrio , detti nominali, che soddisfano le identità:

Il procedimento della linearizzazione consiste nel descrivere il comportamento di un sistema non

lineare attorno all'equilibrio nominale mediante un particolare sistema lineare. Quest'ultimo sistema

costituisce solo una approssimazione del sistema originario. Se si introducono le variazioni

delle variabili di ingresso, stato e uscita rispetto a , e , nonchè dello stato

δ(), δ(), δ()

iniziale ancora rispetto a , cioè se si pone

δ

0

le equazioni iniziali diventano

con la condizione iniziale

+

δ( ) = + δ

0 0

Le funzioni f e g possono essere sviluppare in serie di Taylor al primo ordine:

Infine si ha

dove

Raggiungibilità e osservabilità:

Def. Uno stato del sistema (3.2) si dice raggiungibile se esistono un istante di tempo finito > 0 e

un ingresso tali che, detto , il movimento forzato dello stato generato da , risulti .

() () =

Un sistema i cui stati siano tutti raggiungibili si dice completamente raggiungibile.

In altri termini quindi un particolare vettore costituisce uno stato raggiungibile se è possibile

trasferirvi dall'origine allo stato del sistema in un tempo finito arbitrario. per accertarsi un dato

sistema gode della proprietà di completa raggiungibilità si può applicare il successivo Teorema che fa

riferimento alla cosiddetta matrice di raggiungibilità definita come

2 −1 ]

= [ ...

Teorema: Il sistema è completamente raggiungibile se e solo se il rango della matrice di

raggiungibilità è pari a n, cioè

) = n

ρ(

Def: Uno stato (diverso da 0) del sistema (3.2) si dice non osservabile se qualunque sia > 0 finito,

detto t > 0, il movimento libero dell’uscita generato da , risulta = 0. Un sistema privo di

(), ()

stati non osservabili si dice completamente osservabile.

In altri termini, un particolare vettore costituisce uno stato non osservabile se l'esame di un tratto di

qualunque durata del movimento libero dell'uscita da esso generata non consente di distinguerlo dal

vettore x = 0. Per accertare su un dato sistema gode della proprietà di completo osservabilità si può

utilizzare il teorema che fa riferimento alla cosiddetta matrice di osservabilità, definita come

2 −1 ] dove l’apice indica l’operazione di trasposizione

= [' '' ' ' ... ' '

Teorema: Il sistema è completamente osservabile se e solo se il rango della matrice di osservabilità è

pari a n, cioè ) = n

ρ(

Funzione di trasferimento:

Def. Si consideri il sistema con n variabili di stato, m variabili di ingresso e p variabili di uscita

x˙​(t)=Ax(t)+Bu(t) (1)

y(t)=Cx(t)+Du(t) (2)

e si indichino con U(s), X(s) e Y(s), funzioni della variabile complessa s, le trasformate di Laplace.

Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri delle equazioni 1 e 2 si ottiene

sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s)

Y(s)= CX(s) + DU(s)

da cui risulta −1 −1

X(s) = (3)

( − ) () + ( − ) (0)

−1 −1

Y(s) = (C + D)U(s) + C (4)

( − ) ( − ) (0)

La matrice p*m −1

G(s) = C + D

( − )

che appare nella 4 viene detta funzione di trasferimento, e moltiplicata a destra per la trasformata di

Laplace dell’ingresso u, fornisce la trasformata di Laplace dell’uscita y corrispondente a stato iniziale

nullo, cioè dell'uscita forzata.

Struttura della funzione di trasferimento: −1

Se il sistema 1 e 2 è SISO, G(s) = C + D è una funzione razionale in s, data dal rapporto

( − )

di due polinomi, per la quale valgono le seguenti osservazioni:

- Nel caso di sistemi non dinamici descritti dalla relazione y(t) = Du(t), G(s) è indipendente da

s e risulta pari a D

−1

- C coincide con G(s) se il sist. è strettamente proprio ( D = 0)

( − ) −1

- Se il sist. non è strettamente proprio, la somma di una funzione razionale C con

( − )

denominatore di grado n con una costante D produce una funzione razionale con polinomi a

numeratore e denominatore ambedue di grado n

- Nel calcolo di G(s) può avvenire che i polinomi al numeratore e denominatore abbiano una o

più radici in comune. in questo caso dopo aver effettuato la cancellazione di questi fattori

comuni, G(s) è una funzione razionale con polinomio denominatore di grado e

ν <

polinomio a numeratore di grado al più per D = 0, o per D diverso da 0. La funzione

ν − 1 ν

di trasferimento risultante è detta in forma minima.

Per quanto detto, in generale risulta:

La differenza tra il grado del denominatore e quello del numeratore è chiamata grado relativo di G(s).

Poli e zeri:

Def. è uno zero di G(s) se ne annulla il numeratore, mentre è un polo se ne annulla il denominatore.

I poli sono anche le radici dell’equazion