Appunti del corso di Controlli automatici

T

0 0

Questo integrale può convergere o divergere.

Possono verificarsi i seguenti casi:

∀s∈

a. l’integrale converge ∀s∈A,

b. l’integrale converge con A⊂

in alcun punto

c. l’integrale non converge s∈

Nei primi due casi possiamo definire una nuova funzione

→

F: A⊂

∀s∈A

che è definita come: +∞ − ∈

st

=

F(s) e f (t)dt

∫

0

La funzione F si dice trasformata di Laplace della funzione f(t). Tale trasformata si

indica anche con: L{f(t)}

F(s) =

CONDIZIONI SUFFICIENTI PER L'ESISTENZA DELLA TRASFORMATA

DI LAPLACE

Le condizioni sufficienti per l'esistenza della trasformata di Laplace F(s) sono

elencate di seguito e sono soddisfatte da quasi tutte le funzioni f(t) che vengono

analizzate nella pratica nei controlli automatici.

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riconosciuti e citati. 3 Trasformata di Laplace

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I. Funzione “causale”: ≤ ∞

⎧ qualsiasi per 0 t<+

=

f (t) ⎨ 0 per t<0

⎩

Tale condizione è necessaria per la biunivocità della trasformazione, cioè perché si

possa ricavare f(t) con l'operazione inversa:

-1{F(s)}

L

f(t) =

Essa può essere facilmente ottenuta con un'opportuna scelta dell'origine dell'asse dei

tempi, ossia effettuando eventualmente una traslazione dell'asse verticale.

II. Funzione continua a tratti:

∀[0,T] f(t) ha un numero finito di discontinuità

III. Funzione limitata al finito:

+ +

∃M∈R ∀ ∈R ⏐f(t)⏐<M con

tale che t0 : 0≤ t≤ t0

IV. Funzione di ordine esponenziale all'infinito:

+ +

∃M∈r ∃ σ∈ ∃ ∈ ⏐f(t)⏐< ≥

M·e-σt

R R

t0 tale che con t t0 e

t0 finito TEOREMA DEL DOMINIO DI CONVERGENZA

Si è visto che l’integrale di Laplace ha un dominio

di convergenza A, in cui esso converge e in cui la Α

trasformata di Laplace è quindi definita. Si può

dimostrare che la trasformata di Laplace F(s) esiste

per tutti i valori di s tali che: σ c

Re{s}>σ c,

ovvero il dominio di convergenza A è dato da un semipiano che coincide con la parte

σ

del piano complesso posta alla destra della retta verticale individuata da c, detta

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riconosciuti e citati. 4 Trasformata di Laplace

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σ ≡

A

ascissa di convergenza. Evidentemente nel caso particolare c=- si ha e la

trasformata di Laplace F(s) è definita in tutto il piano complesso (caso a di pagina 3),

σ ∞ ≡ ∅

A

mentre per c=+ si ha e la trasformata di Laplace F(s) non è definita (caso

c di pagina 3).

Nel seguito ignoriamo il problema dell’individuazione dell’ascissa di convergenza

degli integrali di Laplace considerati, dando per scontato che essi vengono analizzati

sempre all’interno del rispettivo dominio di definizione.

SEGNALI CANONICI

Tipicamente nei controlli automatici per testare un sistema dinamico si utilizzano dei

segnali detti canonici o di saggio, utilizzati come funzioni elementari in

combinazione delle quali è scomposto il generico ingresso. Infatti, assumendo che il

sistema sia lineare, il principio di sovrapposizione degli effetti permette di studiare

separatamente l’effetto di tali segnali. Inoltre l’ipotesi di linearità assicura che l’uscita

del sistema si componga unicamente dei modi elementari e dei modi dell’ingresso,

come si vedrà nell’analisi di stabilità dei sistemi lineari stazionari, pertanto le

caratteristiche dinamiche dell’uscita di un sistema sono analoghe in corrispondenza di

diversi ingressi, a meno dei modi introdotti da questi ultimi.

I segnali canonici sono elencati di seguito.

1) Il più comune segnale canonico è il gradino o scalino unitario, che modella la

brusca variazione di un segnale, dovuta ad esempio alla chiusura di un interruttore o

all’accensione di un motore elettrico. Esso è dunque un segnale discontinuo.

<

⎧

0 se t 0

=

( t )

1 ⎨ ≥

1 se t 0

⎩

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2) Un ulteriore segnale canonico piuttosto comune è la funzione rampa unitaria, che

modella l’aumento costante di un segnale. Un esempio tipico si ha negli altoforni per

la lavorazione dei metalli, in cui la temperatura aumenta in modo simile

all’andamento di una rampa.

<

⎧

0 se t 0

=

r ( t ) ⎨ ≥

t se t 0

⎩

3) Un altro segnale di saggio è la funzione rampa parabolica unitaria, che modella

l’aumento continuo di un segnale.

<

⎧

0 se t 0

⎪

=

p

( t ) 2

⎨ t ≥

se t 0

⎪

⎩ 2

4) Un ulteriore segnale di saggio è la funzione sinusoidale, che modella l’oscillazione

continua di un segnale ed è comunemente usata per testare la risposta di reti elettriche

e sistemi di controllo audio e video.

<

⎧

0 se t 0 ω ⋅

=

x

( t ) ⎨ =sin t 1(t).

ω ≥

sin t se t 0

⎩

5) Di analogo uso è la funzione cosinusoidale.

<

⎧

0 se t 0 ω ⋅

=

x

( t ) ⎨ =cos t 1(t).

ω ≥

cos t se t 0

⎩

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6) Importante è poi la funzione impulso di

p (t) p (t)

, data dalla

ampiezza finita Δ

Δ

combinazione di due gradini, che sottende 1/Δ

un’area unitaria. < Δ

⎧ 0 se t 0;t>

⎪

=

p (t) ⎨ 1

Δ Δ

≤ ≤ Δ

se 0 t

⎪⎩Δ Δ

Si osserva che qualsiasi sia la durata della funzione impulso di ampiezza finita essa

ha sempre area unitaria, ossia vale la relazione:

+∞ =

p (t)dt 1

∫ .

Δ

−∞

7) Il segnale impulso di Dirac è un segnale ideale che

approssima un impulso di area unitaria e si estingue in un

tempo infinitesimo. Esso modella fenomeni istantanei

come fulmini o urti improvvisi.

δ =

( t ) lim p ( t )

Δ

Δ →

0

Valgono le seguenti proprietà, alcune delle quali sono intuitive:

+ ∞

δ = 1

( t )

dt

∫

1. − ∞

+ ∞ ⋅ δ = 0

f ( t ) ( t )

dt f ( )

∫

2. − ∞ t

1

d ( t )

δ = = δ τ τ

1

( t ) ( )

d

( t ) ∫

3. ; 3’.

dt 0

t

dr ( t )

= = τ τ

1 1

r ( t ) ( )

d

( t ) ∫

4. ; 4’.

dt 0

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t

dp

( t )

= = τ τ

p

( t ) r ( )

d

r ( t ) ∫

5. ; 5’.

dt 0 [ ]

β ∈ α β

⎧ f(a) se a ,

δ

f(t) (t - a) dt =

∫ ⎨

6. [ ]

∉ α β

0 se a ,

⎩

α

In particolare, osservando la proprietà 3, è evidente che in essa l’operatore di derivata

- +

e 0 e

indica la derivata generalizzata, poiché l’impulso di Dirac è discontinuo tra 0

in 0 esso assume valore infinito. Quindi l’impulso di Dirac è in realtà una

distribuzione, non una funzione vera e propria.

TRASFORMATE NOTEVOLI

Riportiamo di seguito le trasformate di funzioni notevoli. Esse si possono ricavare

applicando la definizione di integrale di Laplace, come è indicato nel caso del

gradino unitario.

a) Trasformata della funzione gradino unitario

≥

⎧ 1 per t 0 1

→ F(s) =

⎨

f(t) = 1(t) = 0 per t < 0 s

⎩

Infatti dalla definizione di trasformata si ha:

+∞ T

-st -st

= =

F(s) 1(s) 1(t) e dt= lim 1 e dt=

∫ ∫

→+∞

T

0 0

T ( )

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 1 1 1

− st -sT -sT

= = − = −

lim - e lim - e 1 lim e

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s s s s

→+∞ →+∞ →+∞

T T T

0

e poiché

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-sT = >

e 0 se Re{s} 0

lim

→ +∞

T

risulta: 1 σ

F(s) = = 0

con c

s

b) Trasformata dell’impulso di Dirac

δ → = 1

F ( s )

(t)

f(t) =

Infatti dalla definizione di trasformata e applicando la proprietà 2 di pagina 6 si ha:

+∞ +∞ −

⎡ ⎤

-st -st st

= Δ = δ δ =

F(s) (s) (t) e dt= (t) e dt= e 1

∫ ∫ ⎣ ⎦ =

t 0

−∞

0

c) Trasformata della funzione rampa unitaria 1

→ F(s) =

f(t) = r(t) = t 1(t) 2

s