Appunti, Controlli Automatici, Oriolo

LEZIONE 1

Oggetto: "controllo automatico dei sistemi"

Sistema: aspetto di un'evoluzione nel tempo si manifesta con il variare di alcune grandezze numerabili.

Esempio: motore elettrico (sistema elettrico-meccanico che trasforma energia elettrica in energia meccanica). Nella realtà fisica, l'osservazione di un processo (variazione nel tempo) può dire quali sono gli elementi che variano e cercare di determinarne le leggi con un'osservazione.

1. Concentrati: grandezze che variano in relazione con numero possono essere di vario tipo.

2. Concentrati: funzioni del tempo (correnti di un motore, velocità angolare del satellite).

3. Derivate: funzioni del tempo e dello spazio (temperatura in un sistema termico, tensione di una linea di trasmissione).

La descrizione matematica di un sistema si chiama modello.

Entrambi sono in funzione dell'applicazione.

Modelli della modellistica

1. Livello si considera: il sistema come un blocco e si considerano variabili di collegamento che lo mettono in relazione con il resto del mondo.              variabili di collegamento

dipendenti e variabili indipendenti. Le variabili indipendenti vengono dette ingressi, mentre le variabili dipendenti sono dette uscite.

S

sistema orientato

Le variabili indipendenti non esigono pesche generate all'esterno del sistema, mentre quelle dipendenti dette endogene pesche dipendono da quello in ingresso.

esempio circuito RL

alimentato in tensione

alimentato in corrente

III livello c'è un ulteriore distinzione delle variabili, è circa se le variabili e indipendenti si vanno a imporre dall'esterno oppure no. Le imposero dall'esterno sono detti ingressi indeterminati delle determinati sono dette disturbi

esempio: ascensore

Mż. = F - Mg

esempio: serbataio

III livello R

III livello F

ascensore

H₂ disturbo

ascensore

H₂ disturbo

uscita

variabile che voglio controllare

III livello Q_m

serbatoio

Q_out = d

h = y (lo stato è uguale all'uscita)

ẋ = ku/A ↔ eq. di stato (differenziale, lego u (t) a x) y = x ↔ eq. di uscita (algebrica, lego x e y)

Vediamo lo schema a blocchi per il funzionamento

Esempio sistema molla-massa-smorzatore (MMS)

La variabili di stato (ovvero le grandezze di nel sistema accumulano energia):

• x (velocità)
• m (massa)
• x
• 2 (velocità)
• 2 (velocità)
• 2 (deformazione)

Allora otteniamo un sistema vettoriale:

ẋ = Ax +

Osservazione

c'è sempre accanto

che è il disturbo

Abbiamo che

A, B, C, D, M, N sono matrici costanti nel tempo ->

il sistema è stazionario

A, B, C, M, N sono matrici costanti nello spazio ->

il sistema è lineare

Vediamo come sono fatte le matrici:

• A ∈ ℝ^n×m
• B ∈ ℝ^n×p
• C ∈ ℝ^q×m
• M ∈ ℝ^n×s
• D ∈ ℝ^q×p
• N ∈ ℝ^q×s

u ∈ ℝ^p, p numero degli ingressi

y ∈ ℝ^q, q numero delle uscite

d ∈ ℝ^s, s numero dei disturbi

Sistema single input - single output

p = q = 1 (SISO)

Sistema multiple input - multiple output

p>1, q>1 (MIMO)

Cenni di algebra lineare

Data A ∈ ℝ^n×n a elementi reali se esiste un numero complesso

λ (∈ ℂ) tale che Av =

λv per qualche v ∈ ℂⁿ con v ≠ 0 allora

λ è un autovalore di A v è il corrispondente autovalore

Calcolo autovalori

Deve essere A -

λIv = 0 oppure ( A -

λI )v = 0, affinché ci

Primo tutti gl'

autovalori di A -

determinante det( A -

λI ) = 0

e soluzione ci accorge

poi|λ

da calcolo TAT =

TAT =

Una matrice con autovalori distinti si può sempre diagonalizzare, infatti:

m_g(λ_i) = 1

m_g(λ_i) = sempre maggiore di zero e minore o uguale a m_a(λ_i) =>

=> m_a(λ_i) = m_g(λ_i) = 1

Se la matrice A ha autovalori multipli può essere o meno diagonalizzabile.

Esempio 2

• A =

λ₁ = λ₂ = 1

m_a(λ₁) = 2 e m_g(λ₁) = 2

Quindi A è diagonalizzabile

Esempio 3

• A =

λ₁ = λ₂ = 1

m_a(λ₁) = 2

ma in questo caso m_g(λ₁) = 1, quindi A non è diagonalizzabile e non esiste una base di II fatta di autovettori.

Osservazioni

• A =

è detto blocco di Jordan, non si può diagonalizzare

Per calcolare la molteplicità geometrica x può fare nel seguente modo:

m_g(λ_i) = n - rango (A - λ_iI)

dove A è una matrice n x n.

det

Si trovano i seguenti autovalori:

Gli autovalori sono tutti distinti → A è diagonalizzabile

Gli autovettori sono

Usa la formula

moda naturale aperiodico divergesce (a>0)

moda naturale aperiodico converge (a<0)

moda naturale aperiodico (cos