Appunti corso di Fluidodinamiche e macchine

FLUIDODINAMICA

Queste leggi Regolano il moto di un fluido newtoniano isotropo

Sono equazioni differenziali alle derivate di secondo ordine(prime nel tempo, seconde nelle coordinate

spaziali).

Non esistono soluzioni generali e non è nemmeno dimostrata l’ esistenza di soluzioni sotto condizioni al

contorno sufficientemente regolate. Questo è infatti un problema non ancora risolto ad oggi.

Tuttavia tramite la fluidodinamica computazionale si ottengono soluzioni sotto qualsiasi tipo di condizioni

iniziali ed al contorno, a patto che il problema sia ben posto.

Soluzioni analitiche sono possibili in un piccolo numero di casi banali. In problemi di interesse tecnico si

ricorre a soluzioni di tipo numerico(fluidodinamica computazionale).

È interessante vedere la formulazione nel caso puramente incomprimibile, la quale è molto più semplice e

fisicamente molto espressiva .

EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES CASO INCOMPRIMIBILE

Se il flusso è incomprimibile, il termine con la divergenza della velocità se ne va e la densità è costante

=

Se introduco l’ operatore laplaciano e la viscosità cinematica ottengo

Al primo membro ho il termine non stazionario e il termine convettivo. Al secondo ho il termine forze di

volume g, il gradiente della pressione.

Se trascuro g(forze di massa) e il gradiente di pressione e trascuro anche il termine convettivo

Ottengo una cosa molto simile alla conduzione termica in un solido(equazione di Fourier) ed è un

equazione di diffusione. Quindi un meccanismo di trasporto della quantità di moto che si sviluppa nelle 3

direzioni dello spazio.

Il termine convettivo è legato al trasporto operato dalla velocità e quindi legato alla direzione di questa.

Il termine a destra è detto diffusivo. DIFFUSI V1

>

Posso quindi affermare che: La quantità di moto viene trasportata per convezione e per diffusione = VISCOSI

SFORZI

Nei problemi aerodinamici e quelli in cui il fluido interagisce con pareti solide, le due fenomenologie non

agiscono contemporaneamente in tutto il campo di moto.

Esistono però zone in cui i due meccanismi agiscono contemporaneamente. Infatti allontanandosi dalle

pareti i termini convettivi dominano su quelli diffusivi.

Diventa quindi interessante il trascurare gli effetti viscosi per avere una rappresentazione del campo di

moto che prescinde dagli effetti diffusivi che risultano importanti solo in prossimità delle pareti solide e

giustificano l’ interesse verso lo studio dei flussi non viscosi.

Tutti i fluidi hanno viscosità non nulla ma gli effetti viscosi hanno importanza solo in certe regioni del campo

di moto.

Tuttavia gli effetti viscosi sono importantissimi per calcolare certe grandezze di cui abbiamo bisogno, anche

se a volte sono trascurabili.

Si può pensare di studiare i fluidi come non viscosi per poi applicare a valle gli effetti diffusivi

FLUSSI NON VISCOSI INCOMPRIMIBILI:

In situazioni di moto in cui si trascurano gli sforzi tangenziali, supporre nullo il coefficiente di viscosità del

fluido (fluido ideale) conduce a una formulazione più semplice delle equazioni del moto.

Ciò che si ottiene trascurando gli effetti diffusivi sono le equazioni di Eulero.

A questo punto rimangono solo gli sforzi normali e quindi legati alla sola pressione

➔ Il tensore degli sforzi è proporzionale alla matrice identità tramite l’opposto del valore scalare p

pressione

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FLUIDODINAMICA

L’ equazione di continuità non contiene gli sforzi quindi non cambia, ma l’ equazione della quantità di moto

cambia notevolmente EQUAZIONI DI EULERO

Come nel caso idrostatico di flussi incomprimibili, l’ unica forza di volume rilevante è la forza peso

Supponiamo quindi che non agiscano altre forze se non Fp

➔ Il campo delle forze di volume a questo punto è

Sostituisco nelle eq. Di eulero e ottengo

Per cui al secondo membro ho termini che compaiono come argomenti di un gradiente (ho portato densità

dentro la derivata poiché costante).

Concentrandosi su flussi incomprimibili stazionari:

In un flusso stazionario le linee di flusso coincidono con le traiettorie degli elementi fluidi. Risulta quindi

conveniente scegliere come sistema di coordinate:

- Il versore

- Il versore

Si noti che è opportunamente scelto

giacente localmente sul piano

osculatore la streamline stessa

Se uso questo sistema di riferimento posso semplificare ancora di più le equazioni di Eulero. Ciò si può fare

quando è nota la geometria delle linee di flusso.

Ad esempio:

Flusso attraverso un tubo curvo a 90 gradi in cui le superfici esterne sono archi di circonferenze

È ragionevole assumere nel caso non viscoso, che le linee di corrente siano delle circonferenze.

Scrivo le equazioni di eulero in questo caso:

= 0

Se il flusso è stazionario = •

Nel sistema di riferimento riferito alla generica linea di flusso, con s=versore tangente alla linea di

flusso stessa

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FLUIDODINAMICA

( • ), =

Faccio la derivata del prodotto considerando che

Il termine si può riscrivere come:

Risultato dato dal fato che se il prodotto è nullo allora e sono ortogonali. Perciò il vettore è

proporzionale al versore normale allla linea di flusso in quel punto

Lo scalare positivo k rappresenta la curvatura della linea di flusso, e quindi è il reciproco del raggio di

curvatura 1

=

A questo punto

A questo punto posso scrivere l’equazione di Eulero per il sistema in questione:

Il primo membro dell’ equazione di Eulero ha due componenti( s; n), quindi anche il secondo membro può

essere scomposto nelle rispettive coordinate s ed n

Queste componenti si ottengono moltiplicando scalarmente il gradiente per la relativa coordinata

1)Parto da n:

Questa è un’ equazione molto importante per comprendere le forze aerodinamiche che si sviluppano nello

studio di un corpo in moto relativo rispetto ad un fluido.

Questa equazione ci dice che ogni volta il nostro campo di moto presenta linee di flusso curve allora si

genera un gradiente di pressione in direzione normale alle linee di flusso stesse (poiché k≠0)

Se le linee sono rettilinee, allora non avrò raggio di curvatura, quindi k=0. Questo comporta l’ annullarsi di

2

= 0

Se inoltre prescindo gli effetti della gravità, ottengo

2)Riguardo s tangente alla streamline:

Se il flusso è non viscoso, stazionario e soggetto solo a g—> la componente tangente alla linea ci da

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FLUIDODINAMICA

Ciò ci dice che la sommatoria dentro la parentesi è un valore costante:

Questo risultato è noto come il teorema di Bernoulli

Ci dice che sotto queste ipotesi la somma rimane costante lungo la linea di flusso. Le grandezze che fanno

parte del trinomio si indicano come

• z=quota geodetica

2

• =quota cinetica

2

• =quota piezometrica

Posso quindi scrivere l’ enunciato del Teorema di Bernoulli: in un flusso non viscoso, incomprimibile e

stazionario, la somma delle quote rimane costante lungo una linea di flusso.

Oltre che in termini di quote si può formulare anche in termini di pressione moltiplicando per

Avendo quindi una linea di flusso e due punti A e B:

(Somma quote)A=(Somma quote)B come equazione conservazione energia tra istante iniziale e istante

finale.

Il fatto che si applichi solo sulle streamline ci limita molto, per cui mi chiedo particolari condizioni e quindi

ipotesi aggiuntive che ci permettano di applicare il teorema a tutto il campo di moto nella sua interezza.

TEOREMA BERNOULLI CASO IRROTAZIONALE:

Ripartendo dall’ equazione di Eulero

Esiste un’identità vettoriale per cui

E quindi introducendo il vettore vorticità = 0)

A questo punto se il flusso è incomprimibile, non viscoso, stazionario ed irrotazionale ( ottengo

Il trinomio di Bernoulli è quindi costante non solo lungo la streamline, ma in tutto il campo di moto

➔ Il teorema di Bernoulli vale in tutto il campo di moto se e solo se il fluido è irrotazionale

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FLUIDODINAMICA

Esempi di applicazione del teorema di Bernoulli:

Prelievo liquido da serbatoio(vedi slide pag 11)

Se voglio il volume di liquido prelevato dal serbatoio

➔ V=v2Ascarico∆t

Se il tubo è verticale ho le stesse ipotesi precedenti ma devo fare un’ importante considerazione:

Dopo aver calcolato la v2, considero la linea di flusso 1-0

Per continuità v0=v2 poiché il tubo mantiene le stesse grandezze superficiali (thm castelli) all’ entrata e all’

uscita

Calcolando la p0 osservo che la P0 è minore di patm e potrebbe diventare negativa in base alla lunghezza

del tubo.

Ciò non succede mai, ma si arriva ad una pressione minima pari alla tensione di vapore Pv alla quale il

liquido comincia a liberare vapore, creando il fenomeno detto cavitazione, ovvero si forma una cavità

occupata dal vapore nel campo di moto

Aumentando L, aumento la quantità di vapore che genero.

Posso quindi calcolare Lmax per prevenire la cavitazione

LEZIONE 8:

Getto libero in aria ambiente(quiescente)(esce da un condotto es sistola):

Questa topografia di flusso È caratterizzata da colonna di liquido soggetta esternamente a p

uniforme=pamb

Trattandosi di una vena liquida, la velocità è diretta come l’ asse del getto stesso e uniforme nella sezione

stessa

➔ Se applico le eq di Navier stokes:

Dato che v è uniforme nella sezione non si hanno gradienti di velocità, i quali sono nulli e sono quindi nulli

gli sforzi viscosi di taglio. Quindi un getto liquido in aria quiescente si comporta come se fosse non viscoso,

nonostante vi sia un coefficiente di viscosità.

Inoltre dato che v è uniforme, ottengo per l pressione una relazione analoga a quella della fluidostatica, la

pressione però è uniforme. Quindi affinché il campo di pressione soddisfi queste condizioni è che sia

uniforme su tutto il flusso

➔ Ho p costante=p atm

Quindi se considero il generico elemento fluido vedo che è soggetto alla sola forza peso(vedi foto) in

quanto la risultante delle forze di sup è nulla(p uniforme e sforzi viscosi nulli)

Quindi ciascun elemento fluido si muove come un grave in caduta libera.

Altra considerazione da fare: questi getti sono interessati da fo