Appunti completi Sistemi di controllo

Teoria

Sistemi di Controllo

Perturbazioni:

• Durata limitata nel tempo \( \mu(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ 0 & t \geq w \end{cases} \)
• Persistenti di ampiezza limitata: \( \mu(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ |\mu(t)| \leq \overline{\mu} \ \forall \ t \geq 0 \end{cases} \)

Stabile se per \( t \to \infty \) l'uscita tende a 0Stabile se ampiezza dell'uscita è limitata

Stabilità:

• Se la matrice delle funzioni di trasferimento \( G(s) \) ha tutti poli a \( PRC0 \) allora il sistema è stabile per entrambi le perturbazioni viste prima.

Sistema in Retroazione:

\( y = \frac{G_1}{1 + G_1G_2} \)

Se \( G_1G_2 \neq -1 \) il sistema si dice "ben posto"

Sistema di Controllo:

Un sistema di controllo è internamente stabile quando tutte le funzioni di trasferimento hanno tutti i poli a \( PRC0 \)

FDT = blocchi attraversati dall'ingresso all'uscita che ci interessa

Condizioni per la stabilità interna:

1) 1+CPh ha tutti gli zeri a P.R.C < 0

2) Non ci sono cancellazioni polo-zero a P.R >= 0 tra C, P ed H.

Sistema completo:

Problema dell'inseguimento:

E(s) = ¹/_1+L(s).^Y_o(s)_CPh

e(t) = Y_o(t) - Y(t) Voglio nulla la differenza tra uscita e uscita desiderata.

Voglio _t->∞|e(t)|=0 E(s) ha tutti poli a P.R.C<0

Problema di reiezione dei disturbi:

Pongo a 0 tutti gli ingressi tranne quello a cui sono interessato.

• du:

du(t)≠0

Voglio _t->∞|Y(t)|=0 Y(s)= ¹/_1+L.Du Ha tutti poli a P.R.C<0

• di:

di(t)≠0

Voglio _t->∞|Y(t)|=0 Y(s)= ^P/_1+L.Di Ha tutti poli a P.R.C<0

Fattorizzazione P(s) e "scomposizione" C(s)

P(s) = _B+(s) B_-(s) / A₊(s) A_-(s)

con B₊ → zeri a P.R≥0

A₊ → poli a P.R≥0

W(s) = _B+(s) F(s) / (s+1)^N

con F(s)=ϕ_o+ϕ_st+ ... ← grado N^P-1

N = N^P+N²+E-1

H(s) = (s+1)^N - _B-(s) F(s) / A₊(s)

N_s = _B+(s) B_-(s) / A_-(s) (s+1)^NP

M(s) = A₊(s) / (s+1)^NP

X(s) = A_-(s) F(s) / _B-(s) (s+1)^NE+E-1

Y(s) = H(s) / (s+1)^NE+E-1

XN + YM = 1

Teorema di Bode

Considero un sistema di retroazione con retroazione unitaria e siano P₁, P₂, ..., P_n poli di L(s) a P.R.>0

∫₀^∞ ln|S(jω)| dω = π ∑_i=1^N Re[P_i] + {K'^π⁄₂   E(L)=10   E(L)>1}

con K' = lim_s→∞ s · L(s)

Margine di Fase

μ_p = π + ∠L(jω) ← Se E'>0 ⇒ È garantita la stabilità del sistema di controllo.

Regolatore:

È un particolare sistema di controllo in cui sono presenti sia la reazione statica dello stato che l'osservatore.

Per progettarlo devo determinare F ed L.

_X ^. = | A  BF |   | X | + | B | r _X̂ ^. | LC A+BF‒LC | | X̂ |    | B |

Completa raggiungibilità nella rappresentazione A T.P.:

Il sistema Σtd è completamente raggiungibile se ∀x_f∈R^m esistono un tempo finito N ed una sequenza di ingressi u(0), u(1), ..., u(N-1) t.c. X(N)=X_f.

Nel pratico è completamente raggiungibile se la matrice R=(B AB ... A^m-1B)∈R^nxm è non singolare ed ha rango pieno (det R≠0).

Se il sistema Σtd è completamente raggiungibile allora tutti gli autovalori di A diventano poli di (zI-A)^-1B.

Se tutti gli autovalori non raggiungibili hanno modulo < 1 il sistema è detto stabilizzabile.

La retroazione lineare statica dello stato modifica solo gli autovalori raggiungibili di A.

Completa raggiungibilità ⇒ ingresso ben compensato allo stato.