Analisi matematica 1 - Appunti completi

Insiemi, operazioni e campi

Prendiamo in considerazione l'insieme dei numeri naturali N. Introduciamo nell'insieme N una serie di operazioni con proprietà tali che ci permettano di definire un campo.

Somma

n + m ∈ N elemento di N: n + m. La somma nell'insieme N opera su due elementi N e permette di ottenere come risultato un altro elemento di N. Ha determinate proprietà.

• Proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Proprietà commutativa: a + b = b + a
• Esiste un elemento neutro (0): a + 0 = a
• Esiste un elemento tale che a + (-a) = 0? NO

Prodotto

Introduciamo in (Z, +) un'altra operazione. Prodotto: a . b ⟶ a : b = a . b. (Z, +, .) gode delle proprietà:

• Associativa
• Commutativa
• Elemento neutro (1)
• MA: non esiste il numero inverso in Z, b l a . b = 1

Dobbiamo quindi estendere l'insieme a Q. In Q, a . b = 1. Es: 2 . 1/2 = 1. Abbiamo quindi un'altra operazione: ∀ a ∈ Q ∃ a' ∈ Q tali che a . a' = 1 elemento inverso.

Proprietà necessarie per un gruppo

Proprietà necessarie affinché un insieme (A, ★) possa essere definito un gruppo. (A, ★) è un gruppo se:

• Legge di composizione interna: A ★ A = A
• Proprietà associativa
• Elemento neutro
• Elemento inverso

Se ciò, anche la prop. commutativa il gruppo si chiama abeliano.

Proprietà necessarie per un campo

Proprietà necessarie affinché una struttura algebrica sia un campo:

1. Somma associativa A (b+c) = (a+b)+c
2. Somma commutativa a+b = b+a
3. Elemento neutro somma a+0 = a ∃ a ∈ (0, a ∈ 0 = a+(-a)=0
4. Elemento inverso somma ∀ a ∃ a^-1 a(a^-a)=0
5. Prodotto associativo a(bc)=(ab)c
6. Prodotto commutativo ab = ba
7. Elemento neutro prodotto ∃ 1 ∈ A, a x 1 = a
8. Elemento inverso prodotto ∀ a ∃ a^-1 a(a^-1)=1, non esiste l'inverso di 0!
9. Proprietà distributiva: a(b+c)=ab+ac

Analisi

Prendiamo in considerazione l'insieme dei numeri naturali N. Introduciamo nell'insieme N una serie di operazioni con proprietà tali che ci permetteranno di definire un campo.

Somma

n+m ∈ N + elemento di N: n+m. La somma, nell'insieme N opera su due elementi: il N ne permette di ottenere come risultato un altro elemento di N. Ha determinate proprietà:

• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c)
• Proprietà commutativa: a+b = b+a
• Esiste un elemento neutro (0): a+0 = 0+a
• Esiste un elemento tale che a+(-a) = 0? NO

Per studiare questa proprietà e definire un campo, ci serve estendere l'insieme N all'insieme dei numeri razionali Z, N ⊆ Z. Siamo passati in Z (ovvero (ℤ,+)).

• Esiste un numero tale che a+(-a) = 0 a ∈ Z a+(-a) = 0. Questa proprietà, insieme alle altre 3 che erano valide anche per N, rende Z un gruppo. Non solo, possiamo dire anche che Z è un gruppo abeliano e commutativo perché le operazioni che vi abbiamo introdotto godono della proprietà commutativa.

Prodotto

Introduciamo in (ℤ,+) un'altra operazione. Prodotto: a⋅b (ℤ, ⋅) gode delle proprietà:

• Associativa
• Commutativa
• Elemento neutro (1), ma non esiste il numero inverso in Z ▸ b ▹ a·b = 1. Dobbiamo quindi estendere l'insieme a ℚ. In ℚ, 1·b^-1= 1 e 2^-1= 1/2 ∃⟿ ∃∀ a ∈ (ℚ∄)∃ b ∈ ℚ a·a^-1=1.

Proprietà necessarie per un campo

Proprietà necessarie affinché una struttura algebrica sia un campo:

1. Somma associativa ∀(a+b)+c=(a+b)+c
2. Somma commutativa a+b=b+a
3. Elemento neutro somma a+0=0+a ∀a∈(ℚ∄)
4. Elemento inverso somma ∀a∈ℚ∃-a
5. Prodotto associativo ∀(a⋅b)⋅c=(a⋅b)⋅c
6. Prodotto commutativo ∀a⋅b=b⋅a
7. Elemento neutro prodotto 1·a=a=a·1
8. Elemento inverso prodotto 1·b^-1
9. Proprietà distributiva a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

Ma anche il campo ℚ è limitato: un semplice esempio è l'equazione ² = 2 nel caso dovessimo calcolare la diagonale di un quadrato col lato di misura 1. È in un modo molto semplice ma in ℚ non esiste soluzione. Se vogliamo risolvere ² = 2 dobbiamo estendere il campo ai numeri reali ℝ. ℝ = {, ∈ ℚ : Infatti contiene anche numeri decimali la cui struttura decimale è infinita e non periodica. Il prodotto cartesiano di ℝ è un insieme in cui tutti i numeri contenu.