Analisi matematica 1 - Appunti completi

Analisi

INSIEMI OPERAZIONI, CAMPI

Prendiamo in considerazione l'insieme dei numeri naturali N. Introduciamo nell'insieme N una serie di operazioni con proprietà tali che ci permetteranno di definire un CAMPO.

SOMMA n+m ∈N + elemento di N : n+m

La somma nell'insieme N è data da due elementi di N. ∈ permetie di ottenere come risultato un altro elemento di N. Ha determinate proprietà:

• Proprietà associativa (a+b)+c = a+(b+c)
• Proprietà commutativa a+b=b+a
• Esiste un elemento neutro (0) a+0=a
• Esiste un elemento tale che a+(-a) = 0? NO

Per studiare questa proprietà e definire un campo, ci serve estendere l'insieme N all'insieme dei numeri razionali Z, ∉Z

Introdiciamo in (Z, +) un'altra operazione

PRODOTTO a.b = b.a

• Associativa
• Commutativa
• Elemento neutro (1) MA: non esiste il numero inverso in Z b⋅1/-1

In Q In Z 1/a.

• (Q, + .) come menzioni tra loro, altrimenti sono una classe.

STRUTTURA ALGEBRICA

Una struttura algebrica è un insieme A non vuoto, composto di una o più operazioni interne. Significa che l'operazione deve combinare due elementi appartenenti ad A e dare come risultato un elem.di A.)

Proprietà necessarie affinché un insieme (A, *) possa essere definito un gruppo.

• (A, *) è un gruppo se:
• Legge di composizione interna: A * A= A
• Proprietà associativa
• Elemento neutro
• Elemento inverso
• Se c'è anche la propr.commutativa il gruppo si chiama abeliano.

PROPRIETÀ NECESSARIE

Affinché una struttura algebrica sia un CAMPO

1. Somma associativa a+(b+c) = (a+b)+c
2. Somma commutativa a+b =b+b
3. Elemento neutro somma (0) a+(0)=a fa ∈ ε
4. Elemento inverso somma (opposto) a+(-a)=0
5. Prodotto associativo a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c
6. Prodotto commutativo a⋅b = b⋅a
7. Elemento neutro prodotto a⋅1 = 1⋅1
8. Elemento inverso prodotto a⋅1/a=10m
9. Proprietà distributiva.

Hp₁ ∈ ℚ

Ts₃ non può essere vero che 0_1/2

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

• dimostrazione che
• teorama degli

se e² ∈ ℚ, e² = (^m/_n)² = m²/n² con ^m2/_n2 non semplificabile

e² • n² = m²

2 pari ⇒ 2k ⇒

4 x k² = m² m² è pari

m² è pari ⇒ m è pari quindi anche

m è pari quindi anche ^m/₂ ⇒ 2 e² quindi ^(2k)/₂ è divisibile per 2

PRODOTTO CARTESIANO di ℝ

ℝ² = ℝ x ℝ = { (x,y)| x ∈ ℝ, y ∈ ℝ }

PIANO CARTESIANO

Se vogliamo rimanere “fedeli” dobbiamo estendere il campo ai numeri reali (ℝ, +, .).

Infatti, definito il campo dei numeri complessi ℂ, ma ha elementi in più.

Un campo estende i numeri naturali a cui la struttura decimale è continua e infinita non periodica .

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

Due insiemi A e B sono in corrispondenza biunivoca se per ogni ς ∈ A corrisponde un solo elemento ά ∈ B ed viceversa

Cerchiamo di capire se è possibile ottenere un CAMPO con l’insieme delle coppie di numeri ℝ². Introduciamo l’operazione di SOMMA.

SOMMA in ℝ² (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

• Verifichiamo che per ℝ² valgono le stesse proprietà dei numeri ℝ²:
• PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
• (a,b) + [(c,d) + (e,f)]
• (a,b) + (c+e, b+d+f)
• (a+c+e, b+d+f)
• (a+c, b+f)
• (a+c), b+d)+ (e,f)

• PROPRIETÀ COMMUTATIVA
• (a+d) + (c, d)+ (a,b) + (c,d)

ELEMENTO NEUTRO (a, b) ∋ ℝ² = (a+0, b+0 ) = (a,b)

ELEMENTO OPPOSTO (a,b) ∋ ℝ² = (a, b+ -a,b)

PRODOTTO in ℝ² (a,b) (c,d) = ( ac-bd, ad+bc)

• PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
• [ (a,b) c+d ] +[ (e,f) ] = [ ac-bd+ef, ae +bf+cd df]
• (a, b) = (cc, (c,d)
• (a,c) = a(ce-de+f-)

E+(a,b)(o, (1,0)

*ELEMENTO INVERSO (a, b)

• 1/(a,b) = (drp² = a²-b²
• INVOCE₂ 2

OSSERVAZIONE

Se nel piano considero le coppie del tipo (x,o) sto considerando la retta ℝ asse x. I risultati di addizione fatte tra coppie (x,o) si ottengono tutti su quest'etta.

(a,b) {a,b} = ∞ 01)

(q ∋ ℝ ²

FORMA TRIGONOMETRICA

Possiamo intendere Z come un punto nel piano complesso.

Se Z = ReZ + ImZ possiamo scrivere che:

cosθ = ^ReZ/_{√(ReZ² + ImZ²)} e sinθ = ^ImZ/_{√(ReZ² + ImZ²)}

intendendo con θ l’angolo formato dal modulo di Z con il semiasse positivo delle ascisse con il punto finale di Z.

QUINDI:

Z = ρ(cosθ + isinθ)

_{ricaviamo cosθ} = ^ReZ/_{√(ReZ² + ImZ²)}

sinθ = ^ImZ/_{√(ReZ² + ImZ²)}

altri esempi:

• Z = i cosθ = 0 sinθ = 1 θ = π/2
• Z = - i cosθ = 0 sinθ = -1 θ= -π/2
• Z = -1 cosθ = -1 sinθ = 0 θ = π
• Z = 1 cosθ = 1 sinθ = 0 θ = 0
• Z = 2 (cos π + i sin π)
• Z = -2 (cos 0 + i sin 0)
• Z = ^√3/₂ + i ¹/₂ cosθ = ^√3/₂ sinθ = ¹/₂ θ = π/6

Esempio: PASSAGGIO ALLA FORMA TRIGONOMET

• Z = 3 - i
• ρ = √3³ + 1²
• cosθ = ³/_ρ = ³/_√10
• sinθ = ^-1/_ρ = ^-1/_√10
• θ = - ¹/₃π θ = θ + 2kπ

θ è una scelta convenzionale limitare θ a questo intervallo, altrimenti uno stesso numero Z avrebbe infinite forme:

Z = ρ(cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ))

Operazioni con la forma trigonometrica

Funziona come una somma vettoriale: vale la regola del parallelogramma

SOMMA: (', 'R₁′ i(sinθ2 + i cos θ1 i sinθ2) + i( R cosθ1i)( R₂ i(sinθ2 sinθ2) :I cosθ2))

PRODOTTO: Z₁ ⋅ Z₂ = ρ1ρ2cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)

ρ1ρ2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

esempio:

Z₁Z₂ i( i sin θ2)

Z₁X₁X₁X₁X₁(θ1 + θ2) cos(θ1 + num) i cos(θ2 + x(θ2 + θ1 (θ1 θ2

Perchè la formaTTrigonometrica è vantaggiosa?

Dimostrare che l'insieme A\{ x ∈() : x = 1 - ₁/m₁ con x ∈{"{m,n}"}} non ammette un minimo.

Ragiono per assurdo: prendo un x _m,n = A\{ x ∈ () : x = 1 - ₁/m₁} per qualche m₁ ∈ (), m₁ ∈ () e considero = x_m = - ε/() .... () x_m + 1 -₁/m₁ .... è sempre un ()p più piccolo nell'insieme.

Estremo Superiore e Estremo Inferiore

• Si chiama estremo superiore maggiore che lo maggiori di A. Lo si indica con supA per α si dice sup(a) = x ≤ α ε/x ∈ α( )
• Si chiama estremo inferiore di un maggiori di A lo si indica con cm .. (α) minima -

Riprendiamo l'esempio di A{x ∈R , x = 1 - ₁/m₁(): Questo insieme in R ha maggioranti e mi noranti infiniti. Se il più piccolo. Ao = 1/X¹ A il più piccolo . 1/n (().perché ()e, 1/n non)p (perché. Dimostriamo che 0 è il più grande dei min oranti:

altro esempio: A\{ x ∈() : 0 ≤ x, x ≤² è limitato; ² Ammette un minimo 0 ma non ammette un massimo ... (perché? cos'è).

Proprieta di Completezza /Continuita

• ∀ A ∈ R supreiormente limitato - ∃ supA
• ∀ A ∈ R inferiormente limitato ∃ infA

Se nell'esempio dell'insieme A\x ={ 0 ≤ x, x ≤²} io non trovo un massimo né un sup(A), in R un sup di questo insieme è ≤².