Appunti Completi di Matematica del continuo – Integrazione Libro + Lezioni (A.A. 2025/26)

Insieme

= Collezione di Elementi per i quali possiamo stabilirne l'appartenenza

Forma

Esplicita:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { x ∈ A : P(x) }

Ilo elem di A che rispettano Proprietà P(x)

Notazioni

• x ∈ A → Appartenenza
• y ∉ A → non App
• A ⊆ B → Contenuto n...
• C ⊈ B → non Cont n...

* A è Sotto Insieme di B

Insieme

= Collezione di Elementi per i quali possiamo stabilirne l'appartenenza

Forma

Esplicita: A = {1, 2, 3, 4}

Implica: B = {x ∈ A : P(x)}Lo elem di A che rispettano Proprietà P(x)

Notazioni:

• x ∈ A → Appartenenza
• y ∉ A → non App
• A ⊆ B → Contenuto n...
• C ⊈ B → non Cont n...

* A è Sotto Insieme di B

A ∪ B - Unione

A ∩ B - Intersezione

A - B - Differenza

Insiemi Numerici

1. Naturali → N
   • = { 1, 2, 3, ... }
2. Interi → Z
   • = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
3. Razionali → Q
   • = insieme di n = ± m/n (m, n ∈ N) ∪ {0}

Se m,n rispettivamente PRIMI

=> num Razionale Ridotto ai Minimi Termini

Rappresentazione Decimale

1. FINITA => num finito di Decimali
2. PERIODICA => Infiniti Decimali RIPETUTI

Rapp Decimale NON è UNICA Rappresentazione di un Numero

=> 1 = 0,(9)

Dim

x = 0,(9)

10x - x = 9x

10x - x = 9,999... - 0,999... = 9

=> 9x = 9 > x = 1

In _ℚ sono presenti dei "Buchi"

Lo non posso rappresentare tt dimensione

∃ q ∈ _ℚ: q² = 2

Dim:

x Assurdo: ∃ q ∈ ℚ : q² = 2

• Se q ∈ ℚ ⇒ q = ± ^m/_n con m, n ∈ ℕ e PRIMI fra loro
• q² = (^m/_n)² = 2 ⇒ m² = 2n²
• Quindi m² è PARI ⇒ m è PARI ⇒ m = 2k
• Quindi m² = 4k² = 2n² ⇒ n² = 2k²
• Quindi n² è PARI ⇒ n è PARI

Assurdo Se n e m Pari NON possono Essere primi fra loro

3) Reali

Contiene numeri con Rapp. Decimali:

• Finiti
• Infiniti Periodici
• Infiniti Non Periodici

! Q è denso in R

∀ a, b ∈ R: a < b

∃ q ∈ Q: a < q < b

Posso quindi Approssimare r ∈ R a q ∈ Q

• considero r ∈ R
• r = a₀, a₁, a₂, a₃, ...
• r = a₀ + ^a₁/₁₀ + ^a₂/_10² + ... + ^a_m/_10^m + ...

Approssimo x Passi:

1. a₀ < r < a₀ + 1
2. a₀ + ^a₁/₁₀ < r < a₀ + ^a₁+1/₁₀

2 + _a1/₁₀ + _a2/_10² + ... + _2m/_10^m < r < _2an+1/_10^m

∑_k=0^m _ax/_10^k < r < ∑_k=0^m _ax/_10^k + ₁/_10^m

Quindi. ∀ r ∈ R-Q, ∀ m ∈ N ∃ q ∈ Q:

0 < r - q_n < ₁/_10^m

Calcola Errore di Approx

Maggiore e Minore

Sia A ⊂ R, M ∈ R

o Se ∀ x ∈ A M ≥ x ⇒ M = Maggiorante di A

o Se ∀ x ∈ A M ≤ x ⇒ M = Minorante

Massimo e Minimo

Sia A ⊂ R, M ∈ R

o Se M = maggiorante di A e M ∈ A ⇒ M = max A

o Se M = minorante e M ∈ A ⇒ M = min A

o Se ∃ M = maggiorante di A

⇒ ∃ infiniti x > M maggioranti di A

[equivalente x < minorante]

Se Esiste Massimo/Minimo e' Unico

Hp: Sia A ⊆ ℝ M ∈ A e M = Massimo

⇒ M unico Massimo

□ Dim:

× Assurdo M₁ ≠ M₂ ∈ A Massimi

• Se M₂ ∈ A e M₁ Massimo

⇒ M₁ ≥ M₂

• Se M₁ ∈ A e M₂ Massimo

⇒ M₂ ≥ M₁

⇒ M₁ = M₂ ⇒ Assurdo □

Sia A ⊆ ℝ

1. Se ∃ M maggiorante di A

⇒ A è Superiormente Limitato

2. Se ∃ M = minorante di A

⇒ A è Inferiormente Limitato

3. Se A è Ing Lim e Sup Lim ⇒ A Limitato

Teo. Compostezza di _ℝ

Sia A ⊆ _ℝ

1. Se A sup lim ⇒ ∃ m ∈ M : m è il più Piccolo dei maggiorantim = Estremo Superiore di A = sup A
2. Se A inf lim ⇒ ∃ m ∈ M : m è il più Grande dei minorantim = Estremo Inferiore di A = inf A

∅ Valido in _ℝ (in _ℚ può non Esistere sup e inf)

• Sia A ⊆ _ℝ, A sup LIMITATO ⇒ ∃ sup A

Se sup A ∈ A ⇒ sup A = max A[Analogo χ inf A = min A]

• ∅ Se A ε _ℝ

iLIMITATO (supernormate / inf.)⇒ sup A = + ∞ / inf A = - ∞

Funzioni

• Sia A, B insiemi

è una corrispondenza che per ∀ a ∈ A associ a 1 unico b ∈ B:

ƒ(a) = b

• A = Dominio
• B = Codominio
• ƒ(a) = Immagine

Ogni elem del Dominio deve avere Immagine

- ƒ(A) = Immag del Dominio

L'insieme degli Elem del Codominio

Grafico

Presi A, B insiemi → Grafico ⊆ A×B

G(g) = {(a, g(a)) : a ∈ A}

Presa g: ℝ → ℝ

Dominio: [1, +∞)

Codominio: [1, +∞)

Sia g: A → B e a ∈ A, b ∈ B : g(a)=b

⇒ a = Preimmagine di b

∈

A → B

Iniettiva

⇒ Ogni Immagine ha al più 1 Preimmagine

∀ a₁, a₂ ∈ A : a₁ ≠ a₂ ⇒ g(a₁) ≠ g(a₂) ⇒ b₁ ≠ b₂

Sì

NO

∈

Suriettiva

⇒ ∀ Immagine ha almeno 1 Preimmagine

• 1 Immagine a ogni elemento de