Appunti completi di Economia del mercato mobiliare + esercitazioni

Quindi, grazie al processo di diversificazione e frazionamento della ricchezza, è possibile ridurre in

parte o in tutto il rischio specifico; ciò può essere comprovato da una spiegazione:

●​ intuitiva →ogni titolo pesa sempre meno sul portafoglio, e perciò anche le conseguenze su quel

titolo saranno via via più ridotte; inoltre, si può verificare un effetto di compensazione.

●​ rigorosa →si ipotizzi un numero di titoli pari a tendente ad infinito. Come si modifica il rischio

di portafoglio, quando il numero dei titoli aumenta?

Questa idea si basa sull'osservazione che, man mano che il numero di titoli in un portafoglio cresce,

il rischio complessivo del portafoglio cambia in modo prevedibile. La formula fornisce il calcolo della

varianza del portafoglio, somma delle varianze dei singoli titoli ponderate per le loro quote nel

portafoglio, più la covarianza tra i titoli.

2 2 2

σ = ∑ σ + ∑ ∑ σ

,

= 1 = 1 = 1

Si ipotizza di costruire un portafoglio equiponderato, in cui ciascuno degli investimenti inclusi nel

1 1

portafoglio ha un peso pari a . Sostituendo ​, la formula si semplifica:

=

2

( )

2 2 2

2 1 1

1 1 − 1 1

1 1 →

σ = ∑ σ + ∑ ∑ σ σ = ∑ σ + ∑ ∑ σ

− 1

, ,

= 1 = 1 = 1 = 1

= 1 = 1

Quando il numero di titoli diventa molto grande ( ), accade quanto segue:

→ ∞

La componente di rischio del portafoglio riconducibile alla varianza dei singoli

investimenti tende ad annullarsi, definita anche come varianza media.

Questo significa che l'effetto delle varianze individuali dei singoli titoli sul

rischio totale tende a zero man mano che si aggiungono più titoli al portafoglio.

Rimane la componente riconducibile alla

covarianza tra le coppie di titoli. Nel caso di

portafoglio equiponderato il rischio tende alla

covarianza media, che può essere molto

bassa per titoli poco correlati (beneficio maggiore). Quando aumenta, rimane solo il rischio legato

alla covarianza tra i titoli nel portafoglio. Se i titoli sono poco correlati, il rischio complessivo del

portafoglio può ridursi significativamente, sfruttando al massimo i benefici della diversificazione. 42

●​ Se aumenta, la varianza di

portafoglio si approssima alla

covarianza media.

●​ Se la covarianza media fosse

0, sarebbe possibile eliminare

tutto il rischio detenendo un

numero sufficiente di titoli.

Purtroppo le azioni hanno

andamenti concordi e non

indipendenti tra di loro ossia sono positivamente, sebbene non perfettamente, correlate.

●​ Come già visto, la varianza totale di un titolo o di un portafoglio può essere scomposta in due

sistematico (o di mercato o

parti, ovvero rischio non sistematico (o specifico o diversificabile) e

non diversificabile); quest'ultimo è la covarianza media tra tutte le azioni.

Dato il totale dei titoli presenti sul mercato, che

non sono quasi mai perfettamente correlati tra

loro, e combinandoli tra loro si ottiene un insieme

di portafogli possibili (opportunity set). Tuttavia,

non tutti i portafogli sono efficienti: tra questi se si

prendono quelli che a parità di rendimento offrono

un rischio (atteso) minore e che a parità di rischio

offrono un rendimento (atteso) maggiore, si

ottiene la frontiera efficiente, nonché luogo

geometrico dei punti ciascuno dei quali non è dominato da altri.

Selezione del portafoglio ottimale

La scelta dell'investitore, ovvero il portafoglio ottimo, si colloca sulla frontiera efficiente. Tuttavia,

due portafogli efficienti (che si collocano sulla frontiera efficiente) non è detto che siano ugualmente

desiderabili: l’investitore sceglierà infatti in base alle sue preferenze definite da un insieme di curve

di indifferenza →una curva di indifferenza rappresenta il luogo dei punti di combinazione tra

rendimento e rischio che presentano la stessa utilità attesa. Il portafoglio ottimale si collocherà nel

punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la curva di indifferenza più alta.

Il portafoglio che concretamente un investitore sceglierà dipende dalla:

a)​ frontiera efficiente

b)​ propria propensione al rischio sintetizzabile tramite la mappa delle curve di indifferenza.

Proprietà curve di indifferenza Proprietà frontiera efficiente

Derivano da una funzione di utilità quadratica: Funzione crescente del rischio (ipotesi di

avversione al rischio + rischio + rendimento

atteso).

2

( ) 1

= − · · σ

2

dove A rappresenta il rischio Funzione concava mai convessa in quanto al

crescere del rischio aumenta il rendimento, ma

Hanno un’inclinazione positiva per via del in misura meno che proporzionale.

rischio e sono convesse, ossia al crescere del

grado di curvatura cresce il rendimento

richiesto per il rischio. 43

Portafoglio ottimale (PTF ottimo) è il

punto di tangenza tra frontiera

efficiente e la più alta curva di

indifferenza. L’utilizzo di questionari

(ex: Mifid) consente di individuare

l’avversione al rischio e quindi il PTF

ottimo per l’investitore.

Frontiera efficiente ex-post →la strumentazione serve per valutare la performance ex-post delle

scelte di investimento del singolo o del gestore di portafoglio. Se da un punto di vista teorico, la

frontiera efficiente è sviluppata dall’analisi dei singoli titoli, da un punto di vista empirico, si ragiona

in termini di asset class, insieme di titoli che presentano certe caratteristiche omogenee (riguardo al

paese, alla natura dello strumento e dell’emittente). Questo passaggio deriva dalla difficoltà

computazionale, in modo da semplificare il calcolo del rendimento e del rischio.

I rendimenti e i rischi storici su dati mensili relativi all’orizzonte temporale luglio 2010-giugno 2020.

Si identifica un benchmark, che approssima l’andamento di un asset class; quindi, si calcolano, in

ottica ex-post, i rendimenti ed i rischi associati tramite:

∑

○​ Rendimento storico annualizzato → = 1

= 2

( )

1

○​ Deviazione standard storica annualizzata → σ = ∑ −

− 1

= 1 44

Date le correlazioni, si identificano le composizioni che avrebbero garantito un certo livello di

rendimento a fronte di un determinato rischio; questo espone la performance dell’investimento. 45

Modelli di equilibrio del mercato dei capitali (focus CAPM)

L’obiettivo dei modelli di equilibrio del mercato dei capitali è di analizzare quali siano gli effetti delle

decisioni prese da investitori razionali sul prezzo degli strumenti finanziari. In particolare, tali teorie

studiano le relazioni tra rischio e rendimento per i portafogli e per i singoli titoli ed elaborano modelli

di valutazione dei titoli stessi. Rispetto alla teoria di portafoglio, i modelli di equilibrio del mercato dei

capitali permettono anche di spiegare le logiche di formazione dei prezzi di equilibrio dei singoli

strumenti finanziari. Essi comprendono:

○​ capital asset pricing model (CAPM) elaborato da Sharpe (1964), Lintner (‘65) e Mossin (‘66).

○​ alcune varianti del capital asset pricing model (estensioni del modello originale).

○​ l’arbitrage pricing theory (APT) elaborata da Ross (1976).

Ipotesi relative al comportamento dell’investitore Ipotesi relative all’operatività dei mercati finanziari

●​ sono avversi al rischio e ricercano la ●​ esiste un investimento privo di rischio al cui

( )

massimizzazione dell’utilità attesa. tasso di rendimento gli operatori

●​ selezionano i portafogli sulla base del possono sia investire sia prendere a

rendimento atteso e del rischio degli stessi. prestito; possibilità di modulare il

●​ l’orizzonte temporale è uniperiodale. portafoglio inserendo titoli privi di rischio.

●​ hanno aspettative omogenee: tutti ●​ non esistono imposte e altre imperfezioni di

concordano sui valori dei rendimenti attesi, mercato quali i costi di transazione (no lotti

delle varianze e delle covarianze tra i minimi di negoziazione, no restrizioni alle

singoli titoli. vendite allo scoperto, ecc…).

●​ tutti gli investitori sono price-taker. ●​ ogni forma di investimento è negoziata sul

mercato finanziario.

Il CAPM arriva a formulare due principali relazioni: ( )

1)​ tutti gli investitori ripartiscono la loro ricchezza tra l’attività priva di rischio e un unico

portafoglio di rendimenti rischiosi, denominato portafoglio di mercato nel quale sono inclusi

tutti gli investimenti disponibili. La Capital Market Line (CML) rappresenta la nuova frontiera

efficiente nell’universo del CAPM e definisce la relazione tra rendimento atteso e rischio di

portafogli efficienti.

2)​ il rendimento atteso su tutti gli investimenti è funzione della covarianza tra rendimenti degli

Security Market Line (SML) è una

investimenti e rendimenti del portafoglio di mercato. La

relazione di equilibrio (e non una frontiera efficiente) che consente di prezzare e definire la

relazione rischio-rendimento per qualsiasi titolo o portafoglio (anche non efficiente).

Fino a questo punto si è ragionato sulla base dell’ipotesi di investimento in soli titoli rischiosi; un

investitore potrebbe però voler “modulare” in modo più fine il rischio del proprio portafoglio. Questo

“fine tuning” può essere fatto ricorrendo a titoli privi di rischio. In questo modo l’investitore può

costruire un portafoglio con qualunque livello possibile di rischio . Quale sarà lo scarto quadratico

σ

medio (il rischio) di un portafoglio composto da titoli rischiosi e free risk? 46

Principali risultati del CAPM

Quando esiste la possibilità di effettuare un investimento ad un tasso di rendimento risk-free, come

cambia il rendimento atteso ed il rischio di un portafoglio che è possibile formare investendo in

queste due attività? Sia un portafoglio di titoli rischiosi e un’attività finanziaria priva di

rischio. Se si ammette la possibilità di investire/prendere a prestito al tasso , è possibile costruire

un portafoglio che sia combinazione di una certa quantit