Appunti completi di Analisi matematica 2

Analisi 2

Serie numeriche

Sn = _n=0^∞ Σ a_n

^∞Σ a_n → serie numerica

Def: a_n

• converge se lim_n→∞ S_N ∈ ℝ
• diverge se lim_n→∞ S_N = ±∞
• indeterminato se lim_n→∞ S_N

{S_N}_{N ∈ ℕ} ⊆ ℝ e detto successione delle ridotte parziali N-esime

Se ^∞ Σ a_n converge → anche ∑_n=0^∞ a_n converge

Se ^∞ Σ b_n sono due serie convergenti allora la serie ∑(a_n + b_n)

Se ∑ a_n converge e se λ ∈ ℝ allora la serie ∑ λa_n e anche essa convergente e ha stesso somma (stesso caso per la divergenza)

Se esiste un C ∈ ℕ tale che per ogni n ∈ ℕ:

1. a_n ≤ b_n

allora le serie ∑ a_n e ∑ b_n hanno lo stesso comportamento

Teorema

Sia data una serie a termini di segno costante ^∞ Σ a_n ≥ 0 ∀n ∈ ℕ → la serie e convergente oppure divergente coì monotona non crescente

dim. S_n+2 = S_n + Δa_n + a_n+1 ∑_i=1 → {S_n} e monotona non decrescente

Il limite di una successione monotona non desc. e l'estremo sup.

CRITERI DI CONVERGENZA

1. Criterio del Confronto

(per serie a segno non negativo)

date le serie _n=1 ^∞a_n e _n=1 ^∞b_n , 0 ≤ a_n ≤ b_n per ogni n ∈ ℕ

1. Se _n=1 ^∞b_n converge segue che anche _n=1 ^∞a_n converge.
2. Se _n=1 ^∞a_n diverge segue che anche _n=1 ^∞b_n diverge.

dim. Le implicazioni inverse in generale NON valgono

S_N = _i=1 ⁿa_n S_N = _i=1 ⁿb_n

S_N ≤ S_N

Se esiste c tale che a_n ≤ c·b_n

Si dice che la serie con b_n è maggiorante di _n=1 ^∞a_n

|lim N→∞ S_n ≤ c·t ^∞

Serie usate spesso x il confronto

_n=1 ^∞ ₁/_{n^a n=2} ^∞ ₁/_n^a(logn)b converges e diverge

2. Criterio del Confronto con integrali impropri

{a_n} a_n=f(n) Funzione continua positiva e decrescente in [N,^∞)

f : [N,^∞) →(0,^∞) monotona decrescente

lim n→0 f(n) ≠ 0 o ∫ _n=0 ^∞ f(n) diverge → Cauchy

lim x→∞ ∫ _n=0 |x| ∼ ∫ f(x) dx

la serie _n=0 ^∞a_n converge se e solo se ∫^∞ _N f(x)dx converge

Sn ≈ ∫ _N ^∞ f(x) dx ≈ SN _n=2 ^∞ a_n

Esempio : _n=2 ^∞ ₁/_n => serie che diverge

lim R→∞ ∫ ₁ ^R 1/x dx = lim R→∞ lnR - ln1 = diverge

RICORDA

∫_n=0 ^∞ 1/x^a dx

• α≥1 converge
• α ≤ 1 diverge

La serie _n=1 ^∞ (-1)ⁿ è indeterminata

* ∑ _n=2 ^∞1/n^a(logn)b

• converge se α≥1 oppure α=1, β>1
• diverge se α ≤ 1 oppure α=1, β ≤ 1

Alcuni Teoremi per le Serie di Potenze

Teorema 1.8

Supponiamo che la serie ∑a_nxⁿ sia convergente per x ≠ x₀ ≠ 0.

Allora essa è assolutamente convergente per ogni x ∈ ℝ con |x| < |x₀|.

Inoltre essa converge totalmente (e perciò anche uniformemente) in ogni intervallo del tipo [c, h], con h ∈ (c₀, |x₀|).

Nel caso in cui la serie data converge per qualche x ∈ ℝ e non converge per qualche altro valore x̅ ∈ ℝ.

Chiamiamo in tal caso raggio di convergenza R della serie di potenze ∑a_nxⁿ l'estremo superiore dei numeri |x| tali che la serie stessa è convergente. Cioè:

R = sup S con S = {|x|: ∑a_nxⁿ converge}

Chiamiamo intervallo di convergenza della serie ∑a_nxⁿ l'intervallo (-R, R).

Esempio:

∑^∞_n=0 (-1)^{n xn}⁄_√√√

Applico il criterio del rapporto: lim (|a_nxⁿ|) ⁄ |a_(n+1)xⁿ⁺¹|) = lim |x|⁄(n+1) = |x|.

• per |x| < 1 x ∈ (-1, 1), la serie converge
• per |x| > 1 x ∉ (-1, 1)
• per x = 1, la serie è... DIVERGENTE
• per x = -1, ∑^∞_n=0 (-1)ⁿ / n³. CONVERGE (criterio di Leibniz).

⇒ Raggio di convergenza R = 1

⇒ Intervallo è = (-1, 1)

Teorema 1.9

Data la serie di potenze ∑a_nxⁿ, supponiamo che esista n ∈ ℕ t.c. ∀n≥n₀.

Allora, se esiste:

lim |a_n|⁄|a_n+1| = 2

tale limite è uguale al raggio di convergenza della serie.

Teorema 1.10

Data la serie di potenze ∑a_nxⁿ e supponiamo che esista:

lim_n→∞ √√|a_n| = L

Allora il raggio di convergenza è dato da R = 1⁄L (R = 0 se L = ∞ e R = ∞ se L = 0).

cioè: una funzione è continua se la retroimmagine di un aperto qualsiasi è un APERTO

esempi:

f₁(x,y) = x + y definita su ℝ²

f₂ : [0,1] ⟶ ℝ = {(x,y) ∈ ℝ² : 0 ≤ x² + y² ≤ 1}

insieme chiuso

f^-1 ([t, +∞]) = {(x,y) ∈ ℝ : x² + y² ≥ t}

TEOREMA (sugli insiemi connessi)

L'immagine continua di un insieme connesso è un insieme connesso

f : D ⊆ ℝⁿ ⟶ ℝ^k continua

D ⊆ ℝⁿ connesso

=> f(D) è connesso

dimostrazione (per assurdo)

per assurdo f(D) NON CONNESSO

hyp

∃ A, B aperti di: f(D) A,B ≠ ∅

A ∪ B = f(D)

A ∩ B = ∅

suppongo à = f^-1(A)

B̃ = f^-1(B)

Ã, B̃ sono aperti di D (perché f continuo)

1) Ã, B̃ ≠ ∅

2) Ã ∪ B̃ = D

3) Ã ∩ B̃ = ∅ => D non connesso

=> è un assurdo => f(D) è connesso

RICORDA!

La composizione di funzioni continua è ancora continuo

esempio: f₁(x,y) =

A = {(x,y)∈ ℝ² : x² =

insieme aperto

B = {(x,y)∈ ℝ² : x+y ≤ 1}

insieme chiuso

C = {(x,y)∈ ℝ² : x²+4y+1 ≤ 1}

—> insieme chiuso

Teorema Fermat

Supponiamo che f sia derivabile in (x₀, y₀) punto di estremo relativo per f ∇f(x₀, y₀)=(0)

• (le derivate parziali sono NULLE in un punto di estremo relativo)
• La somma/differenza/prodotto/quotiente/composizione di funzioni derivabili è una funzione derivabile
• quindi deve avere un punto di max e min

Teorema di Rolle

f : D ⊆ Rⁿ→ R continua in D e derivabile nell'interno di D supponiamo che f|_∂D costante, D limitato e chiuso e connesso f ristretta alla frontiera di D (cambia il dominio da D diventa ∂D) ⇒ ∃ x₀ ∈ D° : ∇f(x₀)=0 (stessa dimostrazione del teorema di Rolle per funzioni a 1 sola variabile)

La nozione di derivabilità dipende strettamente dalle coordinate ⇒ quindi e "Fragile"

Differenziabilità

di una funzione f è differenziabile in x₀ e D se ∃ L L Rⁿ → R lineare t.c. lim_{x → x₀} (f(x) - f(x₀) - L(x - x₀)) / ||x - x₀|| → 0 L = dx₀ = differenziale di f in x₀ dx f(x) u(1)x + ∂f/∂x" (x')u(p) un

Faccio un'approssimazione della funzione:

f(x) = f(x₀) + L(x - x₀) + o(||x - x₀||)

• sara una matrice (va da Rⁿ in R)

Posso scrivere così: f(x) = f(x₀) + (∂f/∂x)(x₀, y₀) (x - x₀) + (∂f/∂y)(x₀, y₀) (y - y₀) + o(||x - x₀||) Piccolito scalare derivate parziale rispetto a (x₀, y₀) f(x) = f(x₀) + ∇f(x₀)(x - x₀) + o(||x - x₀||) matrice Jacobiana

se è vera questo e la funzione è derivabile in x₀ allora la funzione è differenziabile