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Analisi Matematica II
Vettori di Rn
Norma:
‖A‖ = √(a12 + ... + an2)
"Lunghezza di un vettore"
Proprietà:
- ‖A‖ ≥ 0 e ‖A‖ = 0 ⟺ A = 0
- ‖cA‖ = |c| ‖A‖
Distanza tra due punti:
dirt(A, B) = ‖A - B‖ =
= √((b1 - a1)2 + ... + (bn - an)2)
Palla aperta di centro P e raggio R:
{ x ∈ Rn : ‖x - p‖ < r }
Sfera di centro P e raggio R:
{ x ∈ Rn : ‖x - p‖ = r }
NORMALIZZAZIONE DI UN VETTORE:
Avendo un vettore A, di norma ≠0 => B = 1/||A|| * A
||B|| = ||A|| / ||A|| = A / ||A||. ||A|| = 1 / ||A|| * ||A|| = 1
PRODOTTO SCALARE:
In ℝ2, ℝ3 => A ⋅ B = ||A|| ||B|| cosθ
= α1b1 + … + αnbn
COMPONENTE DI UN VETTORE LUNGO UNA DIREZIONE:
Dat: A e B, con ||B|| = 1 un versore
Ā = cB, c = ||A|| cosθ = A ⋅ B
TEOREMA DI PITAGORA:
||A + B||2 = ||A||2 + ||B||2 c => A ⋅ B = 0
DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ:
|A ⋅ B| ≤ ||A|| ||B||
OSS:
Essendo -||A|| ||B|| ≤ A ⋅ B ≤ ||A|| ||B||
Si può trovare l'angolo tra due vettori: A, B
= cosθ = (A ⋅ B) / (||A|| ||B||), 0 ≤ θ ≤ π
VETTORE VELOCITÀ O VETTORE TANGENTE:
Se γ(t) = (x₁(t), ..., xₙ(t))
⇒ γ(t+h) - γ(t) = (x₁(t+h) - x₁(t), ...)
VELLOCITÀ MEDIA
γ'(t) = ṙ(t) = (x'₁(t), ..., x'ₙ(t)) → Vettore velocità
VELOCITÀ SCALARE:
v(t) = ||γ'(t)|| = √((x'₁(t))² + ... + (x'ₙ(t))²)
Si definisce retta tangente all'istante t₀ la retta passante per γ(t₀) e // a γ'(t₀)
Si definisce versore tangente → τ̂(t₀) = γ'(t₀) / ||γ'(t₀)||
Tutte le curve si intenderanno di: classe C¹ o di classe L¹³, eccetto:
Una curva γ: [a, b] → Rᵈ si dice:
• CHIUSA se γ(a) = γ(b) ⇒ istante iniziale e finale
x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 => IPERBOLOIDE A UNA FALDA
x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1 => IPERBOLOIDE A DUE FALDE
Dato che manca una variabile il grafico si realizzerà tramite traslazione su quell'asse
SUPERFICI DI ROTAZIONE:
z = g(y), y ≥ 0
rotazione attorno all'asse z
La funzione sarà quindi: z = g(√(x2 + y2))
al posto di y si sostituisce √(x2 + y2)
es. z = e-y rotazione intorno a z z = e-√(x2 + y2)
Vogliamo capire la funzione descritta da questo grafico
es. f(x,y) = x2 + y2
f(2,1) = 6 + 1 = 5
∂/∂x (2,1) = 2x(2,1) = 4
∂/∂y (2,1) = 2y(2,1) = 2
∇ f(2,1): (4,2)
Piano tangente in (2,1,5):
z = 5 + 4(x - 2) + 2(y - 1)
= 4x + 2y - 5
Regola della catena:
d/dt f(x(t), y(t)) = ∂f/∂x (x(t), y(t)) x′(t) + ∂f/∂y (x(t), y(t)) y′(t)
es. f(x,y) = xey
x = x(t) = t, y = y(t) = t2
d/dt f(t, t2) = ∂f/∂x x′(t) + ∂f/∂y y′(t)
= et2 . 1 + tet2 2t = (1+2t2)et2
es.
f(r̅) = - k / r̅ = - k / √x2 + y2 + z2
energia potenziale gravitazionale
∇f(r̅) = -k / r2 r̅
forza gravitazionale
punto verso la massima crescita
in direzione opposta a r̅ si ha la massima attrazione
DERIVATE DI ORDINE SUCCESSIVO:
Posso però prima derivare per una variabile e poi rispetto un’altra
∂ / ∂x ∂ / ∂y f = ∂2f / ∂y ∂x
ordine
Provando a derivare prima per una variabile e poi per un’altra, se la si inverte, il risultato è sempre uguale
TEOREMA DI SCHWARTZ:
Se ∂2f / ∂x ∂y e ∂2f / ∂y ∂x in un int. aperto Ω e sono continue, allora coincidono in Ω
∂2f / ∂x ∂y = ∂2f / ∂y ∂x
OSS:
∂2n/ ∂x2 + ∂2n/ ∂y2 + ∂2n/ ∂z2 = 0
∆n = Laplaciano di n
n(x, y, z) funz. incognita
1) Δ < 0 e
2) Δ < 0 e
3) Δ > 0 = punto di sella
OSS: Si può arrivare alla stessa soluzione guardando le derivate parziali di 2° grado in una matrice:
=>
MATRICE HESSIANA
=>
det H(x0, y0) = - Δ =>
Si studia il determinante
1) det H(x0, y0) > 0 e
2) det H(x0, y0) > 0 e
3) det H(x0, y0) < 0 = Punto di sella
=>
Lo stesso calcolo si può fare guardando gli autovalori della matrice H:
1) H definita positiva = autovalori > 0 = minimo
2) H definita negativa = autovalori < 0 = massimo
3) H indefinita = sella
... si può arrivare alla stessa conclusione in questo modo.
Se F(f1,f2) è conservativo
⇒ ∂f1/∂y = ∂f2/∂x ⇒ CONDIZIONE NECESSARIA
Esempio: F(x,y) = (x2y,y2) è conservativo in R2?
Dal primo criterio: non si riesce a capire, quindi: proviamo ad usare il secondo criterio
⇒ ∂f1/∂y = ∂f2/∂x?
⇒ 2y = 0 ⊗ (x,y) ∈ R2 ⇒ No!
⇒ F non è un campo conservativo in R2
Supponiamo che F(X) = (f(x1),...) sia di classe C1 in un aperto ed è conservativo in R
⇒ f è irrotazionale!
⇒ ∂/∂xi (fi(x)) = ∂/∂xj (fj(x)), ∇X ∈ R
⇒ f è irrotazionale non è sufficiente per la conservazione
OPERATORE ROTORE:
F(x,y,z) = (f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z))
Si definisce il nuovo campo vettoriale...
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