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Teorema fondamentale del calcolo integrale
Zf (x) = f (x ) + g(t)dt0 x 0
Allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:
∀x ∈f (x) = g(x) I
Per la trattazione dei prossimi argomenti, sarà utile la nozione di successione di Cauchy.
Convergenza uniforme
Una successione (a ) di valori reali soddisfa la condizione di Cauchy se vale la seguente proposizione:
N N∀ε ∃k ∈ |a − |< ∀k, ∈> 0 : a ε m k > kk+m k
In particolare, per le successioni di Cauchy vale la seguente proposizione:
Proposizione 2. Una successione rispetta la condizione di Cauchy se e solo se converge:
⇔(a ) è di Cauchy (a ) convergek k∈N k k∈N C Rn
Teorema 2 (del passaggio al limite). Sia A un sottoinsieme di oppure , x un punto0di accumulazione di A e siano f ed f due funzioni definite come segue:
k R C Nm→ ∈f : A oppure k (18)
k R Cm→f : A oppure (19)
Tali che (f ) converga uniformemente a f e che ogni f tenda a un opportuno l quando k k∈N
k kx tende a x .0
Allora esiste l tale per cui l = lim l = lim f (x)k kk→+∞ k→+∞
Dimostrazione L’enunciato del teorema scritto in forma intuitiva è il seguente lim lim f (x) = lim lim f (x)k kx→x x→xk→+∞ k→+∞0 0
Si dimostri che la successione (l ) soddisfa la condizione di Cauchy, ovverok k∈NN N∈ |l − |< ∀k, ∈∀ε ∃k : l ε m k > k> 0 k+m k
Come visto in precedenza, se la condizione deve valere per qualunque ε, deve essere veraanche per 4ε N N∀ε ∃k ∈ |l − |< ∀k, ∈> 0 : l 4ε m k > kk+m k
Si consideri la quantità|l − |= |l − − − − |l f (x) + f (x) f (x) + f (x) f (x) + f (x) lk+m k k+m k+m k k k
Applicando la disuguaglianza triangolare si ottiene|l − |≤ |l − − − − |l f (x)|+|f (x) f (x)|+|f (x) f (x)|+|f (x) lk+m k k+m
k+m k k kPoiché (f ) converge uniformemente a fk k∈N N∃k ∈ |f − ∀x ∈ ∀k: (x) f (x)|< ε A > kk 7Convergenza uniformePoiché ogni f tende a l quando x tende a xk k 0∃δ |f − |< ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 : (x) l ε A x δ (20)k k k 0 0 k∃δ |f − |< ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 : (x) l ε A x δ (21)k+m k+m k 0 0 k+mQuindi, se si sceglie x tale da verificare tutte e due le condizioni precedenti|x − |< }x min{δ , δ0 k k+msi ottiene N|l − |< ∀k, ∈l 4ε m k > kk+m kNe segue che la successione (l ) sia convergentek k∈N C∃l ∈ : l = lim lkk→+∞Ora si deve dimostrare che f tende a l quando x tende a x , ovvero0∀ε ∃δ |f − ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 > 0 : (x) l|< ε A x δ0 0Nuovamente,
se la condizione deve valere per qualunque ε, deve essere vera anche per 3ε∀ε ∃δ |f − ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 > 0 : (x) l|< ε A x δ0 0
Si consideri la quantità|f − |f − − − |f − − −(x) l|= (x) f (x) + f (x) l (x) + l l|≤ (x) f (x)|+|f (x) l (x)|+|l l|k k k k k k k k
Poiché (f ) converge uniformemente a f si ha chek k∈N N∈ |f − ∀x ∈ ∀k∃k : (x) f (x)|< ε A > kk
Poiché (l ) converge a lk k∈N N∃k ∈ |l − ∀k: l|< ε > kk
Poiché f (x) converge a l quando x tende a x si ottienek k 0∃δ |f − | ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 : (x) l A x δk k 0 0
Quindi se si sceglie k in modo da verificare le prime due condizionik = k +1ne segue che ∃δ |f − ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 :
(x) l|< 3ε A x δ0 08 Convergenza uniforme1.2 Convergenza della serie di funzioniR C,nSia A un sottoinsieme di o di si definisce C N→ ∈f : A kk +∞PIn analogia con le serie numeriche, il simbolo f denotakk=11. La successione (s ) definita come successione delle somme parzialin n∈N nXs = f (x)n kk=12. Il limite della precedente successione n+∞ XX f (x)f (x) = lim s (x) = lim kk nn→+∞ n→+∞ k=1k=1+∞P f converge uniformemente se e solo se la successione delle sommeSi dirà che la serie kk=1parziali (s ) converge uniformemente. In questo caso si può affermare chen n∈N +∞P f è continua.Proposizione 3. Se f è continua per ogni k naturale allora kk k=1RTeorema 3. Sia I un intervallo di si definisce R N→ ∈f : I kkValgono le seguenti implicazioni1. Se f è integrabile secondo Riemann per ogni k naturale, I è un intervallo compatto dik +∞P f converge uniformemente, allora valeestremi a e b
ea la seguente quantitàk |fa = sup (x)|k kx∈A+∞PPer ipotesi, la serie a converge quindi la sua successione delle somme parziali convergekk=1e quindi è di Cauchy !+∞ nX X⇒a converge a è di Cauchyk kk=1 k=1 n∈Nda cui ne segue che n+mn XX N∀n, ∈−∀ε ∃n a < ε m n >: a n> 0 kk k=1k=1Si noti come n n+m n+m nX X X X− − a = a + a + ... + a < εa a = a k n+1 n+2 n+mk k k k=1k=1 k=1 k=1Quindi risulta|s − |f |f |fs (x)| = (x) + f (x) + ... + f (x)|≤ (x)|+|f (x)|+... + (x)|n+m n n+1 n+2 n+m n+1 n+2 n+m≤ a + a + ... + a < εn+1 n+2 n+mNe segue che N|s − |< ∀x ∈ ∀m, ∈s ε A n n > nn+m novvero, la successione (s ) è di Cauchy e quindi convergente, in particolaren n∈N nXs(x) = lim s (x) = lim f (x)n kn→+∞ n→+∞ k=1Inoltre si ha che |s − |s(x) −lim s (x)|= s (x)|≤ εn+m n
nm→+∞Quindi N N∀ε ∃n ∈ |s − ∀x ∈ ∀n ∈> 0 : (x) s(x)|≤ ε A n > nnIn altri termini n +∞X Xf (x) f (x)⇒k kk→+∞k=1 k=110 Convergenza uniforme1.2.1 Serie di TaylorIn questa sezione si discuterà la convergenza uniforme delle serie di Taylor. Prima, però, cisarà un richiamo al polinomio di Taylor con resto di Lagrange.R ∞Sia f definita da un intervallo I a valori in una funzione di classe C (I) e siano x ex due punti di tale intervallo0 R→f : I (22)∞∈ ∈f C (I) x, x I (23)0Si definisce il polinomio di Taylor di grado n e centrato in x di f , indicato con T la0 n,x 0seguente quantità n (k)f (x )def X 0 k−(x x )T = 0n,x 0 k!k=0 ∈Proposizione 5 (resto di Lagrange). Esiste un y (x , x) oppure (x, x ) tale per cui0 0(n+1)f (y) n+1− −f (x) T = (x x )n,x 00 (n + 1)!Si dice che f si sviluppa in serie di Taylor con punto iniziale x se per
ogni x di I, T0n,x → T (x) f (x) quando n tende a infinitoProposizione 6. Si supponga l'esistenza di una costante positiva M tale per cui
(n) n≤f (x) Msupx∈I
Allora f si sviluppa in serie di Taylor e vale
+∞ (k)f (x )X 0 k−f (x) = (x x )0k!k=0
Dimostrazione Per dimostrare questa affermazione si consideri la seguente quantità
n (k)f (x )X 0 k− −(x x ) f (x)0k!k=0
Per il teorema del resto di Lagrange [5] si han
n+1 n+1(k) (n+1) |x − |f (x ) f (y) M xX 0 0k n+1− − − ≤(x x ) f (x) = (x x )0 0k! (n + 1)! (n + 1)!k=0 11
Convergenza uniforme
Siccome la successione a destra della disuguaglianza tende a zero per il criterio del rapporto
si ha
n (k)f (x )X 0 k− −lim (x x ) f (x) = 00k!k→+∞ k=0
Quindi
+∞ (k)f (x )X 0 k−f (x) = (x x )0k!k=0
Si osservi come date le ipotesi della proposizione 6, il polinomio di Taylor di f converge uniformemente a f perQualunque x, purché l'intervallo I sia limitato. Esempio 4. Si trovi il polinomio di Taylor centrato in zero della seguente funzione e se ne valuti la convergenza uniforme R R→f : (24)f (x) = sin(x) (25)L'espressione, al variare di k, della derivata k
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