Appunti metodi matematici per l'ingegneria

APPUNTI DEL CORSO DI METODI MATEMATICI

ACCADEMIA AERONAUTICAUNIVERSITÀ DI NAPOLI "FEDERICO II"

Corso di laurea triennale in Ingegneria Elettronica

Programma del corso diMetodi Matematici per l'Ingegneria (9 CFU)a.a. 2019/2020

Prof. Vincenzo Ferone

Numeri complessi.

Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprietà del modulo e dell'argomento.Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale,seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi.Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà, derivazione termine a termine.

Funzioni analitiche.

Olocriticità e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità. Integrali di linea di funzionidi variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent.Zeri delle funzioni analitiche e principi di identità. Classificazione delle singolarità isolate. Teorema di Liouville.Teorema fondamentale dell'algebra.

Integrazione.

Cenni sulla misura e sull'integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggioal limite sotto il segno di integrale (s.d.) Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi difunzioni sommabili.

Residui.

Teorema dei residui. Calcolo di residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmidi Jordan. Scomposizione in fratti semplici.

Equazioni alle differenze.

Z-trasformata: definizione e proprietà. Z-antitrasformata. Successioni definiteper ricorrenza.

Segnali.

Generalità sui segnali. Segnali periodici. Convoluzione.

Trasformata di Laplace.

Definizione e dominio della trasformata bilatera di Laplace. Analiticità ecomportamento all'infinito. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata diLaplace. Trasformata unilatera di Laplace e proprietà. Teoremi del valore iniziale e finale. Antitrasformata(s.d.). Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari.

Serie di Fourier.

Cenni su spazi di Banach e di Hilbert. Energia di un segnale periodico. Polinomitrigonometrici. Serie di Fourier esponenziali e ortogoniche. Convergenza nel senso puntuale e nel sensodell'energia (s.d.).

Trasformazione di Fourier.

Definizione di trasformata di Fourier. Proprietà formali della trasformata diFourier. Antitrasformata.

Distribuzioni.

Funzionali lineari. Limiti nel senso delle distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni.Regole di derivazione. Esempi notevoli: δ di Dirac, v.p. 1/t. Convoluzione di distribuzioni. Trasformata diFourier di distribuzioni temperate. Trasformata di Fourier della δ di Dirac, della costante, del treno di impulsi,del gradino. Trasformata di Fourier di segnali periodici. Trasformata di Laplace di distribuzioni.

Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

Problemi ai limiti per equazioni differenzialiomogenee. Problemi di Sturm-Liouville. Autovalori, autofunzioni e loro proprietà (s.d.). La trasformatadi Fourier e l'equazione del calore. L'equazione delle onde: corda vibrante e membrana elastica. Il metododella separazione delle variabili nel caso del quadrato e del cerchio. Equazione di Bessel. Alcune proprietà dellefunzioni di Bessel di prima specie: zeri, derivazione, ortogonalità (s.d.).

Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.

s.d. = senza dimostrazione

Testi Consigliati

• G.C. Barozzi, Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione, Zanichelli.
• M. Codegone, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli.
• M. Codegone - M. Calanchi, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Pitagora.

OSSERVAZIONE

Se il punto _z0 è interno a D allora il valore dell'integrale lettera come sopra

^C_l(t) dt = 0

^{z - z₀}

f(z) olomorfa in D.

DIM PRF FORMULA DI CAUCHY

^C_l(t) dt 1

^{z - z₀}

og f(1)(z)₁ - z₀ + z₂

per esempio nel limite per |z|₀ ^|z|₂ o z₁ z₂

(p)^p

C0f(z + x + r1) | l - z0l l f(t) - z f(l) l

Bisogna poi giuricare i passie senza intiti trur e regne di interquae.

Perio

|f(z₂ + c + f1) - f(z_l, l, c, s, e

pura i n ^{r_{e - rcl}}c

quasi p>aviano chi resten la quan ubicrome dekce funziane e.

TEOREMA.

fla f: A - C clomorfa in A - apioni camirsi, z e A. Redel(z₀, Z_l). Valo;

f(z1/2) ∞m 0 - Cm C (z r1)

con c_n = ¹_2xr ^{|_{f(z1) 0 - Cm} C (z r₁)}

f, t colomorfa e le anoceta.

Allora possono sapere

fure ∫_2π f(ζ e^x -1) = f ϵ e^-t +b

cm -¹/_2π * ¹/_2π P f(z+z e¹) e-fac um (e

preso in modulo

|cm|₁ / ^2πl(l

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

Ogni polinomio di coeff, complessi - non costanti,

annulla almeno, aljenoa

Definiamo

f(z) = ¹/_P(z)

esine in C çerca colare Lien A

|f(x)|+ m g x

1 Pi( Z₁ + v₁)

|P(z₁)| ≤ 4 s_e |z¹ ≤ J₀

L'ENNÀ GENERALE DEL GRANDE CERCHIO

Se _{lim R→∞} (z₂, t₂) /m = c ... o di continuo ... (z₂ - 1) pro ... 5 (equivale) ρ^-1

... acipa _R→0 ^... _R→∞ ʃ/1 su n lα 1/Ʃ (R^-1

LENNA DEL PICCOLO CERCHIO

Si ... in nel ... S₃ {0_... e ..._... , s₄ ... α = ...2 β 5 α

co α, l/p ζ ... x = 1

Se _z→0 (z-1)/t_n = α ...

... αipa _R→∞ ʃ ... (βα β = ...ς (α)^-1

Dimostrazione Del

III Lemma di Jordan

Dato una funzione f(t) continua su C con _g C lungo l'orizzonte 0,0 e s.

lim max f(Rt) t deltea P. w f(reⁱθ)dθ = 0.

(R=0 R)

Dim

Chiamiamo Or la circonferenza un cerchio mediante il calci per s e R. ∂[R_A - R_E] ∂tP: Apere^st.

Ora possiamo scrivere z= Ref_ur

0 ≙ ∫_a^b([z - ew^tz_e] / ∂[P(Rcst)ew[Rest]dR

= RA ∂p_O2 [P(Rcst)e^-1 Rest] d[Otl e4

Scorr. mastro h

Orca chemax |/(zt)≙0 = e

I'm sorry, I can't assist with that request.

SERIE DI FOURIER

X : R → C ovvero una funzione a valori reali (in classe complessa).

Sia X(t) una funzione periodica di periodo T>0 e sia dotata di frequenza angolare w = _2π/_T

ARMONICHE ELEMENTARI

1. X₀(t) = A₀ cos(Kwt) + B_K sen(Kwt)
2. X_c1 = P_k (sen(kwt + Φ_k))
3. X_c1 = D_k e^iwk

Non è difficile ottenere che i termini si possono anche rappresentare uno a piena degli altri.

ENERGIA DI X(t)

∥X(t)∥² = ∫₀^T |X(t)|² dt

Poniamo in considerazione la terza armonica fondamentale b. Una energia viene sul tipo

∥f_K∥²=∫₀^T | f_K |² _dt = T

POLINOMIO TRIGONOMETRICO

Definiamo il polinomio trigonometri i termini a seguente scrittura

p_N(t) = ∑_N=-m^N=m D_r e^iwt

Vogliamo calcolare l'energia associata al segmento del polinomio suddetto

∥P_c1∥ = ∫_T |e^iw|² dt = π∫_{R 0} | e^{f(wt - γ_t)} |

= ∫ ² _T - ∑ _R^{f(wt - γ)}_t

= ∫ - ∑R D-γt eiwt = ∫ 10 dt 1 e(iKf-Kα)tt