Appunti completi del corso di Geometria e Algebra lineare

Definizione delle operazioni su un insieme X

Kpartenza X al campo K defX {f →= : X (25)K K}Si definisce l’applicazione della somma di due applicazioni su un elemento di X come lasomma delle due applicazioni su lo stesso elemento di XdefX ∀f, ∈g f + g (x) = f (x) + g(x)Ked è inutile affermare che tale definizione rende vere le quattro proprietà della somma neglispazi vettoriali.Si definisce l’applicazione della moltiplicazione di un’applicazione per uno scalare su un ele-mento di X come la moltiplicazione della stessa applicazione su lo stesso elemento di X perlo stesso scalare defX ∀f ∈ ∈λ λf (x) = λf (x)K Ked è inutile affermare che tale definizione rende vere le quattro proprietà della moltiplicazioneper scalare negli spazi vettoriali.2.5 Regole di calcolo negli spazi vettoriali1. Il prodotto di un qualsiasi scalare per il vettore nullo, dà come risultato il vettore nullo∀λ ∈ λ0 = 0 (26)K2. Il prodotto di qualsiasi

vettore per l'elemento nullo della moltiplicazione per scalare, dà come risultato il vettore nullo ∀u ∈ V 0u = 0 (27)

Spazi e sottospazi vettoriali

3. L'opposto di qualsiasi vettore può essere ottenuto moltiplicando il vettore stesso per l'opposto dell'elemento neutro della moltiplicazione per scalare ∀u ∈ -uV (-1)u = (28)

4. Il prodotto fra l'opposto di un qualunque scalare per un qualunque vettore è uguale all'opposto del vettore che si ottiene moltiplicando quello scalare per quel vettore che è ancora uguale al prodotto fra lo stesso scalare e l'opposto del vettore scelto ∀λ ∈ ∀u ∈ - -(λu)V λu = = λ(-u) (29)

K,

5. Se il prodotto di un vettore qualunque per uno scalare qualsiasi dà come risultato il vettore nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo ∀λ ∈ ∀u ∈ ⇔ ∨V λu = 0 λ

1. Proprietà del prodotto scalare: Se il prodotto di due scalari per lo stesso vettore non nullo è uguale, allora anche i due scalari sono uguali. Analogamente, se il prodotto di due vettori per lo stesso scalare non nullo è uguale, allora i due vettori sono uguali.

∀λ, ∈ ∀u ∈ ̸ ⇔µ V, u = 0 λu = µu λ = u (30)K

∀u, ∈ ∀λ ∈ ̸ ⇔v V λ = 0 λu = λv v = u (31)K

2. Proprietà di infinità: Se V ha almeno un vettore non nullo ed è un campo infinito, allora anche V è infinito. Poiché anche nel caso esistesse un solo vettore u appartenente a V, esisterebbero infiniti vettori λu, comunque scelto uno scalare λ dal campo K.

2.6 Sottospazi vettoriali: Sia V uno spazio vettoriale rispetto a un campo di scalari e sia W un sottoinsieme non vuoto di V. W è un sottospazio vettoriale di V sullo stesso campo se:

- Comunque presi due vettori u e v in W, la loro somma u + v è ancora in W.

- Comunque preso un vettore u in W e uno scalare λ nel campo, il prodotto λu è ancora in W.

all’interno di W , la loro somma rimane dentro a W , ovvero W è chiuso rispetto alla somma∀u, ∈ ∈v W u + v W (32)2. Comunque presi un vettore all’interno di W e uno scalare all’interno di il loroK,prodotto rimane dentro a W , ovvero W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare∀u ∈ ∀λ ∈ ∈W λu W (33)K

Le due condizioni precedenti si possono racchiudere nella seguente∀u, ∈ ∀λ, ∈ ∈v W µ λu + µv W (34)K

Si noti che all’interno di W ci deve sempre essere il vettore nullo poiché se si sceglie comescalare λ lo 0 per la seconda proprietà il suo prodotto con qualunque vettore u deve rimanereall’interno di W .

Si noti infine che due sottospazi vettoriali che rispettano le proprietà elencate in precedenzasono {0}W = (35)1W = V (36)2questi sottospazi vettoriali prendono il nome di sottospazi banali o impropri.

2.6.1 Intersezione e

unione di sottospazi vettoriali

Sia V uno spazio vettoriale su un campo di scalari e siano W₁ e W₂ due sottospazi vettoriali di V.

Teorema 2 (dell'intersezione tra sottospazi). L'intersezione di W₁ e W₂ è anch'essa un sottospazio vettoriale.

Dimostrazione: L'intersezione fra W₁ e W₂ è data da tutti i vettori che appartengono sia a W₁ che a W₂:

W₁ ∩ W₂ = { u ∈ V : u ∈ W₁ e u ∈ W₂ }

L'intersezione di questi due sottospazi è ancora un sottospazio vettoriale; per dimostrarlo si verifichi la condizione riassuntiva:

u, v ∈ W₁ ∩ W₂ ⇒ λu + μv ∈ W₁ ∩ W₂ (37)

u, v ∈ W₁ ∩ W₂ ⇒ λu + μv ∈ W₁ ∩ W₂ (38)

Se λu + μv appartiene sia a W₁ che a W₂ vuol dire che appartiene alla sua intersezione e ∩, quindi W₁ ∩ W₂ è un sottospazio vettoriale.

Teorema 3 (dell'unione tra sottospazi). L'unione di W₁ e W₂, in generale, non è un sottospazio vettoriale.

10 Spazi e

sottospazi vettoriali

Dimostrazione L'unione fra W e W è data da tutti i vettori che appartengono a W oppure a W:

W ∪ W = {u ∈ V : u ∈ W or u ∈ W}

Si consideri l'esempio V = W = {(x, y) : y = 0} (39)

W = {(x, y) : x = 0} (40)

{(1, 0)} ∈ W (41)

{(0, 1)} ∈ W (42)

{(1, 1)} ∉ W (43)

2.6.2 Sottospazio Span

Sia V uno spazio vettoriale su un campo di scalari e sia A un insieme finito di vettori:

A = {u1, u2, ..., un}

Ogni vettore del tipo v = λ1u1 + λ2u2 + ... + λnun si definisce combinazione lineare dei vettori di A a coefficienti nel campo K.

L'insieme che contiene tutte le combinazioni lineari fatte a partire da A si definisce Span di A e si indica con Span(A):

Span(A) = {λ1u1 + λ2u2 + ... + λnun : λi ∈ K}

Teorema 4. Lo Span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale

di V che contiene A.

11Spazi e sottospazi vettoriali

Dimostrazione

La dimostrazione verrà divisa in tre parti

1. Per prima cosa si dimostri che Span(A) è un sottospazio vettoriale e che quindi risultichiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalare.

∀u, ∈ {u } ∈v Span(A) A = , u , ..., u α, β K1 2 n1 2 nu = λ u + λ u + ... + λ u1 2 n1 2 nv = µ u + µ u + ... + µ u1 2 n?∈αu + βv Span(A)1 2 n 1 2 nαu + βv = α(λ u + λ u + ... + λ u ) + β(µ u + µ u + ... + µ u )1 2 n 1 2 n1 1 2 2 n n= (αλ + βµ )u + (αλ + βµ )u + ... + (αλ + βµ )u1 2 nche rappresenta un’altra combinazione lineare dei vettori di A ed è quindi appartenentea Span(A).

2. Ogni vettore di appartenente all’insieme A può essere scritto come combinazione linearedegli stessi vettori di A u = 1u

+ 0u + ... + 0u (44)1 1 2 nu = 0u + 1u + ... + 0u (45)2 1 2 nu = 0u + 0u + ... + 1u (46)n 1 2 n (47)e quindi A è contenuto nello Span(A)3. Infine, si dimostri che Span(A) è il minimo sottospazio che contiene A.

Sia W un sottospazio qualsiasi contenente A VWASiccome W è un sottospazio vettoriale, i suoi elementi verificano la condizione riassun-tiva 1 2 n∈ ⟺ ∈u , u , ..., u W λ u + λ u + ... + λ u W1 2 n 1 2 nQuindi un qualsiasi sottospazio W che contiene A, contiene anche Span(A).

Span(A) è detto sottospazio vettoriale generato dall'insieme A.Uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se esiste un sottoinsieme finito A taleche V risulti uguale allo Span(A); in tal caso, A viene definito come l'insieme di generatoridi V .

2.6.3 Somma di sottospaziSiano W e W due sottospazi vettoriali di V .1 2Si definisce somma di W e W , l'insieme di tutti i vettori che si ottengono come risultato1

1. Per prima cosa si dimostri che W + W è un sottospazio vettoriale, verificando la condizione riassuntiva: ∀ u, v ∈ W + W, ∀ λ, μ ∈ ℝ, λu + μv ∈ W + W
   • u = u1 + u2, v = v1 + v2, con u1, u2, v1, v2 ∈ W
   • λu + μv = λ(u1 + u2) + μ(v1 + v2) = (λu1 + μv1) + (λu2 + μv2)
   • Poiché u1, v1 ∈ W e W è un sottospazio vettoriale, λu1 + μv1 ∈ W
   • Allo stesso modo, λu2 + μv2 ∈ W
   • Quindi, (λu1 + μv1) + (λu2 + μv2) ∈ W + W
   • Quindi, W + W è un sottospazio vettoriale
2. Ora si dimostri che W ∪ W è contenuto in W + W. Questo vuol dire che ogni vettore appartenente a W ∪ W, appartiene anche a W + W
   • Se u ∈ W, allora u = u + 0, con u, 0 ∈ W
   • Quindi, u ∈ W + W
   • Allo stesso modo, se v ∈ W, allora v = 0 + v, con 0, v ∈ W
   • Quindi, v ∈ W + W
   • Quindi, ogni vettore appartenente a W ∪ W appartiene anche a W + W
3. Infine, si dimostri che W + W è il più piccolo sottospazio vettoriale che comprende W ∪ W
   • Supponiamo che esista un sottospazio vettoriale V tale che W ∪ W ⊆ V
   • Allora, per ogni u ∈ W e v ∈ W, u + v ∈ V
   • Ma u + v ∈ W + W, quindi W + W ⊆ V
   • Quindi, W + W è il più piccolo sottospazio vettoriale che comprende W ∪ W

sottospazio che contiene W W .1 2 1 2∪Sia W un sottospazio di V che contiene W W .1 2∈u = u + u W + W (50)1 2 1 2∈ ∪ ⊂u , u W W W (51)1 2 1 2Per le proprietà dei sottospazi vettoriali, W è chiuso rispetto alla somma e quindi anche⊂u risulta appartenente a W ergo W + W W1 2∩Se W W è composto solo dal vettore nullo allora W + W si dice somma diretta e si indica1 2 1 2⊕con W W .1 2 13Spazi e sottospazi vettorialiTeorema 6. Se u appartiene alla somma diretta di W e W allora esiste un unico modo di1 2scrivere u come somma di un vettore appartenete a W e uno appartenente a W1 2∈ ⊕ ⇒ ∃!u ∈ ∃!u ∈u W W W , W : u = u + u1 2 1 1 2 2 1 214 Lineare dipendenza e indipendenza3 Lineare dipendenza e indipendenzaSia V uno spazio vettoriale su un campo di scalari e sia A un insieme finito di n vettoriKdel tipo u .i iL’insieme A è linearmente dipendente se es