Appunti Calcolo numerico

[E

by] = ,

,

E + +(x) 0

0

x3 = ,

= - [5]

[au bu] -

,

** 56724329

= 0 . ....

dell'intervallo

Ampiezza 22x1

bk br-dk

bo

ak do

- -

= 2k 2 bordo

bo-do >

(E = E

2k (boa

en

bo-do

log

K1 a en 2

i

bo-do 1

= 15820

10827

Algoritmo fatti

numero

limitazione al di pasti

1 .

Criterio Impongo

salvaguardia kmaz

di iterazione

numero di

un

[ Cnc[41

A(xx) tolleranza

5

=

2 :

, di

precisione

frequente "

scelta macchina

Em

T

=

3(ak T

bx) =

- fane

vado di tipo

controllo assoluto

un

> a Icriterio assoluto

lak-balatlarl relativo

>criterio

lak-baktalakl dmc[a

Ez Tz1

criterio

+ - tipo misto

di , ,

T1 Tz 0

0 =

= criterio criterio

- >

assoluto relativo

Bisezione)

(Metodo

Algoritmo di

Ald). I

Alb)

A

Dati bt 0

a co =

c bo

do d

,

, , = ,

. ,

(mi casol

Per fermo

K in ogni

Kmax

1

0

= , -,

--

, I

Flault

SeAct/it lak-bal

Se

stop stop

< no

decidere

> se usarlo T

posso o

ef(x)

Calcola aktbr

xk = 2 is

Altk)

Flak)

Se bata

anta

allora

· o ak xk

=

= , :

Flarl

Se A(a) bk bk

so ant +

allora f 1

+

= =

. , i

7(xf)

Se stop

0

= convergenza

Metodi local

di Netuon Axa)

e

I

+

f(x) f(to))

- f(x) (X0

0 y =

= ,

23

* Il

↳ X0 A()

1x01) nel

Dato 1x0 traccio alla punto

tangente y

la curva

to =

,

,

f(xol)

(to , x0)

A'(xd)(x

f(x) =

y -

-

La retta lasse

l'intersezione delle

è della

iterata con

nuova

La calcolo : & f((x0)(x

A(xd) x0)

y -

=

- 0

y = flexol

xof(to)

X1 to

= ,

A'(to)

di

del Newton

Forma metodo

· S dato

to f(xk) 7'(f)

K20

Xk

Xk 0

+

= -

1

+ ,

,

f'(xx) Non da

possiamo partire una

il tangente all'asse

parallela

senno

perché lo interseca

non

Az f(x)

Acts) Y

, =

di

proprietà del metodo

convergenza locale

arctan(t) 0

= - - Xo 1

= 10-1

5 7

x1 .

-

= ,

3

- 10-1

xz 1 7 .

= , 10-3

1

X3 1

- .

= , 10-10

7 9

xu = , .

(dafnire) L

segni

i si !

alternano

2

Xo = Tende !

0

3 5 a

X1 ,

-

= 9 7

Xz 13

= . tende

-279 3 do !

non

to ,

= , anzi si allontana

Xu 12202

= 10to

3

XS 2 .

= - , M

X te x

locale

convergenza

Teorema 1 f'(

f(x derivabile

Sia ) che

*

* ) valte

+0 e 2

sia

0

= con

, sufficientemente

7 Eso

di

in *

continuità MA

intorno allora un

un , (X4]

,

110

lo

, la

Se metodo

dal

*

t successione generata

piccolo .

c

. è

l'ordine

* di

Neuton quadratico

convergenza

converge a e

, 2k20

M *

* Ms

Xx - x

Xx

-

1 -

+ ,

cerrore convergente

risultato locale

di .

#6 (x

· + 0

+ affinché

devo alla

vicino soluzione

poter successione

· partire la

converga

generata (globale

di

metodo bisacione la

nel

· garantita

invece convergenza era

e

e lenta

la convergenza proprietà

ci

Tra Bisezione

Newton e .

complementari

sono

V sufficientemente

N B dice

mi sogliere

. un

come

non to

. utile

(quindi e

vicino alla soluzione poco

faccio ! bisacione

metodo di

Come il

allora uso sia Neutan

di

quello

che avvicinarmi

la

applico bisezione per gli ultimi

ad allo e

zero pei

· to Newton

passi con

sufficienti

Teorema Condizioni convergenza

la

per

2 -

Se funzione

condizioni altrimenti nulla

queste converge

sono la

ci nah so

,

,

b])

At("([a f(b)

f(a)

1 0

·

, [aib]

fe derivabile volte

> in intervallo

2 continuità

con un

7(a) f(b)

Limitato

chiuso e o

.

,

127) [alb]

il costante

della e

2 segno in

7"(x) Taib]

3 il della i costante in

segno 7

xottaib] "Nolso

fixol.

è tale

allora se la

· successione

che ,

di

metodo

dal Newton dif

ad

converge

generata zero

uno

esercizio 2

f(x) = fare fino

(minimal

può

- al

la

e derivata

Si

>

x 0

=

-

= secondo ordine continue

e sono

in questo derivare

la posso

caro volte

A

f(0) 130

=

f(x) =

e ogni intervallo

negativa

1 in

- -

= 1)

[0

1 ha segno costante ,

[0

f"(x) x 1]

e l'asse

positia tutto

su

= ,

ha

1 costante

segno soddisfa

funzione tutto

la

quindi

I

d O 1 condizioni

le

A(xdof"(Xo)

to 1 1 130

= = . garanzia

parto di

ho

se O convergenza

da

1'(xk)

f(x)

Xk 0

xk =

+ =

1 - ,

f(xk)

S to dato x

e xk

xk

xk 1 -

+ -

= xk formula

-

e applicare

da ripetutamente

- 1

- > attenere la successione

per

Xo 0

= 20 1 1

0

* 0

0

1 -

=

-

-

= = Z

et 2

- -

1

-

E ** dopo

z due

e

E interazioni

5671

0

3602

x 0 =

- - .

= .

=

e-2 già molto

Siamo

1

- - vicini alla soluzione

eserano

f(x) (n(x) A continua

3

x

+ -

-

=

f(1) f(4)

4 38629

= ,

- 0

= , e

quindi Zero

sicuramente uno

lessendo segno)

cambia

che [1

f'(t) 4]

= La costante

+ in

1 legno ,

= Le positiva

t"(x) [1

ha 4)

1 segno costante in

= - ,

negativo)

I

dell'approssimazione

scelta

I iniziale

il f(1)

devo scegliere

· 1

punto > u

=

flu) 30629

~ e 0

non = ,

Inon è ~

la

garantita c) Perché

convergenza +.

= - f(x) f"Cto))0

. =>

V

deve essere

questo

anche -

I dat

to en(xk) xx 5

xk Xk +

1

+ = -

- # 1

+

Algoritmo metodo

assado al

f

dati ed

to

fa k 1

0

= , , ... et'(x)

Axal

calcola

I (tan/x)

fit=o Stop

se

Paltrimenti iterata

E la

continuo nuova

f(Xk)

Xk

xk =

1 -

+ f'(t) finito

tempo

algoritmo mi serve un

criteri di arresto :

di interazioni

I Kna

salvaguardia di

numero

imporre massimo

: un fineto

il

(cosi sia

stope tempo

sono sicura

uno che

impengo

ACE) EMCT]

It

2 , > tolleranza sufficientemente piccolo

deve

> essere

~

il perché

valore assoluto serve

fixko fermane

mi dovrei essendo

se >o

( xk Xz) (x)

.

3 E

=

-

+ a +

differenza

la tra le

& due diventando

iterate sta

?

piccola

Algoritmo

Dati , t Kmax ...

to 1

K

per 0 nax

= ,

, ,

ef'(xk)

Altk)

Calcola a fermo

se mi

talto

~ =k-f(x)

A(xk(fo = +k

~ se 1

+ = f(( f)

+

all

(7(k [c

=

se +

Stop

eserazio

f(x) 3

3x 2x 5

= - -

f( 5 6

1) +

3 2 =

- -

- -

=

A(3) 70)0

6

81 5

= =

-

- [ 3]

f'(x) 1

972 -

2

= ,

-

f"(x) 18x S posso

non

>

= -non ha applicare la

costante

segno regola

f(1) 3 40

3

2

= -

- -

= [1 3]

f(3) 70co ,

= E

E'czl x

segno

cha

972-2 +

costanta -

=

f"Cl ha coltante

>

187 segno

=

A(d) A "(to) & dalo

so to

. +

+ 10 Xk 2xk

3

+ 3 3

1 = -

n +

+ -

-

113)

scegliendo = to 3

= 92x 2

-

funzioni

Approssimazioni dati

di e

Interpolazione (passara ovvero

"poli"

, punti

per

punti)

Mil

(xi (n

Dati +s it5

1 =

1

n +

0 xi

:

=

, ...,

, , distinti

Li nodi 2 2

a a

Problema funzione

trovare tale 1

9 inti

che

una yi -n

y 1

0

=

= -

.

,

g(xi)

< y

= = di

condizioni

interpolazione

- dati

.. punti

dei

funcione

la

⑳ cerco essi

in

passante

f(xi) A incognita

Yi = fil

Xia funzione

= voglio approssimare la (E)

funzione

approssimo la

con

f(z g(z)

=

Ad diventa

l'integrazione

esempio :

, =

(dx g() d

L'interpolazione l'integratore

renda

polinomiale semplicissima

del

grado polinomio nt1 punti

con

s

il "n"

al

Trovo che

grado

di più ,

prctal Yi

tale

polinomio per n

1

=0

= , ....

anth

Pn (x) d2x

+

ad

+

do + +

+...

= dnth

2

d1x

do az

+ +

+ +

Dn(x) + .

= -

- &

I Dn(x0) +anto"

Xo2 Yo

Yo +

do alto +... =

az

+

=

d

o anx2

a2x2

Delle 20 + ye

21x2

+ +

+ =

7 -

-

:

i

In(xn) dnXn" yn

en do +

daXn

+ azxn2 +

+ =

...

= - del ai

sistena

lineari

condizioni

...

S il

trovo peronio

> di interpolazione

: in

Xn" Xn" an

1 In

Matrice" Vandermod

di

Quando ?

del

sistema

ede la lineare

enste soluzione

unica quindi i

quando

> ha matrice

la

massimo e

rango

invertibile

l'unicità

L'