Appunti Analisi 2 - parte 5

ESEMPIO TAYLOR

SERIE

SVILUPPI IN DI

.

1 Sviluppiamo f(x)

la funzione anetgx

in serie =

Ricordiamo -x ha

e t

f'(x) Si

che per

= =

" t 0 (se(x(

(-2)2x2n 2)

m

# <

=

=

= n 0 0

= n =

- L

* potenze

serie di

gromatica

serie x2)

(

- [0

Integrando x]

nell'intervallo

termine termine ha

si

a ,

,

(dy = pdyyy

actgx = POTENZE

SERIE SERIE

E TAYLOR

DI

DI

Sia f lo

RDR infinite volte

derivabile sviluppo

scriviamo

in e

0

,

X

: =

il

McLaurin di Lagrange

resto

di con

=

f(x) X E

+

1)()

f(n +

il x)

resto e(c(0

En(x)

con = ,

(n !

1)

+

Se En

che sviluppabile

sviluppe in

allora fi

(x)

si per n-D0

-Do

McLaurin ha

,

di

serie si

ovvero

f()(0)xk

0

f(x) = !

K

k 0

=

-

> Serie potenze

di

Se centrate

di

contrario

al consideriamo in

potenze

serie 0

.

una

↳ anx" Ryo

con

n 0

= (-R

Alloca volte

infinite

le

nell'intervallo denivabile

serie

R) della è

somme

, s

Possiamo funzione

McLaurin f(x)

serie

sviluppare la x(RR)

di

in x per

an

=

f'(01 Si termini

Calcoliamo termini

ha

, derivando .

ou

.

= fia)

f'(x) a a

= ,

,

(2) A f4(a)

2

f(x) n

1)anx -

n(n 2az

=

-

= - ,

ap

2

n 2

= "Caz

: 4

+

3 3 G

+ .

. .

fit(x) = fr(a)

(n-ka

-1) !

k ar

.... =

,

x

! x3

!

1)

(k

k 1 +....

+ +...

+

X

ak

= · .... ! b

"

la

Quindi McLaurin è

f(x)

di di

serie akxa

= =

f(x) dx

Conclusione

La famiglia McLaurin

funzioni

delle di

sviluppabili serie

in Coincida

di l'origine

classe aventi raggio

la di

di convergenze

potenze centro

con

positivo

.

In generale f sviluppabile serie

Ogni funzione di di

Taylor centro

in Xo

=

f(x) in di

e Serie

(xx di potenze

corrispondenze con una

centro e riceverse

to a

DEFINIZIONE FUNZIONI ANALITICHE

-

f sviluppabile

DR di Taylar di

in

b) centro

è

(a serie

ANALITICA è

se

: -

, Xot(a

positivo b)

di

raggio convergenze per

Xo ogni

e ,

ESEMPIO inR

lanalitiche

ex sinx cosx

, , <

log (qualitiche c)

1-1

(1 x) in

x)

(1 + + +

, ,

Nota basta

Non infinite !

volte

derivabile analitica

essere essere

per

ESEMPIO

Geox

f(x) =

&* fran

Frem" è analitica

(0) 0

= A

.

# trigonometriche

periodiche

ioni [2i-periodiche]

cos(x) e0s(x)

sim(x)

Sin(x) 3 +

,

, [periodiche]

5 ,

eos(3x)

Sin (3x) sin(x) ...

,

, [almeno

2 periodiche]

Geos(3x) (5x) 2-

5 sin

sin x + -

Funzioni elementari

25-periodiche (neIN)

(nx) cas (nx)

20s(x) 20s(3x) Sin

(2x)

Sin(x) Sin

, ,

, ... ,

, ,

Fourier

INTUZIONE di

Le funzioni da

periodiche rappresentate di

essere una

possono sommar

elementari

funzioni periodiche

-i *

a di

Ino

SERIE TRIGONOMETRICHE

trigonometrico

Polinomio ordine

di n

+ bisin(kx)

Pn(x) (akcos(kx) +

a

= complessi

(redi

bu numeri

ar e o

SERIE TRIGONOMETRICA

+ sin(kx

(ak bk

cos(kx) +

do

ESEMPIO Tesim(2x)

P3(x) 3 Sin(x) 420s(3x)

+

= + -

C

· Sin(kx) -1)

e) +

I

k =

2

k =

CONVERGENZA

+ basin(

(ak Ca(kx)

do +

A tendono

Se la

cofficiente

i bu serie

allora

zero

non

are a non

. Converge

Se

.

B br-do che

in modo

ar-do e

Elbal

las ,

siamo finite poiché

e

laklosk basinkx) (aul 1bx

+

=

+

La triganometriche totalmente la

seria è quindi

Convergente somma

e

funzione continua

è una l'unico

Il B

C è c'è

in cui

caso convergenza

non .

.

. (CONVERGENZA MONOTONA)

PROPOSIZIONE UTE

San

Se decresente

monotona

è successione cero

una a

antos(

① ansin n

Exe(0 2it)

convengano , ①(1

=

② -1 (n (nx

Cos sin

an an

Fxe([o <[i])

2]

convergono ,

ESEMPIO

i

DERIVATA SERIE TRIGONOMETRICHE

UNA

DI

doakeos(kx) bksin (k

+ quindi an

(sink)

La S

+ cos(x)

serie delle derivate è trigonometriche coefficiente

shie

ancora

ovvero can

una

Ca'k kbr

=

bk Kak

-

=

* Difficile"

"Più

La derivate

della scie è

convergenza

FOURIER

SERIE PERIODICA

FUNZIONE

UNA

DI

DI

f C]

[0 estesa

-R R

periodicità

per

: su

,

Sia [] integrabili

fi

delle

vettoriale

V [o

lo funzioni I

spazio e

,

il funzioni

di 2

V prodotto

definiamo scalare

su

( f(x)g(x)dx

f

< g) =

, la

di di distanza

la

f

conseguente norma

e e

124x)2

11811 18 2 Norma Quadratea

= =

. ((2()f(x) =dx)1

g(x))

1(f gl)

g)

d(f =

= -

-

,

Esempio GEOMETRICO SULLA Norma Quadratica

s quadrato

f g

> A quadrato

=

jg2dx Il gi

f(12

11 ge ax

= Periodiche

IL Sistema FUNZIONI

delle ELEMENTARI

Per si che

dimostra

heI

K

ogni , (

Cosix) dx

J (sin(x)) π4)

dx = = seh k

(in S(kx)e0s(nx)dx =

sh

(kx)sin(x)dx 0 =

=

=

Sin(kxleoslax)din(kx)dxdx

ortogonali

Cioè mutualmente di

vettori fissata

sono norma

: ,

1) sin (kx)ll lleos(kx))) # los(kx))

Sin(kx)

<

=

= 0

=

; ,

sin(hx)) cas(hx)

sin(kx) Ceos(kx)

< 0

>

= =

.,

,

SISTEMA V

in

ORTONORMALE

lieV trigonometriche

Successione Vettori Funzioni elementari

di integrabili

Lei funzioni periodiche 2a

vanno 2

a

·

=

le x

prioprietà 3dz =

10

con (1

- ,

Il eillate

① sul

F e

=

campo

-

> It

.

(t)

② i (2x

ei + =

ej 24

5

0

=

,

Si il

generalizzare =

può 22n-1

base

di

concetto

artonormale =

22n

Coefficienti FOURIER

DI POLINOMIO

E

8 APPROSSIMANTE

DI

- trigoniometrico

Sia V il che

cerchiamo

fe polinomio grado

di gan

f media

approssima quadratica

meglio in

Lovvero P)

distanza d(f

che minimizza la ,

?

R"

the in

succede

↑ ERV Fo e

(ve )

10

un) 1

0, 0

=

= / , ...,

,

..., ,

, ....

En i ↑

t V Ve Ven

i +....

+

=

,

ESEMPIO -R3

# (3 e

6) (1 e 1)

100

(0

0) 0)

1 1

0

=

= =

- =

, ,

, , ,

, , ,

,

↑ -Se Ge

+

cr , e

< v ,

Per f -R

2T]

[0 Fourier

coefficienti di

definiamo i

: ,

=

f(t) es(kt

an 1 2

, ...

k 0

= ,

, /f(t)

= dt

ao

=

bx f(t) Sin(kt)dt k 2

....

1

0

= , ,

il

La trigonometrico

Fourier dif

di polinomio

è

n-esimo

somma

=

Snf(x) f ei

eis

, -Es

tidt)(t))dt))))

lz

= -

( f(t)Rt)

+

Riscriviamo (( +test) dt)

f(t)dt)

Snf(x) e

=

+ di

kt)

(t)

+ bsink

Snf(x) 10 are(kx) +

=

= 1)

f(t)co(kt)dt br f(t)sin(k )dt

+

an = =

gir Snf *

Snfdt

Snf

Snf

= = =

.

,

PROPRIETA + (k

Sn (arex(kx) bSin

200

f(x) +

= [

SnfIl

Il

② = al

J

IlSngl 11811

② f(t) at

= = .

di

Dire Inf

IlSnf Sug Snfc Infat

= = .

, alle belli

+ /

(200 112

= +

+ ab

= 2

SERIE 2T]

F CO

FOURIER FUNZIONE

ALLA

DI DR

ASSOCIATA : -

,

+

f busink

~ areos(kx) +

(se

PROPRIETA' integrabile)

fé

numerica

① La Cemma

b) il

serie è convergente vale

+ e

Reimann- brado

Cioè +.

-d

anto per

: e

& Suf tra polinomio

la minima distanza

realizza fe generico

un

trigonometrico vale

di grado n e

(f(xdx

/[f(x)- Sng]dx [ b)]

a

- π +

=

CONVERGENZA FOURIER

DELLA SERIE DI

Sia 2] R integrabile S

[0

f ho

D

: -

, .

IIf

① Snell

lim o ovvero

=

. ,

*

(18-Sng] b))

[a

/ f(x)dx in -

+

= -

l'UGUAGLIANZA

vale DI PARSEVAL

e (f(x) [ b]

dx = +

② Se tutte

f ha di

coefficiente Fourier

limitata i mulli

,

are ba

è e I Fourier

f coefficiente di individuano

allora quasi

o ovunque

= .

la f

univocamente

OSSERVAZIONE f

Ricordiamo Va

R-DR periodica ha

è ER

che periodo

di Tso allora si

se : ,

ja I

+ Note

( f(x)dx

(x)dx =

Nota Se prolunghiamo la f ededare

periodicità i

2]-DR

[o possiamo

per : ,

[-iT

integrando tra i]

di

Coeff Fourier ,

. 1

= f(x)

br

f(x)20kxdx sin

ak =

, Cit)

lunghezza

lo di

intervallo

qualsiasi

su un FUNZIONI PARI

OSSERVAZIONE DISPARI

E

: r simmetrico rispetto

f(x)

① Se f( x)

f PAR all'asse

è delle

-

= X

trovo valori

gli stessi

= che

Sia pen X

f(xes(dx X

b - per -

an Pari

il caseno

, Come

SPARSPARi

PARTI HANNO

PARI Lo

O I

S

de f(x)

DiSPARI

Q f)

f x) il

è (Dispari

Come