Appunti Analisi 2- parte 2

I -A

sia in

: .

.

Vi

Allora derivata

la direzionale vale

esiste

versare e

= m)

(v(

f(x)

D Vf(x) . (va va -,

=

=

= --

,

Infatti definizione differenziabilità

di

dalla si ha

:

per

. 0((n))

f(x) Vf()

f( D

h) +

+ =

- - I A

F

la tr

direzionale

derivata scelgo

per = t)

(In)

La It)

che

assicura

differenziabilità mi = =

) f(t) Vf(x)

f(x 0(x)

ti

t =

+ +

=

- . -Do

pert limite

dividendo al

passiamo per

e (

-f()

f(x) limf( = f(x.im

+t

D : t * o

GRAFICO

UN

PENDENZA

MINIMA DI

E

MASSIMA

DIREZIONI DI Y A

↓ 0

Dr =

*

& T

I

Yo X i

A

Sia I

f differenziabile Versare

IV

.

Vf(x)

Df(x) = . I /1

/EP) cost

COROLLARIO (E , = .

J A-PR Vf()

f il

Allora

differenziabile in CA vettore indica

: , .

la il di il

direzione pendenza

massima per

verso

e minima

la

vettore-Vf()

il direzione

f

grafico indica di

di ., ortogonali

Le Vf() di

direzioni

direzioni

pendenza di sono

. se Vf() Dif(x) 0)

nulla)

pendenza ovvero D

0

= =

=

.

ESEMPIO

e (2)

-

f(x sim(2y)

y) fec (x0 (0

yd

+ 0

= = ,

,

, (ex Sky

(2)

Calcoliamo (f(x y) = =

, ,

(1

& 2)

2) (1

Daf(0 (va val

d

0

f(0 =

= =

·

, ,

, ,

, ,

1 Vz Va

2

+

= . .

In (cost Cost

Di floo

sinc) sinc

se

generale 2

+

= =

, =

DIREZIONE ?

MASSIMA PENDENZA

di ↓

fot (Vz-va)

? (Ricordiamo vettore

pendenza ortogonale

Direzione che il

di è

cero a

v)

(VI (GE)

quindi la direzione

avrà con

=

,

denirate direzionali .

nulla

ESEMPIO Cy(xy) %

(0

= ,

f(x y) (xa 40) 0)

10

= = ,

, ,

0)

10

4)

(X = ,

, sinc)

Scegliamo (cost Dpf(0

direzione 0)

calediamo

e

una ,

, t

tsinu Ecos sinc +cos Using

f( cost

(t) +

g =

= =

, t'coso

? O

sin

O

Costo sin

t + +

70) ben

Con .

(al

sin28

t=o definito

il è

denominatore

perché se

Infatt sinto

TA perto

glt) definita anche

è se +0

Calcoliamo .

g'(t) g'(0)

poi

e -Ctcos"SIt cos Usini)

5)

(cos

sin

Cos Using

g'(t) = .

sin2012

It cos" O + cosic

sin's

costi

Di sindo

g(0)

0)

f(0 Esiste

se

=

= =

, sin & Sin Ja

I

Se sull'asse

sinu siamo a

o X

= , -

La Fre

f(x

funzione % o

=

,

quindi f(0 % 0

=

,

Per le

f ogni direzione f

Mas

derivate direzionali continua

in è

esistone . non

0)

10 Infatt

in sulla curva

, . X2 funzione

= La si riduce a

f(x xz) z 2 f(a,a 0

+ =

= =

, è 0)

10

continua in

Non

- ,

fe(P(A)

Se D f differenziabile A

in

-

# in

f A

è Continua

f A

in

è DERIVABIE

f ha derivate direzionali

Of

D f(x) (58). in

=

Ma =>

derivabili differenziabile

continua f

f ,

tutte direzionali

le derivate

con direzionali

f f continua

derivate

tutte le

con

CALCOLO DERIVATE

DELLE

R"-oR

f BER

: a

g

, ,

,

V(xf Big

cVf

Bg)

-D + = +

V(fg)

- gVf fVg

+

=

(f) =

>

- FUNZIONI COMPOSTE

DERIVAZIONI

AERN DR

f )

h([P)

ICR-DR g(f(

considero **

o : e

: - =

,

I TEA)

definita intorno di

che sia

supponendo in un G

⑭ g(f(

-

IR funzione

Se f(x)EI

differenziabile la

derivabile

in

f è in allora

è e g ,

h( ) 8

)

XP differenziabile in

composta i

g(f( vale

e

= e

g(f(x))

Vh( Of(x)

)

*** = e * Erm

IR-R

: Act-DIR la funzione

che

f composta

supponiamo

:

e , totI

f((t)

(t) intorno di

definitar in .

sia un

g =

t -S

... R

f(u(to)

Se in

r (to)

to

derivabile differenziabile

ef è funzione

la

è allora

in

for

composta Jer-R derivabile vale

è

g : e

: = Mi

Vf((to) . (to)

(td)

g =

ESEMPIO FUNZIONI RADIALi

XD y)

(x

X RM-DIR

[0

# )cR-PR II XII

, :

g : +

l ,

, R-R

h((P) 1)

g(( * :

= (il )

*,*: ( * Dh(xm) h(x)

= =

=

REGOLA GRADIENTE :

=

1x)) & I

C =

Ve

-...

· Vell

Val g() 1

=

=

ESEMPIO yz)

y) )

3

(x7

lag

f(x log(p 2 logp

= =

=

, ( ) (le =

*

Vf(x y) =

, g))

(8f(x -

e =

,

ORTOGONALITÀ GRADIENTE LIVELLO

DEL LINEE

ALLE DI

& R2-DR

f differenziabile

: c]

& M2 y)

f(x

y)

(x = =

= ,

,

I Supponiamo La Girella

(anna

che di

rappresentato dalla curva

sia

regolare

= (t)

E poiché punto

ogni

su

funzione

la

La f

E di è

Ya ha

uguali si

costantemente C

o ,

che la funzione

Dic = (t) f(m(t))

g(t) C costante

=

=

3 g(t) Ut

quindi ovvero

o

=

/Sono

Vf((t)) ortogonali)

* (t)

-

g'(t) 0

=

= I È

IL GRADIENTE Di

ORTOGIONALE PUNTO LINEE

IN OGNI Alle

f

Livello Di .

QUAZIONE

TRASPORTO

DEL

Concentrazione tempo teR

t) al

XER

u(X punto

nel .

, ↳ (concentrazione all'interno di

di fiume

sostanza liquido

in un

una un , .

tempo

la che

t il

rettilineo sezione pessa)

sua e

x

con ce

= 0 con

(

Du(x , (

t) 1)

= = ,

, direzione

& Du derivata di nella

direzionale u

L'equazione la

significa che concentrazione ogni

costante

t) Metta

u(X Su

è

,

(C

direzione 1)

di retta

sulla di

ovvero equazione

= , t)

ct (x

nel piano

X + q

= ,

L'unica a)

la

che cambiare costante

è

può

cosa (x-ct)

La la

che

t) quantità

dipende valore

funzione dal

solo

(x assume a

=

u ,

v(X-ct)

Quindi R-R

t)

(x V :

con

u = .

,

NOTA t

temps

la concentrazione

VIX) al

è o

: = A

·

1 -

·

- -

D

S t)

Di (x

di

GRAFICO GRAFICO

V u ,

. allora

RICORDA til la restrizione

di

P(t) è

direzione o

Se retta

è una Drof(t) Vf(It) . F (t)

ha

di f retta pari

derivate

sulla or

e = =

⑪ " = .

8 Costante

g(t)

Se 0 = g

=

ESEMPIO ad del

punto

Assegno piano

ogni una

temperatura legge

diversa secondo una

2y

x +

u(x -

y) e

=

,

Supponiamo materiale

di si

punto

(t) che

· avera un

lungo Muovendosi percepirà una

curva

muove una .

temperatura diversar .

S E

= [0 Con

b)

te che l'osservatore

velocità

u( si

che

+

= , le

sente variazioni

sulla curva

muove ?

temperatura

di la tra

La composta

temperatura

la

funzione che sulla

rappresenta è

curva

u(x(t)

g(t) y(t)

M U ovvero

e , = ,

(t(z 3

t) 2 +

+

-

-

g(t) e

= y'(t)

y(t)) (x

La Ou

velocità '(t)

(x

g(t) (t)

cercata quindi

i ·

= ,

,

MEDIO

VALOR

TEOREMA DEL EI"

,

Siamo il ha operazioni

li

segmento che congiunge

e [0 1]

t

t)x

(t) (1

t x -

+ -

= ,

AcM-PR il

AcR" f

Sia differenziabile A

in se

:

e

[ ]

[

esiste

[1] punto * tale

* che

A

**, allora

segmento ,

un

)

Vf(

f(x) f(x) )(i -

**

=

- che

quindi

segue

ne

(f(x) /

))

)Vf(

f(x)( /x **

**

= :

- -

DIMOSTRAZIONE

Sie -A

te[0 2]

f((t))

g(t) derivabile

Continua

e e

= , composte)

funzioni

teorema

I il derivabilità delle

delle

per Lagrange

applicare

posso

e f((t))

F to g(t)

2]

t tale che

ovvero * =

,

g(t)(1 d g(t)

g(1)-g(a =

= -

5f((t)) (t)

f(n f((0))

* (1)) = -

-

# ) x)

(x

Tf(

f() f(5) *

= -

.

- (1-t)x])

P(t)

NOTA t

: t

rispetto

derivando

+ a

=

(t) P

= To

- SUPERIORE

DERIVATE DI ORDINE

ACR-AR

y)

& (x le

consideriamo funzioni

:

, Ack-aR Act-DR

2x y)

(x y)

fy(x derivabili

sono

: se

:

e ,

,

,

= = c) =

=

=

= G

=

Le funzione

derivate di

di variabili

seconde 2 4.

sono

una

ESEMPIO

f(x = cos

y) ,

sing 2x

, =

= (xsing) 2 simy

=

)

= 2x cosy

+

=

= ) xsy)

= =

x

(xcosy)

= = X

) simy

-

=

SCHWARZ

TEOREMA DI

AcR"-R

Sia n]

f Sappiamo je[1

A aperto che gli indici i

con per

: ..,

-

,

,

.

fxix, di

la derivate EA

fxxxi

seconda intorno

esistono

mist in un

e

.

in Alla

continue coincidono

siano ovvero

,

esse

e :

fxixj im

fxxi

= ,

Del seconde

ha tutte derivate parziali continue

funzione le

che in

na (2

AcM" di (A)

dice

aperto CLASSE

si

un .

#DJEC1(A

(A)

8- differenziabile

f

#D e

# Vale il

è teorema

differenziabili FP Schwarz