Appunti Analisi 2 - parte 1

PUNTO

DEFINIZIONE INTORNO di

Un

DI Di

ER

Sia contiene

di

Chiamiamo insieme Aperto

INTORNO che

qualsiasi

un

ESEMPIO A { km}

/

*

** Ur(5) ER

0)

(0 *

-

: = :

= , D

A E(x : 14471]

y)[R 1(x1

- -

,

,

* È di 0

10

un Intorno ,

EcR"

Se ERM

· e

8 F di

INTERNO Contenuto

intorno E

in

ED

è un EC

è 7 *

* di

intorno contenuto

Esterno in

Ed un

* di EC

F contiene di

intorno

FRONTERA di

è punti

Di ED E o

TEOREMA

Unione famiglie

↓ di apute e

di

u arte

#intersezione famiglie chius

di chiusi e

di se

una

CARATTERIZZAZIONE CHIUSI

DEL

.

CER

Sia verifica

Cè solo

chiuso se se :

e

Se []

① C

di punti punto

successione C

di converge

una un

a

* allora C .

& SUCCESSIONI

chiuso

è i Limiti CHE

C contiene della Sua

tutti

ed

LIMITE)

Ammettono

TEOREMA (insiemi continue

aperti definiti funzioni

da

chiusi

e

IRM-DR

Se f Allora

funzione continua

: .

[ * -R 03

Es f(x)

=

: >

: Aperti

Sono

ER" f(x)20]

[ **

Ec =

: :

[ 0]

eR"

EsvEz f(x)

* +

:

=

Mentre :

(Ef)" -IR"

[ f(x)20]

* :

= Chiusi

Sono

(E4? [ ER" 0]

* f(x)

= : =

{

EzvEz)" 0]

R f(x)

* =

= =

:

DIMOSTRAZIONE A POSITIVA

FUNZIONE :

~

Es .

è aperto

Sia

8 El il

f(x) Teorema

f

poiché continua

E è

> per

o

ovvero ,

della Ur( segno f

esiste

del * ) il è

Segno

permanenza in cui

,

f(

positivo )

Ur(

Ex *

*

avero 0 avero

UrcE1 di

interno

Quindi punto

è e m

un

.,

ESEMPIO lagix

R y)

definiamo definita ?

in g(x è

Dove

= y)

, + yyn(x

G0(x 1]

G(x 13

D(f) +

0(x

y) + y

+ + +

y =

:

= ,

- toVapet

X

y = -

ESEMPIO

h(x x2

Sia yz y

y) 1 (x

+ +

-

= -

,

D(f) e 1-x2

((x * y20}

R

y) chiuso

+ y10

: x

= - -

, x

pe

= =

Intersezioni /

tra 2 Chiusi

. immo

Interno

Definizioni chiusura

frontiera e

,

EcRM

Sia

È [ ER"

interno * E3

con interno

E

di di

punto

:= { E]

R

E

DE frontera di frontiera

punto di di

:= (Contene

È internil

ErdE

chiusura E pt

di anche

:=

Ovviamente ha

si EcEzE

ESEMPIO (Insieme

[(xy)RocX yz1] t

E ne aperto

= + Chiuso

me Escu

entr

[(x 13 v910 01]

yER x

GE y

: +

= =

, ,

G(x

E k yc1]

o(x

y) : +

= , ((x R

E ENCE >2}

x =

y) :

= +

= + y

,

NOTA EudE

E EudE E

:= =

, E

E

E

· aperto solo

è =

un se se

e E

E E

chiuso

· è solo =

se

se e

Un contiene

· aperto NESSUN frontiera

di

punto

non ,

Un ContieneTutti punt frontera

chiuso i di

Insieme Limitati

De I **

EcR" FicE

FR30 R ,

tale

Limitato

dice

si che

se

E

al

ovvero se Se

Ur() dira

E chiuso Limitato si

è e

↳ COMPATTO

DI

TEOREMA WEIERSTRASS

EcR

Se Allora

LIMITATO

Chiuso R

f E f

continua ammette

-

e e : .

m **

Cioè E

.

minimo esistono

E

in

massimo con

e ,

f(x)

f(m) * E

= f(x) * E

f(x) = . m

ZERI

TEOREMA DEGLI I Parte pian

L da valore piano

negativo

,

un e

· valore

Sale positivo tra pt

cui

verso un un

,

Zero

vale proprio

I

P f(x2) o

Cef Per

CONNESSIONE ARCHI

ECR" I Archi) *,

Per j

punte

Connesso ogni E

cappio di

e di

se per che

E

di

esiste contenuto

continue ha

in

anco

un per

unva

Pe

estremi P

ESEMPIO CONNESS

mumm O

EE2 -

NON CONNESSO

TEOREMA ZERI

DEGLI

EcIM

Sia DIR

E

f continua

insieme Connesso :

una e -

f()10

Se taliche /0 cui

**, *

E ECE

f( allow esiste in

e ,

In

f continua

di

lungo

particolare OGNI

annulla curva

si arco

. , si

i cui

* esiste f

contenuto che punto

E

in annulla

in

ahmeno .

congiunge un

e

E dim E

Poiché esiste

è connesso una

R

[a

r

*/30 b]

f( continua >

curva : -

,

Y

Di che

E b Se

Tale

La ri f(i(t)

. g(t)

f

restrizione di o =

b]R di

continua

[a è una

g : ,

variabile .

f(x) g(b) f([)

(a) Teorema degli

verifica ipotesi zui

le del

g g

= = .

,

positivo negativo

per ipotesi

ipotesi per g(E)

JEc(a tale

Quindi

variabile che

di

funzioni b) o

per e

una =

,

.

f((e)) Scelgo (E) -E

quindi o

. =

= .

f(x)o f(t)

f(r(b))

f(i(a))

NOTA g(a) ipotesi ipotesi

g(b) 0 per

= =

= =

= ,

continua

è

e .

g Se f(

g(E) g(E) (E))

i

che

significa 0

o =

= =

ins ↑ (E) la

punto sulla

è i

curva curva

un , ma E

LtzE

contenuta lo

in E chiaro

quindi e .

⑫E

APPLICAZIONE di

studio funzione

segno CONTINUA

del Una

&

L'insieme 03

R

f * f(x) in

divide

qualunque

D D dominio dominio

D

>

: - : =

. il

certo di

in dei

Connessi

insiemi quali

su segno

numero ognuno

un

f

di è .

Costante

ESEMPIO R2

x2 yz

f(x y) D(f)

1 =

-

= -

, & &

R2 03

R f(x y)

(x y) = :

R2 =

,

,

R3 R1 y2

X2

f(x y2

X2

y) 1 IPERBOLE

1 ovvero

0

= = =

-

- -

> ,

O

O (2 d) 11 0

O f(2 30

+ e =

,

,

f(x y) 0

=

, 0 f(0

-IRC 0)

f(x 10

y) 1 co

e =

0

= -

, , ,

-se f(

( 0) a)

pr

Un singolo 30

2

in 2 =

ognuno - -

, ,

degli insiemi Segno di

-

funzioni 2 variabili

di .

La deve continua

funzione essere .

(con 2)

DERIVATE m =

R

f(x R Ricordiamo R

che

y) R teR

- ,

=

g :

se

: e

.

,

g'(t) g(t) lim g(t)th-gt)

= considerando come

h

= *

n ②

0

+ numero

-

Per funzioni limite rapporto

il

variabili definire

due iniziamo

di del

a

incrementale alle

rispetto variabili

singole .

Fissiamo la

le funziona

consideriamo

sole

variare

facciamo

y ovvero

yo x

e

= ,

di f(x 40

sola variabile

una X ,

IR"

Dato (Xo 4) e

,

& f(xthyo-fxy

lim derivate e

parziale

Yo

(0 =

, h

tale

Se finito

,

limite esiste rispetto

derivabile ad in

ed la funzione

è è x

(X0 40) Analogamente ragionare

posso su y

, .

& Lim yotk)

f(x decivate

f(40 40)

4d

(x0 panziale

-

= , ,

, k 40 K

-

NOTAZIONI dxfixod)

& Dxf(xod

to) Dafxo fx (xot

yd

(0 i ,

, ,

,

, il

Se limiti

f e

esistano i definire vetta

posso e a

& Noi (d) = f(xyd Df(xy gradg Xl

=

=

Prende GRADIENTE dif

il (x0

in

di yo)

nome ,

ESEMPIO x y3

① f(x y) (1 2)

Xo Yo

= =

, ,

, 2)-f(

R im f(1th

Di (72) = , h

22

f(x 8x

2)

+ x

x =

=

, Ey22

=

12 =f 10

4 =

=

,

REGOLA PRATICA costante

variabili

due

delle

immaginare come una

una

=

(x) 2xy

=

f(x )

, =

L INTESA

COSTANTE

COME

= ) 342x

=

L Costante

.

ESEMPIO

y(x

f(x y) 0

(a

(0 d)

, =

=

, ,

CALCOLO FORMALE

= NON DEFN

il è

metodo

perché utilizzato corretto

.

non

Se definizione

la

usiamo :

Sostituisco orx

f(x

forma d

di

nella

yo o

y =

= =

,

f(x)

quindi

f(x d

ovvero o e

=

,

DERIVATA GENERALE

CASO

fiR" YeRM

R Xm) ERM

* (x

>

- = , ,

,

.

.

. .

↓ limf(h-f

( i 1

....., h

=

= h DO h

- d

i limite

If al

10 equivale

1 ovvero

0 e

= ...., ,

,

, ..,

↑ i-esima

posizione f(x)

vi)

xi) =

f(x2

lim f(xi Xi h

,

x2 + =

, ...

., ...,

. ...,

. . ,

h h

PO

-

Definiamo il il

di f vettore

gradiente come

( ......

&

f(x) =

ESEMPIO

1x)2 #Xi

ERY

f(x) *

= )

= ...

I X

(x +.

= +

& 2 Xi

=

(I*e [2xi]

- 2

= =

,,...,

..., a

,

ESEMPIO Exi)

/

R" -

-PR f(x) -

2 : e e

=

=

= esponente

ma

ESEMPIO # Xn

* x *

1

( +

+

+ ..

Rm -

f R f(x) e e

=

: = /.

# Xn

x * +

+

+ ..

-

(*)

FORMALMENTE ~

= ***

se usone

posso

questa .

formula

50

se posso

non e

la definizione

applico

ESEMPIO # Xn

* 1 x *

( +

+

+

Rm

f ..

-

R f(x) e e

: =

= /.

# Xn

x * +

+

+ ..

-

(*)

FORMALMENTE ~

= ***

se usone

posso

questa .

formula

se o

= posso

non e

la definizione

applico

Nell'origine le derivate parziali esistono

non io del e

...

=

a fo ...,

ein

Si

=

Con