Appunti Analisi 1

Prerogatives

Simbologia: $\iff, \exists, \forall$

• $A = B$ (implica: $A$ e $B$ sono frasi)
• $A$ ${\subseteq}$ (la $B$ $\implies$) $A \rightarrow B$
• $\text{Se}$ $f$ è derivabile allora $f$ è continua
• Essere derivabile è sufficiente ad essere continua
• Essere continua è necessario ad essere derivabile
• $A \subseteq B$ è equivalente a $A \subseteq A$ è sufficiente a $B$

Schroeder: $\in$ insieme:

• $A \subseteq B$ ($= B^{c} A$)
• $A \cup B = (A = B)$
• $A \cap (B = A \cap B)$
• $A \cap B = \{a \in A, a \in B : a \in A, a \not\in B\}$
• $A \cap B = \{1,2,3,\}$ $\cup \{1,2,3\}$ $\cup \{3,1(1,5)\}$ = $\{1,2\}$
• $A \cap B = \{a| a \in A, a \in B \})$

Concetto di funzione

$A$ e $B$ sono insiemi.

$f: A \rightarrow B - (f$ è una funzione definita da $A$ in $B$ nel senso intuitivo per $a \in f(a)$ come una "legge")${\forall}$che associa ad ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$

• $f: A \rightarrow A = A$ è una funzione.
• Dati $A \in R, x \rightarrow A$ assegna $x^{2} \in R, x^{2} = 1$.
• $PROBLEMA:$ se $a$ e $b$ secchiamo, $x$ ha $x \in R, x^{2} = 1$
• (1) $D$ insieme su cui $A$ definito (funzione definita su tutto $IR$
• (2) Consideriamo come $A \in R = \{1,17 = 0\}$ e $(0,1)$ e dichiarato se $\{01+0\}$ è una funzione anche su $IR$
• $D_{1}$, $D_{2}, \forall a, (t)$ vorrei associare $fx \in R, x_{1} x^{2}_{2}$, (per esempio) = 9, $x$ numeri = $\in$ (3, x, x sono x = 3, x$) $x = -3$.
• Consideriamo insieme $|{}^{-3}(\text{approssimento })$
• $IN$ $0, x \in [0,1]$ considerando l'unico $x \in [0,1]: x^{2} = R.$
• A questa D un accordo fra quadrato, si denota $ES \{a = b$ definibile come segnale

$f: [0,1] \rightarrow [-0,1] - [0,1] = a[x]$

$\text{int} - \sqrt{x}$

DEF (insieme immagine, grafico)

Sia $: A \rightarrow B$ una funzione f.

• Poniamo $f(a) = b | b \in B(E \in A)$
• $A = b \in f(A),$ anche scrivibile come:
• $f(x) = \{f(a) \in E, f(A = A \subseteq B, | A \in A\} = \text{INSIEMO IMMAGINE di f(USLE)\}$
• Così come $= a/B, B, e = f(\{f(a) : etc_{A}, A \subseteq B \} | a \in A)$
• Che nell' esempio $(f: IR \rightarrow 1IR,$ si ha:
• $fA_{x} = B$ e quì succede che $f(A) \neq B$
• Non confondere INSIEME IMMAGINE
• $f(A \cap x \in f[IR] = $

• $\{0, \infty [-1, \space(-,(\underline{\text{-\phantom{noi} x}}$

DEF. iniettiva, suriettiva, biiettiva

• f: A → B è una funzione. f(x) si dice:
• 1) iniettiva se (a₁ ≠ a₂) → f(a₁) ≠ f(a₂)
• 2) suriettiva se B = {b ∈ B | ∃a ∈ A, b = f(a)}
• 3) Sia f: A → B biunivoca se f: A → B (1) e (2)

oss: se f è iniettiva se ∀ a₁,a₂ ∈ A, f(a₁) = f(a₂) → a₁ = a₂

DEF. funzione inversibile

• Sia f: A → B una funzione. Essa si dice inversibile se esiste una (g: B → A funzione tale che ∀ x ∈ A
• 1) g(f(x)) = x detta candello.
• 2) f(g(x)) = f(x) per il tal caso si trova facilmente che tale g è unica e si indica con f⁻¹ (funzione inversa di f)

oss: Una funzione è inversibile se e solo se è biunivoca.

non suriettiva

non è né iniettiva né suriettiva

Iniettiva e suriettiva

Considero la nuova funzione

T(x) = x → [ - 1;0[ -[ 0;1[ definibile f = f |

• X ∈ IR | x² = -1
• Facile ottenere f per renderla suriettiva
• Lim → f o → f ( ] = f | (IR )
• x →x²

IN: {1,1 2,3 ; 1,1 ;5}

2,1 ; {1 ; 1 ; 2 ; 3} ;

A(x,y) : a| x, y ∈ Z, -2 < 3 {0,4}

IR ; numeri reali

• IR ; nel centro totalmente ordinato.
• È ben ordinato se x, y, z ∈ I allora x₁ z < L y + z₁x = y
• Inoltre se x,y ∈ IR z > 0 deduce x < y + z < x
• Inoltre se x,y ∈ IR e α dxi z → y -> z
• In IR vale:

Sia O [ A B [ R si dicono che sono separati se

[ A {a} B (I ) Il B si dica che a < b

Ogni sotto-partizione si assume di completezza del IR assunzione che:

• Ogni ∃ sotto – parte contenuto un ELEMENTO SEPARATORE di A e B
• Ogni sotto-parte di elementi separati esiste un elemento separato.
• A = {a₁ ; a₂ } e ( B ) {12, 3}

IR -

A e B sono separati e tutti gli elementi di –(iiz) sono tutti soli gli elementi separatori

Se a ∈ A l(c-i)

Invece se ∃ x/el/y ∈ B non si dice A e B sono separati e * l’unico elemento separato

f. di ncmbro Pl(xn+1) = q

9^n+9^n+... = 1+qn+1, q^n+...1

x = 0 p pas ncmbro Pln

9^n+1 + q^n = q^n+1 + q = q^n;

+x^2 - xnx + nx + q = q ¹/9

- q^3 (n+1)

E - P(1/x) + nx

(1 - q) = 9/9

El. Disuguaglianze di Bernoulli

ftorio x, x = a(1-1);

Tr.2 (x), = ft, 2n2x = 3.

Svolgimento n2 10

1. 1° passo l'n, il simasino Pl: o ¹/_{⁰ x o} , x - e, e sei a
2. 1° n'ombre : Pl(n

(1 + x)

(x)

(1 + x) &turn; -1

(^e/_{magna; s.guadio e (n})

A > B > C

A + 3 ^o/3BxC

^2 = x &Turn; V

- 1/x + nx;

nx>0 &Turn; nx > (1+nx) + (1+nx);

nx > 0 es n &Turn; nx &Turn; 0 +

1/x + nx

Si n/sup>

{cos ¹/_o)} cane = 0

Ricordanz che i il'integerabile gemohthee coinone se istanza di a _e (k)

-1 = (3.) = l.(-l/3) x, iglesando (lx - x^o) si interpanda quindi canta &sub>

{x_o-a_-3...

IN TORNO 0 x 010 - terminé [x, &890 xi &turn;

_{limit il}

Dunque il fortedro ('Pl := Pl('n) = x, -1

1

LIMIM DI SUCCESSIONE

Cos'_l'/'nl successione di numer' ree

Ogni finizione INN—R (—)

• (*)

Spesiti in (f(1) =,

Abbearimo che sehnendo fi