Approfondimento sulla teoria dell'insieme reale e complesso

Lezione del 6/10

Simbolozza

Lettere in maiuscolo (A, B, X...) indicano gli insiemi.

Lettere in minuscolo (a, b, x...) indicano gli elementi degli insiemi.

Quantificazione universale

• ∀ - per ogni
• ∃ - esiste
• ∃! - esiste e’ uno solo

Ø - spazio ambiente (ovvero l'insieme più grande possibile)

Operazioni fra gli insiemi

1. Inclusione : ⊂ (simbolo di chiu-sezza)

A ⊂ B indica A è incluso o sottoinsieme di B, pertanto (in b&logic):∀x ∃ A → e ∃ B

∃ A ⊂ Bovvero: A è sottoinsieme di B o coincide con B

∃ A ∃ Bovvero: A è sottoinsieme di B ma no coincide con B

2) Unione di due insiemi. U = simbolo utilizzato

def. → A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

3) Intersezione di due insiemi. ∩ = simbolo utilizzato

Ipotizzando che ci fossero due strade, l'intersezione è l'incrocio.

Pertanto: A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}

Se non ci sono punti in comune si ha l'intersezione vuota ∅

Per dimostrare quanto detto, basta pensare alla diagonale di un quadrato.

Con il metodo _1×1, che misura _√2, la radice di due non appare ne'all insieme razionale. Perciò si ha: _√2 ∉ ℚ.

Sia più dimostrato che le frazioni decimali periodiche appartengono all'insieme dei numeri razionali(ℚ), mentre le frazioni decimali non periodiche fanno parte di un altro insieme, determinato insieme dai numeri irrazionali.

In simboli:

• F.D. periodiche ∈ ℚ.
• F.D. non periodiche ∉ ℚ.

Esempio:

10 ∈ ℤ è una F.D. periodica perchè sempre la parte decimale è nulla e "periodica"?

√

10,0

√₂₈ ∉ ℚ è una F.D. non periodica. In quanto reale 4,74162395...

Se dovessimo definire chi tra i due insiemi razionale e irrazionale è più popoloso, il dedurremmo che è popoloso di più quello irrazionale.

Note: la moltiplicazione moltiplica gruppi di "qualcosa".

Se aggiungessimo un terzo piano al prodotto cartesiano si dovrebbe lo spazio cartesiano:

Creazione dello spazio cartesiano step by step:

1. Proiettare il punto P sul piano o due assi.
2. Ignorare gli elementi di X e Y. Analog diverso spazio detto primo. In effetti si ha l’analizzato o blumicku.
3. Ignorare elemento Z1.

Forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi

1 mod z

|z| = modulo di z

1. |z| è la distanza dal punto all'origine pertanto |z| >= 0

   Esso si calcola con il teorema di Pitagora, ovvero:

   |z| = sqrt(x² + y²) = > |z| = sqrt(x² + y²)

2. ∈ [0, 2], 2 è escluso perchè è compreso nello zero.

Per arrivare alla formula trigonometrica, facciamo riferimento:

1. sen = y / |z|  cos = x / |z|
2. z = x + jy

Sostituendo i valori nella (2), si ha:

z = |z| cos + j |z| sen

= |z| [cos + j sen ]

Forma trigonometrica