Appunti Analisi 1, parte 7

8 gen del 1° ordine Equazioni lineari

8 gen del 1° ordineEquazioni Lineari(1)del I' talxy betipo termine-:sono = anteForz f Iblx)alx) continuedove sono sue (d) (bit)alt) )' t✗✗ + ✗✗ ==

Risoluzioni

Risoluzioni ( )bhorisolve l'① associatasi omogenea(2) G)Y' separabilivariabiliè diffa y equna= a- ..stazionariasoluzione è 0una ye =allora può# si scrivere0efse :- RI=/§ Ahloglyl ce} c+ah) di = ,-- - Ialx)AG)avendo primitiva diindicato suunacon .Ahlyl è e-= . AG)è e-±y- == .inÈ èa ? {" }\☒Keche può oysi scrivere come = Ae-☒ K racchiudake lescelgo scrittura tutte soluzioniquestaa tra se☐ e y compresain ;=quella stazionariarisolta associataEQ Omogenea.

Metodo variazione arbitraria costante

② ( )di della kmetodo variazione arbitrariacostantey-nke-th-y-klxe-ahumpongochc.lablxG)(1) )(3) la 'risolva a+ yy =(3)laderiva : A (D)faa e-K' ) Kcx)( e-' +×y =(1)sostituisco in :e EE-Y-j.ee?T--+#kxy--a--bCDKYx)e-AlEb(x?eaG)K' )bcx) =Ldx=/ " (4)aklx) blx) ☒è c- e@ + , (1)laallora dellasoluzione saràgenerale :(4)/ (3)sostituisco la nella{ }a (5)fblx a)e- di ☒è c-y e@ += ,ET-5-EETH.JE.sn ( )globale delunicità Pcsenza e .maa tRena grandeinIsull'continueI ☒siano c- CÈG))bcxalx) eee I ☒c- e esiae ✗ yooallora !7 al problema di Cauchyseguentesoluzionetalxy )bcx{ I' = J ☒su e)glio ego= l'differenza analogoa di delleta succedeva teorema S☐ V.quanto EDOpera ,.)Itol' intervallo definitemassimale sonosuesattamente cuièquestoin caso ) blx)acxcontinuee e)G){ acx tgx• ttg' sinzx=3yy =blx) 38h2 ✗=)ylo -1 0=0✗ IKEG) { kit ÈEdonna =/ quindi✗ + no: ✗× ××, -•non Èpossiamoassumerlo così?collocatodov' è xo oxo = I( )I ¥ EÈ ioquestoin eassumecaso si = , =)=/ SEItgxdxAlex)allora dxtgx)acx =se = ,alx) /log cosxl= - (5)laapplicando risolutivaFormula "logkosxl" }È fsanzxe ☒dx cee+ Sinky srnxcosx2= ,) IFIlcosxl ¥il vale esattamentoa tra sucosisu☐ ;,1715 LUTI V17☐ { }/ #68M¥ dicosiy te =.= .{ }Gtcsxtccosiy = E)faiGcosixtccosx Isuy =-= , ( )ilil puntopassaggio 0,1perimpongoottenendo :1=-6%07+0 1+6C--=la al èsoluzione P.C :.-668×+7 IGsx suif =es ildatoè PC . Fxitxy )acx" }Y'{ +2 = - I ☒= =--G) zxb. =gli -2- 0=1✗ed ildatoè PC standardformala. riportataperché va>ÈÈ)-1 acxY togliy'{ =/+ 2✗-= -- !IEI 3 >✗× •✗ ✗2G) >° ob. /log I =/)ylo ✗ ✗ >→=5 -5y -= )1=12 >,f =3Xo7=(-0/2) del 2°coefficienti Ordine

Equazioni lineari del 2° ordine

Equazioni lineari costantiaformanellasi presentano :(1) )nglx" ' ☒by bedove+ay ea+y = ,gherigli↳ termine forzante)nglt) b.'" tax + ✗✗ = (1)alla )dell' nglx Oomogeneacaso associata : =(2) ' by" 0+ ay +y = (2)

Proprietà dell'omogenea

Proprietà dell' Omogeneaco, . I ☒definite entrambedi soluzioni2conosceresuppongo su eche )424)denota 44con e . G)G) ☒funzioneallora del tipo Gif ci E.czczy+yogni : = ,(2)laSoddisfa 'es " O -2azyy ==- Ob. =èµ = "nellaSostituisco 'lf EDO y zy ozèx =; -y = È # olei "te= 41 laSoddisfa EDODIM (2) " by;la4 soddisfa Y Otayse +: =, , ,(2) " by;la42 soddisfa 42 otayse +: ; (2)devo che lasoddisfaCzyzGyntYprovare :=I' Giàculi +=" creiif Già= + (2)nellasostituisco cellaCile +uy =ottengoe : ) blahalcali capi' "Cilli )+ Calla + ++= sig+• × •• × ✗( / È)YI g)lei' lei q cz 0=0ci + + o= ca+ ++ + G.= -t i(3) (4) (2)lasoddisfacioè cella Czyzif += (2)lineare dellala Soluzionicombinazione di 2a ta☐ : (2)è ellasoluzione edancora di principio di sovrapposizioneq a o fe o ko e j m a . r e n a . M Y (2)la soluzione generale dell' omogenea- tipodelè : capaci) ☒( C-4Y Cella CzX += , linearmenteG) funzioniessendo indipendenti( )µ ye×, , →l'cioè unanon dell' altramultiplaproblemail linearitrovare 41 42sarà dipe in .èÈ " le- ☒del tiposoluzione¥ cerco una y: =. ,(2)della" ' Obyif ay+ + = "" " (a)Kete nellasostituitiI' che"se y= :e ; y=; ="Ie " { }" Italate be b 0++ + ==Ital b- O+ - (2)detta dellaùaquesta eèequazioneil pannolinoe È al(1) b✗ += + caratteristicopannolinoLi (2)della'"p­ ✗A✗ (1) 1,12 reali2 Soluzioni0OIoa e>: = distin