Parte 7, Analisi matematica I

Proprietà delle successioni

Si dice che una successione a_n è limitata superiormente se a_n ≤ M per qualunque n.

Si dice che una successione a_n è limitata inferiormente se a_n ≥ L per qualunque n.

Si dice che una successione a_n è limitata se esiste un numero reale K tale che –K ≤ a_n ≤ K per qualunque n.

In particolare, una successione si dice positiva se è limitata inferiormente da 0, ovvero a_n ≥ 0 per qualunque n; mentre si dice negativa quando la successione è limitata superiormente da 0, ovvero a_n ≤ 0 per qualunque n.

Monotonia e convergenza delle successioni

Si dice che una successione a_n è monotòna se verifica una delle seguenti condizioni:

• Strettamente crescente: a_n+1 > a_n per qualunque n.
• Crescente: a_n+1 ≥ a_n per qualunque n.
• Strettamente decrescente: a_n+1 < a_n per qualunque n.
• Decrescente: a_n+1 ≤ a_n per qualunque n.

Una successione si dice oscillante se a_n+1 * a_n < 0 per qualunque n.

Teorema delle successioni monotòne

Se una successione a_n è monotòna è anche convergente, cioè ammette un limite, e se oltre ad essere monotòna è anche limitata allora il limite è finito.

N.B. Non è vero il contrario perché esistono successioni che non sono monotòne né limitate, ma sono comunque convergenti ad un limite finito.

Esempi

1. {1, 1/2, 1/3, ...} a_n = 1/n è strettamente monotòna decrescente, inoltre a_n è limitata, ovvero: –1 ≤ a_n ≤ 1. La successione è convergente ed ha un limite finito infatti lim_n→+∞ a_n = 0.

2. {2, 3/2, 4/3, 5/4, ...} a_n = n/(n+1) è strettamente monotòna decrescente e limitata –2 ≤ a_n ≤ 2, infatti lim_n→+∞ a_n = 1.

Controesempi

1. {–1, 1/2, –1/3, 1/4, ...} a_n = (–1)ⁿ/n è oscillante e dunque non è né monotòna né limitata, ma è comunque convergente ad un limite finito, infatti: lim_n→+∞ a_n = 0.

2. {(–1)ⁿ, –1, 1, –1, ...} a_n = (–1)ⁿ è oscillante non monotòna che però non è convergente, infatti non ammette limite.

Limite notevole

Modello di crescita di una popolazione

Il modello matematico si costruisce supponendo che l’aumento della popolazione dipenda solo dal numero iniziale di individui e dall’intervallo di tempo trascorso.

Se al tempo finale t₂ il numero degli individui è p₂; se al tempo iniziale t₁ il numero degli individui è p₁ allora avremo:

p₂ – p₁ = K * p₁ * (t₂ – t₁) se K = 1 (costante di proporzionalità) otteniamo

p₂ – p₁ = p₁ * (t₂ – t₁) che è uguale a

p₂ = p₁ + p₁ * (t₂ – t₁)

Dunque il modello matematico è:

p₂ = p₁ * [1 + (t₂ – t₁)]

Graficamente sulla retta reale ho: si divide l’intervallo di tempo [0,1] in n parti uguali misuranti ciascuna 1/n

Avremo quindi che:

• p_1/n = p₀ * (1 + 1/n)
• p_2/n = p₀ * (1 + 1/n)² = [p₀ * (1 + 1/n)] * (1 + 1/n)
• p_3/n = p₀ * (1 + 1/n)³ = [p₀ * (1 + 1/n)²] * (1 + 1/n)

Generalizzando alla fine del teorema si ha:

p_n/n = p₀ * (1 + 1/n)ⁿ

Più piccolo è l’intervallo di tempo, cioè più grande è n, il modello è tanto più rappresentativo della realtà.

Dunque per n → +∞ si ha:

lim_n→+∞ (1 + 1/n)ⁿ = e

Numero di Nepero

La successione facilmente si verifica che è strettamente monotòna crescente e inoltre si può verificare che è anche limitata.

Per il Teorema delle successioni monotòne, la successione ha un limite ed essendo anche limitata questo limite è finito ed è rappresentato dal Numero di Nepero = e ≈ 2,7182....

In definitiva:

• N = 1, 10, 50, 100, 1000, 100000
• Valori di a_n = (1 + 1/n)ⁿ: 2, 2,5937..., 2,6915..., 2,7048..., 2,7169..., 2,7182...

Inoltre se lim_n→+∞ (1 + 1/n)ⁿ = e, allora lim_n→+∞ a_n = +∞.

Limiti delle funzioni

Sia y = f(x) una funzione non definita in un punto x_o.

Esempio: y = sin(x)/x non è definita nel punto x_o, cioè l'origine.

È comunque interessante conoscere il comportamento della funzione nell’intorno del punto x_o.

Graficamente ho: Un’idea è quella di considerare una successione x_n e la successione che si ottiene per y_n = f(x_n).

Se la successione y_n tende a un limite l (y_n → l) quando la successione x_n tende a x_o (x_n → x_o) e se l non cambia cambiando la successione (x_n → x_o) allora si dice che l è il limite della funzione f(x) per (x → x_o).

Si scrive: lim_x→xo f(x) = l

Dunque la scrittura precedente equivale a dire che:

∀x → x_o, x ≠ x_o, y_n → l.

Naturalmente la definizione di limite l di una funzione f(x) per x→x_o può essere data direttamente in termini di disuguaglianze. In questo, al posto del simbolo γ (minimo indice) si adopera il simbolo δ (delta) che indica l’ampiezza di un intorno di x_o.

Dunque la frase lim_x→xo f(x) = l equivale a dire, in termini di disuguaglianze che:

∀ε>0, ∃δ>0 : ∀x, 0<|x-x_o|<δ ⇒ |f(x) - l|<ε

In conclusione:

• Definizione: ∀x → x_o, x ≠ x_o, y_n → l.
• Teorema: ∀ε>0, ∃δ>0 : ∀x, 0<|x-x_o|<δ ⇒ |f(x) - l|<ε.

Da ricordare bene per l’interrogazione.

Interpretazione del grafico del Teorema: |f(x) - l|<ε equivale a dire che |f(x) - l|<ε per x compreso nell’intorno di x_o. Cambiando ε cambia δ, ovvero il delta δ si ricava in seguito alla scelta di ε perché δ dipende da ε.

Si ragiona in modo analogo per i limiti ±∞ per x → x_o e i limiti l ± ∞ per x → ±∞.