Parte 7, Analisi matematica I

Si debba trovare la radice dell’equazione x +x -1 = 0; il primo membro dell’equazione può essere

3

visto come una funzione y = f(x) = x +x -1; la quale è continua come tutti i polinomi.

• F(0) = -1 < 0;

• F(1) = 1 > 0.

La funzione ha uno zero nell’intervallo [0, 1]; cioè la funzione ha almeno una radice nell’intervallo

[0, 1].

Graficamente ho: 1

Consideriamo il punto medio (Metodo di bisezione) 2

1 1 1

( ) −3

f 0 e la f 1

( )

= + −1= < =1>0

abbiamo: 2 8 2 8

[ ]

1 , 1

Quindi lo zero di f(x) è compreso tra ; se consideriamo il punto medio di

2

[ ] [ ]

1 3 3 27 3 16 1 3

( )

, 1 abbiamo che : f ,

= = + −1= <1, quindi la radice cadrà in .

2 4 4 64 4 64 2 4

Il procedimento prosegue dimezzando sempre l’intervallo di approssimazione fino a trovare lo zero

della funzione, che equivale alla radice cercata dell’equazione.

Teorema di Weistrass

3. Sia y = f(x) continua nell’intervallo chiuso

e limitato [a, b], in tale intervallo esistono

due punti x e x tali che:

1 2

mf x ≤ f x ≤ f x

( )

( ) ( ) =M

1 2

Graficamente ho: Controesempio

Non ha ne un minimo ne un

massimo.

Teorema di Darbuox

4. Se la funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora la funzione

assume almeno una volta tutti i valori compresi tra quello minimo e quello massimo, ovvero

[m, M].

Come conseguenza di questo teorema si ha un criterio per capire se una funzione è

invertibile, ovvero:

se f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] ed è strettamente monotòna

(crescente) in [a, b] allora la funzione è invertibile.

Per ipotesi ho:

f a f x f b

( )< ( )< ( ) =M

Graficamente ho: per il Teorema di Darboux

[ ]

y m , M , x , b]

∀ ∈ ∃ ∈[a y = f(x), ma

essendo f(x) strettamente crescente x è

unico.

Se ce ne fossero due x e x deve essere x

1 2 1

< x dove f(x ) < f(x )

2 1 2

Tasso medio della crescita di un corpo

Supponiamo che il peso p sia in funzione del tempo, ovvero p = p(t).

Graficamente ho: Nell’intervallo di tempo (t+ h) –t = h l’aumento del

peso è: p(t +h) –p(t).

Volendo l’aumento del peso nell’unità di tempo si

p t+ h p(t

( )− )

deve considerare il quoziente ; che

h

rappresenta la velocità media di crescita di un corpo.

Volendo il tasso istantaneo (la velocità istantanea) della crescita di p nell’istante t sarà sufficiente

passare al limite per h → 0 del quoziente precedente, ovvero:

p t+h p(t)

( )−

lim h

h→ 0

Esempio 2

p = p(t) = t allora:

2 2

Se p = p(t) = t p(t +h) = (t +h) quindi

2 2

p t

( )

+h −t

lim ¿ 2 2 2

p t+h p(t h∗(2t

( )− t

) +h)

+2th +h −t

h → 0

lim = ¿=lim =lim =2t

h h h h

h→ 0 h →0 h →0

Definizione rigorosa di derivata

Sia y = f(x) una funzione continua nel punto x , cioè una funzione definita in un intorno di x . Si

o o

f x t)

( )

+h −f (

lim

dice che la funzione è derivabile nel punto x se esiste finito il seguente limite: h

o h→ 0

; cioè ilo limite del Rapporto incrementale.

Infatti si ha un rapporto tra due incrementi: al Numeratore c’è l’incremento della variabile

dipendente y = f(x) mentre al Denominatore c’è l’incremento della variabile indipendente x. Tale

rapporto è anche conosciuto come il Quoziente di Newton.

Graficamente ho:

Se il limite del rapporto incrementale esiste finito, il suo valore si chiama Derivata 1 della funzione

e si nota come:

• I

f (x); df/dx; Df(x);

• I

y (x); dy/dx; Dy(x).

Una funzione si dice derivabile nell’intervallo aperto (a, b) se è derivabile in ogni punto

dell’intervallo.

Graficamente ho: Negli estremi a e b dell’intervallo non esiste la derivata della

funzione dato che non si può considerare un intorno di a (al limite

solo un intorno destro) ne uno di b ( al limite solo un intorno

sinistro).

In questo caso si parla di: f x x)

( )−f

+h ( '

+¿

h →0 =f (x )

d

h

• Derivata destra: ;

lim ¿

¿

f x x)

( )−f

+h ( '

−¿

h →0 x .

( )

=f s

h

• Derivata sinistra: lim ¿

¿

Sempre se i due limiti precedenti esistono finiti. (vedi esempi sul quaderno)

Derivate successive

Se una funzione y = f(x) è derivabile in un punto x e se la sua derivata prima f’(x) è a sua volta

derivabile nel punto x, la derivata di f’(x) si chiama derivata seconda di f(x) e si nota con:

• II 2 2

f (x); d f/dx ; D f(x);

2

• II 2 2

y (x); d y/dx ; D y(x).

2

In generale si ha in modo analogo la derivate n-esima che si nota con:

• (n) (n) (n)

f (x); d f/dx ; D f(x);

(n)

• (n) (n) (n)

y (x); d y/dx ; D y(x).

(n)

Relazione tra continuità e derivabilità

La condizione di derivabilità è più forte della condizione di continuità perché esistono funzioni che

sono continue in un punto ma non sono derivabili (funzione valore assoluto che è continua ma non

derivabile nell’origine).

Dimostriamo che una funzione derivabile è anche continua

Ricordando la definizione di: f x

( )

+h −f (x )

lim

• Derivabilità = f(x) è derivabile in un punto x se esiste finito il del

h

h→ 0

rapporto incrementale; lim f x

( )=f (x )

0

• Continuità = f(x) è continua in un punto x se .

x → x

o o

Per collegarsi al rapporto incrementale riscriviamo in modo opportuno la definizione di continuità,

ovvero: { x=x +h

0

poniamo x - x = h, se ne deduce che quindi la continuità del punto x si può

x=x per h→ 0

¿

o o

0

riscrivere così:

lim f x h lim f x+ h x)

( ) ( )=f

+ =f (x ) (

0 0 ; e per un punto generico x si scrive: .

h→ 0 h→ 0

Supponiamo ora che la f(x) sia derivabile. Dimostriamo che la funzione è continua calcolando il

limite precedente, ovvero: f x x

( )−f

+h ( )

lim f x+ h f x+ h x f x f x

( )=lim ( )−f ( ) ( ) ( )=f

+ =lim ∗h+ (x )

h

h→ 0 h→ 0 h→ 0 esiste ed è tende a

finito zero

(vedi esercizi sul quaderno) Operazioni sulle derivate

Siano f e g due funzioni derivabili in uno stesso punto x allora avremo:

I I I

f ± g ± g

( ) =f

• I I I

f

(f ∗g) =f ∗g+ ∗g

• I I I

f f

( ) ∗g−f ∗g con g x ≠ 0

( )

=

• 2

g g

Le operazioni si verificano ricordando la definizione di derivata come limite finito del rapporto

incrementale.

Verifica delle operazioni sulle derivate

Verifica della somma

1) [ ]

f x+ h ± g x+ h f x ± g x

( ) ( )− ( ) ( )

f ± g x+ h f ± g x

( )∗( )−( )∗( )

± g) I

(f =lim =lim

h h

h→ 0 h →0

[ ]

f x x ± g x x

( )−f ( ) ( )−g(

+h +h ) I I

lim ± g

¿ =f

h

h→ 0 Verifica del quoziente

2) x x f x x x

( )−(f∗g)( ( )∗g ( ) ( )∗g(x

(f ∗g) +h ) +h +h −f )

=lim =¿

h h

h→ 0 I

(f ∗g) =lim ¿

h→ 0

f x+ h x+ h f x x x x+ h x

( )∗g ( ) ( )∗g ( ) ( )∗g ( )−f ( )∗g

+ +h −f (x) =¿

h

lim

¿ ¿

h→ 0

[ ]

g x f x+ h x f x g x+h x

( )∗ ( )−f ( ) ( )∗[ ( )−g ( )]

+h + I I

f f∗g

=¿ ∗g+

h lim ¿

h→ 0

lim g x x , essendo g x derivabile e dunque continua

( )=g ( ) ( )

+h

• Osservazione: h→ 0

Verifica della divisione

3) f x x x x+h)

f x f ( )∗g ( )−f ( )∗g(

+h

( +h) (x)

−

g( x g x) g x x

( )∗g(

+h) ( +h )

lim

=¿

h h

h →0

f f

x x

( )− ( )

+h

g g lim

=¿ ¿

h h →0

I

f

( ) =lim ¿

g h →0

f x x x x

( )∗g ( )−f ( )∗g(

+h +h)

lim

¿ =¿

g x+ h x

( )∗g( )∗h

h→ 0 I I

f x x x x f x x

( )∗g ( )−f ( )∗g ( ) ( )∗g(x)−f ( )∗g(x

+h + +h) f ∗g−f∗g

lim

¿ = 2

g x x

( )∗g( g

+h )∗h

h→ 0 Dg x g x+ h x ,essendo g x derivabile e dunque continua

( ) ( )=g ( ) ( )

+h =lim

Osservazione: h→ 0

Teorema di derivazione di una funzione composta

• Ricordiamo l’operazione di composizione della funzione, ovvero:

quindi (f o g)(x) = f(g(x) )

2 2

esempio: sen x ≠ (sen x)

La composizione non è commutativa.

Il teorema di derivazione ci dice che:

se la funzione g è derivabile in x e se la funzione f è derivabile in g(x) allora anche la

funzione composta f o g è derivabile nel punto x. Risultato:

I I

D(f o g) = Df(g(x) ) = f *g(x) *g (x)

Infatti: g x+ h

( )−g(x ) ( ) ( )

lim g x g x

( ) ( )

∗f +h −f

( ) ( )

f g x+ h g x g x+ h

( ) ( ) ( )−g(x

−f )

h→ 0

( )

D f o g f gx

( )=D ( ) =lim = =¿

h h

h→ 0

g x x)

( )

+h −g ( ( ) ( )

lim g x g x

( ) ( )

∗f +h −f

h

h →0 I I

( )

g x

( )

=f ∗g (x)

g x+ h x

( )−g ( )

Teorema di derivazione delle funzioni inverse

• Sia y = f(x) una funzione continua e strettamente monotòna in un intervallo, allora la

(-1)

funzione ammette l’inversa, cioè x = f (y).

I

Sia f derivabile in un punto x con f (x) ≠ 0, allora la funzione inversa è derivabile nel punto

y risultando: 1 1

−1

Df y

( )= =

I I −1

( )

f x) f f y

( )

(

Graficamente ho: 1

f x x)

h ( )

+h −f (

=¿=lim k

f x x

( )−f

+h ( ) k →0

−1 −1

f y+ k y

( )−f ( )

−1<