Analisi matematica I - seconda parte

5)

lim_x→0 ln(1+x)² = 1

ES

lim_x→0 ln(1+3x) / x = lim_x→0 ln(1+3x) / 3x · 3 = 3 · lim_x→0 ln(1+3x) / 3x = 3 · 1 = 3

ES

lim_x→0 ln(1+2x) / x² = ln(1+2x) / x² = 2x / 3x = 2x · 4 / 9x² · 4 = 2 · x² / 9 · x² = 2/9

6)

lim_x→0 sin 3x / x² =1/4

ES

lim_x→0 ln y / (x²(x² / x²) = 3 · lim_y→0 e^3y-1 _/ 3y = 3

ES

lim_x→0 e^x2 / ln(1^{ex2) = x2 / x2 · ln(1+2x) / 2x = 1 - x = 1/2}

7)

lim_x→0 [(1+x)^x-1] / x = ∀ є ℝ

ES

• lim_x→0 ln 1+1/2x / 2x_. lim_x→0 ln 1+2x-1 / (1+2x) = 0

3^√ lim_x→0 ln ln(1+x·e^-5x) = 5s

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se tende a oo?

lim_n→oo ln√_√ln¹/√_√n₊ l√/n^x/n^√/n_n→oo

lim_n→oo √ln(1+x)

= ln_n=oo x₊1_±x^·

lim_x→0 x₊x_{+√+∞ =0}

lim_x→oo 2 / x_3⁺√

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= lim_x→0 3_+√(√x₊)polinomio

(es.) _limx→0 ^x/_sinx =

y=x⁴

y=x¹⁺⁴

_limy→0 ^y/_sin(y^1/4)

ho cambiato la variabile

otteniamo

_limy→0 ^y/_sin(y)

_limy→0 ¹/_sin(y)/y

= -1

_limx→0 ^sin2x/_sin3x x²

_limx→0 ^sin3x/_3x x^1/3

_limx→0 ^sin3x/_3x = ²/₃

L: _limx→0 ^1-6cosx/_x² = ¹/₂

[ ^1-6cos/₀ ]

d

= 2sin² x

₌

₌

2 (sin x/2)

x ≈ x - 0

significato geometrico

_{1 - cos}x

_x²

^cosx

per il limite notevole 3

per il limite del periplegrafo

_{6cosx ≈ x²/2}

cosx x

_{y=x; y=z}

_limx→0 ^cos(x-1)

_limy→0 ^{cosy - 1}/_y²

= - ¹/₂

es.

_limx→0 ^{cos2 - 1}/_sin²x

₌ - ¹/₂

Tutte le funzioni elementari sono continue in ogni punto c del loro dominio

¹/_x² : ℝ \ {0} → ℝ

o ∈ Dom

se f(x) = { ^{x2 x ≠ 0 5 x = 0 }}

per vedere se è continua:

lim_x→0 f(x) = lim_x→0 ¹/_x² = [ ¹/_0⁺ ] = +∞ + 5 ≠ f(0)

PROPRIETÀ

Siano f(x) e g(x) continue in c

Allora sono continue in c anche:

• f(x) + g(x)
• f(x) - g(x)
• f(x) · g(x)
• f(x)/g(x) → ≠ 0

TEOREMA

Siano f : x → y, g : y → ℝ composta

c ∈ X ∩ X e f sia continua in c

lim_x→c f(x) = f(c) = K ∈ Ŷ

e sia g continua in K : lim_y→K f(y) = f(K)

Allora anche la funzione composta è continua

F = f ⚬ g è continua in c

e lim_x→c F(x) = F(c) = g(f(c))

f(c) = λ

la f è olisottona

quindi non vale

il teorema

Dim.

Sia λ ∈ [m, M]

1 caso:

λ = m o λ = M

c: x₁, c: x₂

2 caso:

λ ≠ m e λ ≠ M, λ ∈ [m, M]

Definisco φ_λ(x)= f(x) - λ la considererò soltanto su [x₁, x₂].

è somma/differenza di f(x) e x => φ_λ(x) ∈ [x₁,x₂]

continua continua

φ_λ(x₂) - f(x₂) = λ = f(x₁) - λ > 0

φ_λ(x₁) - f(x₁) = λ = m - λ < 0

=> per il teorema degli zeri ∃ c ∈ (x₁, x₂) : φ_c(c) = 0

f(x) - λ = 0 => f(c) = λ

Applicazione:

Data la f(x): 1x1 in [-1,5]

a=1 6≥5,

è continua perchè è una funzione elementare.

M = 5

m = 0 M = 5

m ≤ λ ≤ M => λ = ¹/₂

in quale punto la funzione ci dà ¹/₂?

f(c) = λ,

se λ = ¹/₂ si trovano due punti c₁ = ^-1/₂ e c₂ = ¹/₂

PARTICOLARE

z = (c - f(a)) · c · f'₁(x)

3)

[f(x) g(x)] = f(x)·g(x) - [f(x) g]^'g(x)²

APPLICAZIONE

(tg x)^' = ^{sin x}/_{cos² x}

cos(x) · (cos(x))-(sin(x)) · (-sin(x)) = ^{cos2 x + sin2 x}/_{cos² x} = ¹/_{cos² x}

es.

5x³ - ⁷/_x = h.x - sin x + ^6sx/_e^x

| 5x² - ( ⁷/ _x³ x )⁵ - ( h x - sin x ) + ( ^6sx/_e^x )

5x² - 7 · ³/_x x^-1 ( λ · sin x ) ((ln(x)·cosx)) + [^-sin(x)·ex/_e^2x · 6sx·e^x ] =

= | ^{sin x}/_x ((ln(x)·cosx)) + [^{-sin(x) - cosx}]

15x² + ¹⁴/_3x⁵ x - ln(x)·cos(x) - ^{sin(x)+cos(x)}/_e^x =

4)

COMPOSTE

(gof)^' = g'^'f(x) · f(x)

l'argomento di g(x) = f'(x)

es.

(sin(e^x))^' = f'(x) = f^'(e^x) = e^x

g'(f(x)) =

sin^'(e^x) = g'(f(x))

cos(e^x) · e^x

es.

(sin(e³))^' = sin'(ex · (ex)) =

cos(e³) · e^x

es.

(sin(x³))^' = sin'(x³) [px]³) =

cos(x³) · 3x²

es.

(e^x2+x)^' =

(e^x2+x · (x^2') · (x)^' =

e^x2+x [(2x +1)

^1+x2 =

es.

(√(1+x²))^' = [(1+x²)] = [(1+x²)^1/2] · (1+x²) =

=¹/₂ (1+x²)^-1/2 · (2x) = ^x/_√1+x²

es.

(ta ⋅ (sin(1+x³))^' = t^'(sin(1+x³)) ⋅ sin'(1+x³) ⋅(1+x³)^'

DIM.

D) f ∈ C [a,b] ⇒ per il teorema di Weierstrass

x₁, x₂ ∈ [a,b) = {a} ∪ {b} ∪ (a,b)

f(x₁) = M = max f

f(x₂) = m = min f

1^o CASO tutti e due x₁, x₂ ∈ {a} ∪ {b}

• f(a) = f(b)
• M - m = M e m = m
• ∀ c ∈ (a,b)
• f(x) = cost. = f'(a) = 0

2^o CASO: almeno uno x₁, x₂ ∈ (a,b)

• se x₁ ∈ (a,b) ⇒ f(x) = M max rel.
• f' (x) ⇒ f'(x) = 0 ⇒ c = x₁T. FERMAI

APPLICAZIONE:

Data f(x) = -x³ - 3x² + 4x : [0,2] –> Roltre R

1. Trovare il valore di il modo che sia applicabile il T. ROLLE alla f(x) in [0,1]
• IPOTESI f è polinomio ⇒ f continua ∀x ∈ R e in [0,a]
• f è derivabile in R e in (0,1)
• f(a) = f(b) ⇒ f(0) = f(1)

f(x) = x³ - 3x² + 2

per applicare il T. ROLLE si devono trovare tutti i punti c ∈ (0,1) per i quali f'(c) = 0

f'(x) = 3x² - 6x + 2

=> 3x² - 6x + 2 = 0

x_1/2 = 6 ± 2√36= 3 ± √33

1 + √33 NA

1 - √33