CALCOLO DIFFERENZIALE
la retta y = mx + q presente per i punti (x₀, f(x₀)) (x₁, f(x₁))Determinare m e qf(x₁) = mx₁ + qf(x₀) = mx₀ + qsottraendo f(x₁) - f(x₀) = mx₁ - mx₀m = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) rapporto incrementale
q = f(x) - (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
Def.
f : (a, b) → ℝ, x₀ ∈ (a, b), diciamo che f è derivabile se esiste limiteil limite del rapporto incrementale per x → x₀
∃ limx → x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) < +∞f'(x₀) = limx → x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)
f' derivabile in (a, b) = intende che ∀ f'(x) ∀ x∈(a, b)Passando h → x - x₀ limx → x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = limh → 0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
f': (a, b) → ℝ derivabile x ∈ (a, b) → f'(x) ∈ ℝ
f'': (a, b) → ℝx → f'(x)
f''(x) = limh → 0 (f'(x + h) - f'(x)) / h
CALCOLO DIFFERENZIALE
la retta y = mx + q passante per i punti (x₀, f(x₀)) (x₁, f(x₁))Determinare m e qf(x) = mx + qf(x₀) = mx₀ + qsottraendo f(x₁) - f(x₀) = mx₁ - mx₀m = f(x₁) - f(x₀) / x₁ - x₀ rapporto incrementale
q = f(x₀) - f(x) - f(x₀) / x - x₀ x₀
Def. f: (a,b) → ℝ x₀ ∈ (a, b), diciamo che f' è derivabile se esiste limiteil limite del rapporto incrementale per x → x₀∃ limx→x₀ f(x) - f(x₀) / x - x₀ < → +∞f'(x₀) = limx→x₀ f(x) - f(x₀) / x - x₀
f derivabile in (a, b) è intende che∃ f'(x) ∀ x ∈ (a, b)
Secondo la x → x₀ limx→x₀ f(x) - f(x₀) / x - x₀ = limh→0 f(x₀ + h) - f(x₀) / h
f: (a, b) → ℝ derivabilex ∈ (a,b) → f'(x) ∈ ℝ
f': (a, b) → ℝx → f'(x)
f''(x) = limh→0 f'(x + h) - f'(x) / h
Legame tra continuità e derivabilità
- ∃x→x0 lim f(x) = f(x0)
- ∄x→x0 lim {f(x)-f(x0)}/{x-x0} ←∞
Teorema: se f è derivabile in un punto x allora f è continua
dim. limx→x0 f(x) = f(x0) → limx→x0 {f(x)-f(x0)} = 0
→ limx→x0 {f(x)-f(x0)}{x-x0} = 0 → f è continua
ex.f(x) = |x|continua limx→x0 f(x) = limx→x0 |x| = f(x0)
derivata limh→0 {f(x+h)-f(x)}h = limh→0 {h|h|}h = {h-1}h0+
lim dx ≠ lim sx ⇒ f non derivabile in 0
ex.f(x) = ∛x continua in ℝ
limx→x0 {f(x)-f(x0)}{x-x0} = limx→x0 {f(x)-f(0)}{x-0} = limx→x0 ∛xx = limx→x0 {1}x2 = ±∞ ⇒ f non derivabile in x0
Studiamo rapporto incrementale
m = {f(x)-f(x0)}{x-0} = {1}{x2} = ±∞
In generale se f(x)0 + ∞ (oppure −∞) il punto (x0, f(x0)) si chiama punto a tangente verticale
Def. (derivata destra e sinistra)
f: (a, b) → ℝ
x0 lim x→x0+ f(x)-f(x0) / x-x0 = f'dx(x0) derivata dx
x0 lim x→x0- f(x)-f(x0) / x-x0 = f'sx(x0) derivata sx
f è derivabile in x0 se e solo se f'sx(x0) = f'dx(x0) e f'dx(x0) = f(x0) e f'(x0)= f'sx(x0) = f'dx(x0)
ex.
f(x) = √|x| x ∈ ℝ
f'(x0) = limh→0+ f(0+h2)-f(0) / h = limh→0+ √|h| / |h|/2 = limh→0+ 1 / √|h| = +∞
f'(x0) = limh→0+ (√|h| / h = limh→0→0 1/h / h = +∞
f(x) = limh→0 f(x0) = limh→0 1/h / h1/2 = limh→0 (1/h / h)
→ f non derivabile in 0
Se f'sx(x0) = ±∞ e f'dx(x0) = ∞ o viceversa, allora il punto (x0, f(0)) si dice cuspide
Se f è continua in x0 e f'dx(x0) ≠ f'(x0) = x0, con el √|h| una delle due d
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