Analisi matematica I - parte 2

Calcolo Differenziale

La retta y = mx + q passante per i punti (x₀, f(x₀)) (x, f(x))

Determinare m e q

• f(x) = mx + q
• f(x₀) = mx₀ + q

sottraendo f(x) - f(x₀) = mx - mx₀

m = (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) rapporto incrementale

q = (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) x₀

Def.

f: (a, b) → R, x₀ ∈ (a, b), diciamo che f è derivabile se esiste limite del rapporto incrementale per x → x₀.

∃ lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) < +∞

f'^(x₀) = lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

f derivabile in (a, b) ⇔ esiste che ∀ (x ∈ (a, b))

f: (a, b) → R derivabile ⟶ x ∈ (a, b) ⟶ f'^(x) ∈ R

f'^{'(a, b) → R}

x ⟶ f'^'(x)

f"^(x) = lim_h→0 (f'^(x+h) - f'^(x))/h

Legame tra continuità e derivabilità

⟶ ∃ lim_x→x0 f(x)=f(x₀)

⟶ ¬∃ lim_x→x0 f(x)-f(x₀)  <+∞

Teorema: se f è derivabile in un punto x₀ allora f è continua

dim.

lim_x→x0 f(x)=f(x₀) ⟹ lim_x→x0 (f(x)-f(x₀))=0

⟹ ∫ lim (f(x) - f(x₀)/ (x-x₀))

⟹ ∧ f continua

ex.

f(x)=|x|

continua lim_x→0 f(x)=0 = f(0)

derivata lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/h) ⟹ non derivabile in 0

ex.

f(x)=³√x continua in ℜ

lim_x→x0 f(x)-f(x₀)/(x-x₀) = ∞ ⟹ f non derivabile in x₀

Studiamo rapporto incrementale

m=f(x)-f(x)/ x-x₀ = 1/√x² ⟹ +∞

In generale se f(x)→+∞ (−∞) il punto (x₀, f(x₀)) si chiama punto a tangente verticale

Funzioni trigonometriche inverse e loro derivate

1) f(x) = arcsin x: \[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}\] → \[-1, 1\] D\[arcsin y\] = 1\[dy\arcsin x\] = 1\[√(1-x^2)\] = 1\[√(1-y^2)\]

2) f(x) = arccos x: \[0, π\] → \[-1, 1\] D\[arccos y\] = \[-1\]\[d(arccos x)\] = -\[1\] \[√(1-x^2)\] = 1\[√(1-y^2)\]

3) f(x) = arctan x: \[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}\] → ℝ D\[arctan y\] = 1\[d(arctan x)\] = 1\[1 + x^2\] = 1\[1 + y^2\]

Teorema di Fermat

f: (a, b) → ℝ x∈(a, b) f derivabile in x₀ x estremo relativo

⇒ f'(x₀) = 0

dim. supponiamo x₀ massimo relativo cioè ∃ δ > 0 t.c. f(x) ≤ f(x₀) ∀ x∈(x₀-δ, x₀+δ)

⇒ f(x) - f(x₀) ≤ 0

\[f(x) - f(x₀)\] / \[x - x₀\] → \[→0\] x₀ - δ < x < x₀

\[ 0 ⇒ x₀ minimo localef^(n)(x₀) < 0 ⇒ x₀ massimo locale

dim.f'(x) = ... = f^(n-1)(x)_x₀=0

f(x) = f(x₀) + f'(n)(x₀)/n (x-x₀)ⁿ + o((x-x₀)ⁿ)

f(x) - f(x₀) = f'(n)(x₀)/n! (x-x₀)ⁿ + o((x-x₀)ⁿ)

g(x) = (x-x₀)ⁿ h(x) con lim lim_x→x₀ h(x) ≠ 0   ⇒ g(x) = (x-x₀)ⁿ o(1)

f(x) - f(x₀) = f'(n)(x₀)/n! (x-x₀)ⁿ + o(1)(x-x₀)ⁿ = (x-x₀)ⁿ [f'(n)(x₀)/n! + o(1)]

• Se n pari: (x-x₀)ⁿ positivoo(1) = 0 per x→x₀ allora il segno dipende da f(n)(x₀)
• Se f^(n)(x₀) > 0 ⇒ f(x) - f(x₀) > 0 ⇒ x₀ minimo
• Se f^(n)(x₀) < 0 ⇒ f(x) - f(x₀) < 0 ⇒ x₀ massimo
• Se n dispari: (x-x₀)ⁿ cambia segno⇒ f(x) - f(x₀) cambia segno ⇒ x₀ nè massimo nè minimo