vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
R
che
Supponiamo E
semplicità punto
solo
contenga in
un
per
P
di consecutivi
due della
punti
siamo
più part zione
e e
xk xk
1
P tali che I E Xke Xk
Istat them XD
La Craig U
U
U
b U U
4 U Xx Xm
no ama
e
P
alla
relativo partizione
L E E
Lz
Ca b U
U
U U
U U
4 XK
U Xk in
ama
g 1
R
alla
relativo partizione
È la
male
male
P
a e a
ma
e ma
to a
g
s mm xm Xm a
Poniamo e
mi fa
inf xe ka
E
fa
MI E
ing a milk
Ci
male mnlxn
mi xm.nl
e
R t
Xx
Xo
x
s ma a a
Le integrali termini
P
R
somme pochi
differiscono
s
s per
e la
mi
e
P
R mi e
xk
s s ma a
xk
a a
Osserviamo
mi II
fa
inf ke
E E
fa
mi e
ing a
Cena
fa
Cena
fa e
ing
e
ing ma xk
ma xk EK
iI
EK a
iI En
K e
xe 1
MI
E E Ma
MK Me
A contiene
I è e a
a e
mi s
t M Z Mk
me mi Ma
fi
AIR mi
e
P E
xk
s ma k
k
xk
a a
CI male
mi MI
D xk e
ma s
s
ME
D E
E
mi MK xk me xk
Ix milk
MT e
Xx Xk
ma xk
e 1
MACK Kk
E
E MK
K
ma Xx e
1
MAI MKI
MKXK MKXKTMKXK.se
XK
ma 1 AH ACP
AIR P O
a SIR
SIP AIR E
E
stesso che
allo la
Si nel
modo
procede più generale
caso
R P
di
partizione punto rispetto
un Analogamente
contenga a
più
SIR S
dimostra che a
E
si AIP Sla HP a partizioni
E
Per dimostrare che SIR Mlb
AIR
b E E a
E
a
m
basta la
nella partizione
prendere
prima disuguaglianza
banale Ca
P b
la la
Quindi inferiori
integrali somma
somma e
due separati
integrali insiemi
superiori sono
Indichiamo descritto dalle
l'insieme
A numerico somme
con P
delle
integrali P partizioni
al variare
a
inferiori
dell'intervallo delle
l'insieme
B
b corrispondenti
a e con
somme superiori
PD SIP
B
A a
A b
separati Deb
Kael
B cioè
sono a
e
7 elemento di tale che
almeno e
separazione
un A
Hae Abed
b
a e elemento
In di
unico
sarà separazione
vi
non un
generale
tra B
A e di definito
integrale ab
Definizione a se
tra
elemento B allora
A
di dice
è
se separazione si
unico e
c l'elemento
Ca Riemann
b
che secondo
è integrabile
fa in e
e
indica
si con figli dx Ca
chiama di b
f
definito
si integrale
e in
b
a e Calp
A
di
dei supa
e maggiorenti
minimo
a e e
minoranti SIP
b dei di B B
massimo
e a e e ing
P
P partizione f
a
s
e sup SIP P S
partizione f
e ing è
la integrabile 518
Se f f
a
e Riemann Ta
la
SI secondo in b
è
se f integrabile
funzione
a Riemann
Criterio di
Dalle ottiene
del che
dell'inf
proprietà si
e sup Riemann
Ta
limitata b secondo
è ivi
in se
una integrabile
funzione I
solo S
Ca AIP
te P P E
b
partizione
se o e
e Ca
Riemann
D secondo
è integrabile b
DIMOSTRAZIONE f in
se
58
allora f
a teso I
In base di
alla Pea
inf partizioni
definizione e sup
ACP Sia
Sig
Ca b
E f E
E
a
Posto Pua
R che
deduce
si SIA SII
SIRI
ALPI SIRI
Alf E
E E
E E
da essendo 518
f
a
cui SIR ACR SCI sig
E E
E ACP
SIP
che essendo
Viceversa vale alf
P
se E
1
S SIP otteniamo
e
f
e SIP AIP
Atf
ESILI E
O E
Dato il S
che la
da
118 relazione
E precedente
f dipende
numero non
HE 118
nel
valere S la
solo 0 cioè
cui f
in
o caso quando
può Riemann Ca
secondo b
in
funzione è integrabile la
Geometricamente P
è
la negativa somma
funzione non a
se contenuto
l'area di pluri
rappresenta rettangoli
di
un rettangolo unione
la
S R
b
nell'insieme fix
E o ye
x y
SIP l'area
la
mentre pluri
di
rappresenta rettangolo
un
somma
5
contenente
PROPRIETÀ DEFINITI
DEGLI INTEGRALI
all'intervallo
Additività rispetto
dell'integrale dove
intervallo
Se di
tre è
la
punti fix
b un
sono
e
a funzione
Sa'falde
allora
integrabile flash
falde
Linearità dell'integrale Ta
Se è
b
integrabili un numero
in
f e
se
funzioni e
sono
g Ca risulta
reale anche integrabibili b
fig sono in
f e
e
e
Si Sigla
gleba de
fix falde falde
pie
glade e
CONTINUITÀ TEOREMA
UNIFORME DI CANTOR
continua
Continuità filo
gli
in
I dalian
to
allora I
te
ER
I destro
koel
Sia continua in
fix e
o so
I
risulta
Ix est
I fly E
s fix c
se xe e da E
continuità
di
In anche
8 dipende
definizione
nella
generale ma
da to 2 R
I
Ad fix
sia xe
esempio per 1 Helm
Is 2
SCE 2
JS KE
che E 8
O S
supponiamo Ih
h 8
di
Toth prendere
posto pur that
E
Hoth to D
che
succederebbe D E
_è aah e
12 th ER
Ho
04 E
C contrasto
1h7 entra
Ciò
theo too
ma in
ah
lemay la relazione precedente
con continua
di funzione
Definizione uniformemente R
nell'intervallo I di
continua
1 AR uniformemente
è
f I S le
Kx EI
E
S S
VE L'KIKE
D fix
O
se O SIE
f
continuità
nella di
definizione y
Esempio R
tutto
continua
E uniformemente
è
fix su invece
non intervallo
R lo b
essendo anche
è chiuso
continua un
in
in a
il
sussiste
limitato quanto
in
e seguente
Teorema Cantare
di nell'intervallo b
limitato
Sia continua chiuso
f a
e
allora continua b
uniformemente in
è a
f
Vediamo classe di continue
uniformemente
funzioni
una Ier
nell'intervallo
Sia Lipsehitziana
fix funzione
una LI I
Hx
tale IL
cioè 8441
che 0 E
E
fix LI
fa
fix I
continua tesi
tale anche
è
una uniformemente in
funzione Ifk
Is
HE Ix
Vx 8K
Th E E
Se
S posto
o D
La E
Las
fix
fix
Hp x x a E
E solo da
S 8
D quindi
48 E dipende
S
continuità
trovato la
avete S E
di
definizione
continua
solo continua
anche
non uniformemente
ma
continua è anche lipschitriana
funzione
Ogni
No sussiste
Facciamo vedere che questa implicazione non
Si dimostra la seguente
Proposizione
derivabile I
Sia I costante
lipschitriana
fa fix in
in è con
L HEI
EL
solo f
se x
se
e all'intervallo
L HEI
Se
DIMOSTRAZIONE If Lagrange
applicando
x xD
estremi I
di Exo ey
LI
f'le
L'Ix
fix
e E
x x
la lipschitziana
è
dunque funzione
e
VICEVERSA Th EL
lipsch
Hp f
D
f x LI
fix
Ifla
Ix S E
D Ito
In I
alla di
base limite her
e
per e
definizione I
flxllELlx
flxth.lk
lflxl h
flxth x
LIh Iflxthl
flx 1h1
dividiamo
L per
1h1
Passando al ottiene
limite 184
h L
o
D si
per telo
Tx
Di abbiamo è
che fa una
to
per
conseguenza continua dato che
funzione uniformemente TI
le ti e le
le_ti
E ha che Se
posto E
se e e
si per
derivata
la limitata E è lipschtriana
è
in non
o non continue
delle
Integrabilità funzioni Riemann
secondo
continua D
b
in integrabile
8 f
a
Se SIP
7 AIP E
P
è integrabile criterio di
una funzione Riemann
DIMOSTRAZIONE
Ta Cantor
b il teorema
cont di la uniformemente
f
f in è
per
continua le
I
teso ft
Kx fa
s E
s D
P
P partizione b
a
to
a
xp
xo a tk
I
Considera che
partizione modo cd 1
una in m
xke
xp
continuità
applicare l'uniforme
e posso
la _È
EL Male
SIP Ma
P e e e
s s
posti KK
fa E MK
inf XE
fix
s.TK
MK sup R
K L
fa Me IK
XE e
min X
XK
me E
Max
1 XK K
L
XI
I E
Ma
I già f
ma
e continuità
l'uniforme
applicare
posso
IE E clan l S
K
E continuità
flat f un'g
fa per
Tale relazione Weierstrass
il di
teorema
è perché
verificata per
il quindi il
sono applicare
minimi
massimi
inf e
e
sup posso
e assunti
Cantor dalla
di
Teorema valori
essendo funzione
È
le
la SIP Male Male
E
p e e
s s
EI la LEEK
fa E
Mr
ma r
e a e s
bla
K L
Effe IA b
K SI
s m
f m
m a
A
bla DELLA
TEOREMI MEDIA
I DELLA
I TEOREMA MEDIA Riemann b
in
Hp
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