Analisi matematica I

ANALISI MATEMATICA

Periodo didattico: dal 12-09-22 al 09-06-23Docente: Pera Maria PatriziaCFU: 12

INSIEMI

L'insieme è un concetto primitivo. È un aggregato di elementi. L'insieme si descrive attraverso gli elementi, si può descrivere un insieme elencando gli elementi.

A = {a, b, c} L'insieme A è fatto da 3 elementi.

A volte non si possono elencare gli elementi dell'insieme perché sono un numero infinito. Il modo migliore è descrivere l'insieme con una proprietà (es. insieme dei numeri pari).

B ∈ A → B appartiene ad A

∀A → A non appartiene ad A

Intersezione e unione sono le operazioni fondamentali

Gli insiemi sono contenuti in un ambiente/universo.

Intersezione: A ∩ B → insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B

A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}

Unione: A ∪ B = {x ∈ A o x ∈ B} (anche in entrambi)

Con insieme vuoto si intende un insieme privo di elementi

A ∩ B = ∅ insieme vuoto → insiemi disgiunti

Proprietà di intersezione e unione: sono le stesse delle operazioni

Commutativa → A ∩ B = B ∩ A

Sottoinsieme: una parte dell'insieme

B = {a, b} sottoinsieme A se ogni elemento di B appartiene ad A

B ⊂ A contenuto in A → B è propriamente contenuto in A

B è un sottoinsieme proprio: ci sono degli elementi di A che non sono in B

Si scrive anche B ⊆ A è un sottoinsieme ma non coincide con A

Se E = {a, b, c} è comunque un sottoinsieme → B ⊂ A

Un insieme può essere strettamente contenuto (proprio) in un altro o coincidere

Ogni insieme è contenuto in se stesso (proprietà riflessiva)

(Una numer, è come dire che 2 ≥ 2)

In Q abbiamo tutte le operazioni binarie.

I numeri razionali si possono scrivere come decimali.

• 25 = 5 / 10

I numeri razionali sono limitati o illimitati periodici,

che possono essere puri (con periodo dopo la virgola)

o con anperiodo. I numeri illimitati non periodici sono

gli irrazionali.

Nei razionali si introduce la divisione.

Tutte le proprietà delle operazioni derivano da quelle elencate prima.

a+0=0 va a -> a+a=0 = a+1a=0 = a(1+0) = a(1) = a

Quindi 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma, quindi a+0=0.

I numeri razionali si possono mettere in fila secondo un ordinamento ≤ con le

seguenti proprietà:

1. Riflessività: a≤a ∈ Q
2. Antisimmetrica: a≤b e b≤a => a=b
3. Transitiva: a≤b, b≤c => a≤c

Presi 2 numeri a e b, questi sono sempre confrontabili: o a≤b o b≤a (principio del

terzo escluso / dicotomia). a≤b se a≤b e a≠b.

Definizione: a≥b se b≤a

Compatibilità dell'ordinamento con le operazioni:

• a≤b => a+c≤ b+c +c
• a≤b e c≥0 => ac≤bc

Numeri irrazionali (I):

x^2-2 non ha soluzioni in Q

Dimostrazione per assurdo : x^2=2 ha soluzioni in Q

P / Q ∈ Q => (p^2) / (q^2)=2

Posso supporre che P / Q e sia ridotto ai minimi termini

• p^2 = 2q^2 cioè p^2 e pan e quindi anche p e' par.
• (Dim. per assurdo : p = 2n + quindi dispon. Facendo il quadrato viene
• sempre dispari.

p = 2n. Sostituendo, 4n^2 = 2q^2 = 2n^2 = q^2 quindi q^2 e' par.

A = {x: x - 1 - ₁/_n, n ∈ ℕ} sup A = 1

1 - \(\frac{1}{n}\) ≤ 1 → vera

2) ∀ε>0 ∃_{n ∈ ℕ} . 1 - ε < 1 - ₁/_{n ε} 1 + ε < 1 → n₂ ≥ 1/_ε

Le stesse proprietà si possono applicare ad inf (ma opposte):

• 1) x ≥ e ∀x ∈ A (x è un minorante di A)
• 2) ∀ε>0 ∃x ∈ A tale che ρ(x,ε) ≤ ε

Esercizio: A = {x; x = (_-1, 1 - ₁/_n², n ∈ ℕ)} sup a = 1 inf a = -1

(tra sup, inf e limiti non ci sono collegamenti)

FUNZIONI

X, Y insiemi (sottoinsiemi dei reali o in un universo U) Def.: Una funzione (o applicazione) di X in Y è una legge che ad ogni x ∈ X associa un unico y ∈ Y

f:(X) → Y

Dominio (sottoinsieme di X) Codominio → immagine di f (inf f(X)): {y ∈ Y: ∃ x ∈ X per cui f(x) = y} In genere, codominio ≠ da f’immagine (parte aggiunta dall'applicazione)

X = ℝ Y = ℝ → Funzione reale di variabile reale

B ⊆ Y f^-1(B), X ∈ X: f(x) ∈ B} Insieme immagine inversa / retroimmagine / controimmagine

(questa parte non serve a niente perché non trovo niente tornando indietro perché tornando indietro perdo tutta la parte che mi componeva immagine)

f: X → Y è iniettiva se X₁ ≠ Y₂ ⟷ f(X₁) ≠ f(X₂) (manda punti diversi in punti diversi)

oppure se f(x₁) = f(x₂) ⇔ x₁ = x₂

(non è detto che raggiunga tutto y)

SINUSOIDE e COSINUSOIDE: Funzioni PERIODICHE

Periodo T > 0 se f(x + T) = f(x) ∀ x ∈ ℝ

senx Periodo 2π

cosx Periodo 2π

(NO GRADI!!) l'angolo si misura in radianti

SINUSOIDE

FUNZIONE DISPARI

COSINUSOIDE

FUNZIONE PARI

TANGENTOIDE

Periodo π

tanx = senx / cosx

Non si può parlare di funzioni inverse di funzioni periodiche perchè non sono iniettive.

Dentro un periodo ci sono degli intervalli in cui la funzione è strettamente crescente (quindi invertibile).

La restrizione di senx all'intervallo \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\]\) è strettamente crescente.

L'inversa della restrizione è arcsen ed è definita nell'intervallo \([-1,1]\).

arcsen: D: [-1,1] C: ℝ

"Immagine e il dominio della restrizione: \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)

"Inversa di una funzione è definita nell'immagine della funzione f (in questo caso \([-1,1]\)."

PRINCIPIO DI BOLZANO - WEIERSTRASS: ogni insieme limitato e infinito di R ammette almeno un punto di accumulazione

insieme finito: cioè come si contano gli elementi di un insieme = cardinalità degli insiemi un numero finito di elementi

gli insiemi infiniti: es. {intervalo} o un numero infinito di elementi

gli insiemi elementi di N sono diversi dagli infiniti elementi di (a,b]

tra a e b ci sarà un numero infinito di elementi (a,b]

N non è limitato; a,b sono stazionari

Sia C \ R → R e xo di acc per X (se in ogni intorno rotato del punto cadono punti di X). Diremo che lim X→xo = L se se ∀ε>0 ∃δ>0 tale che se X∈X e 0<|x-xo|<δ e si ha |f(x)-l|<ε

si scrive

• lim X→xo f(x) = L oppure
• f(x)→ L

✧✧✧

non si dice nulla di cosa succede nei punto xo (intorno (rotato) xo punto di accumulazione → può non appartenere ad X

funzioni continue ex. [f(xo)

um [cos(x)=0] X→0

y = cos x

um sen x = 1 X→0

{-π/2}

+π/2

cosx

y

1

-1

2

[|cosx|]= 0 se 0 <|x|< π 2

1 se x= 0

um [(x²+x],2)] X→1

definita in R [1+2]=1+1=2

∀ε>0 ∃δ>0 tale che se 0<|x -1|<δ se si ha [x²+x-x-2|<εl’unile non e' il valore della funzione nel punto

Proviamo che |senx| ≤ |x| ∀ x ∈ ℝ

senx e x sono funzioni dispari, ma con il valore assoluto diventano pari ⟶ |senx| = |x| vale anche tra 0 e π/2

Se |x| ≥ π/2 si ha |senx| ≤ 1 ≤ π/2 ≤ |x|

Per questa disuguaglianza e per il teorema del confronto si ha

0 ≤ |senx| ≤ |x| |senx| = 0 ⟶ lim senx = 0 x⟶0 x⟶0

lim f(x) = 0 ⟺ lim f(x) = 0 x⟶d x⟶d

Es f(x) = sgn x per x⟶0

Proviamo che lim cos x = 1 x⟶0

0 ≤ 1 – cos x ≤ x²/2 ↓ 0 |senx| ≤ |x|

• x²/2 ⟶ 0
• lim 1 – cos x = 0 x⟶0

lim senx/x = 1 x⟶0

Sia 0 ≤ x ≤ π/2 senx ≤ x ≤ tanx senx senx senx