Analisi matematica I

Name: Analisi matematica I
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Author: irmalacrimini

Revisionato il 11/07/2026

di irmalacrimini

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Appunti dettagliati del corso di Analisi matematica I tenuto dai docenti Maria Patrizia Pera e Giuliano Lazzaroni del corso di Ingegneria Gestionale all'Università di Firenze nell'anno …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pera Maria Patrizia

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2022-2023

81 pagine

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Appunti esame

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Analisi matematica

Periodo didattico: dal 12-09-22 al 09-06-23

Docente: Pera Maria Patrizia

CFU: 12

Insiemi

L'insieme è un concetto primitivo. È un aggregato di elementi. L'insieme si descrive attraverso gli elementi, si può descrivere un insieme elencando gli elementi: A = { a, b, c }. L'insieme A è fatto da 3 elementi. A volte non si possono elencare gli elementi dell'insieme perché sono un numero infinito. Il modo migliore è descrivere l'insieme con una proprietà (es. insieme dei numeri pari).

a ∈ A → ∈ simbolo di appartenenza

d ∉ A → d non appartiene ad A

Intersezione e unione

INTERSEZIONE e UNIONE sono le operazioni fondamentali. Gli insiemi sono contenuti in un AMBIENTE / UNIVERSO.

A ∩ B = insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B

A ∩ B = { x ∈ A e x ∈ B }

A ∪ B = { x ∈ A o x ∈ B } (anche in entrambi)

Con insieme vuoto si intende un insieme privo di elementi. A ∩ B = ∅ insieme vuoto = insiemi disgiunti

Proprietà di intersezione e unione: sono le stesse delle operazioni commutativa → A ∩ B = B ∩ A

Sottoinsieme

Una parte dell'insieme. B = { a, b } è sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A. B ⊂ A

B contenuto in A → B ∈ propriamente contenuto in A

B ∈ un sottoinsieme proprio: A sono degli elementi di A che non sono in B.

Si scrive anche B ⊆ A: è un sottoinsieme ma non coincide con A. Se B = { a, b, c } è comunque un sottoinsieme → B ⊆ A.

Un insieme può essere strettamente contenuto (proprio) in un altro o coincidere. Ogni insieme è contenuto in se stesso (proprietà riflessiva). (una numer. è come dire che 2 ≥ 2)

Complementare

Abbiamo B⊆A (potrebbe essere anche B⊂A). Il complementare di B in A è l'insieme {x∈A : x∉B}, cioè gli elementi di A che non sono in B. _{B^C_A}: il complementare rispetto ad A se B⊆A → ∅

Formule di De Morgan

Come si comporta il complementare rispetto a unione ed intersezione? A, B sottoinsiemi di X

(A∪B)^C_X = A^C_X ∩ B^C_X

Il complementare dell'unione è l'intersezione dei complementari

(A∩B)^C_X = A^C_X∪B^C_X

L'intersezione è l'unione dei complementari

Differenza tra due insiemi

A, B contenuti in X

A - B = si toglie da A l’intersezione con B

A ∖ B = (A∩B)^C_A = {x∈A e x∉A∩B}

A - B si usa per insiemi di numeri

Quantificatori

∀ : per ogni
∃ : esiste
∋ : tale che

Dato un numero reale positivo, esiste un numero naturale che lo supera (ASSONA DI ARCHIMEDE) ∀x ∈ ℝ, x>0, ∃n ∈ ℕ : n>x

Connettivi logici

=> : implicazione A => B A implica B
a>10 => a>7
a>7 /<=> a>10

Le implicazioni sono alla base dei teoremi. A => B teorema vero

(I. tesi) (t. tesi) Dimostrazione per assurdo: metodo per veder che A => B ∼B => ∼A(non) (non)

∨ : unione “o”
∧ : intersezione “e”
a≥b => 3a ≥ 3b ma anche 3a ≥ 3b => a≥b quindi a≥b ⟺ 3a ≥ 3b (se e solo se)

Ipotesi => tesi (condizione necessaria all’ipotesi) (condizione sufficiente alla tesi)

Negazione di un'affermazione: tutti gli studenti hanno i capelli neri ⟶ ogni (∀) studente ha i capelli neri Negazione: esiste (∃) uno studente che non ha i capelli neri

∀ studente dell'aula ha i capelli neri ed è iscritto ad ingegneria

∃ almeno uno studente O non ha i capelli neri O non è iscritto ad ingegneria (UNIONE DEI COMPLEMENTARI)

∀x>0 ∃y>0 / x+y<1 scrivere la negazione! ⇒ ∀y>0 / ∃x>0 => x+4≥1

Prodotto cartesiano di due insiemi

Presi 2 insiemi A e B, si indica prodotto cartesiano AxB l'insieme delle coppie ordinate (a,b); a ∈ A, b ∈ B (conta l'ordine). Ha i vari prodotti cartesiani si può fare anche A x A (A²) o Aⁿ. Si possono prendere i numeri reali come A, quindi R² (RxR). _x^y(. , x 4) coppia ordinata (x,4) (2,3) ≠ (3,2) numeri reau R le uniche coppie in cui non importa l'ordine sono quelle della bi-sterice.

Numeri

Numeri naturali: numeri interi positivi (N), si può partire da 0 o 1. Numeri interi negativi: lo 0 qui è essenziale (per sottrazione).

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