Analisi matematica I

Appunti di Matematica – Funzioni e Limiti

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

✅ Cos'è una funzione

Una funzione reale di variabile reale è una regola che associa a ogni numero reale x

(appartenente al dominio) uno e un solo valore reale y (il codominio). Si scrive:

f: A → B​

x f(x)

↦

Dove:

●​ A è il dominio: l’insieme dei valori per cui la funzione è definita.​

●​ B è il codominio: l’insieme dei possibili valori di uscita (y).​

Funzioni elementari

Ecco alcuni esempi fondamentali:

●​ f(x) = x → identità​

●​ f(x) = x² → quadratica​

●​ f(x) = √x → radice quadrata (definita per x ≥ 0)​

●​ f(x) = 1/x → funzione razionale (non definita in x = 0)​

●​ f(x) = e^x → esponenziale​

●​ f(x) = ln(x) → logaritmica (definita solo per x > 0)​

Funzioni composte

La funzione composta è una funzione ottenuta combinando due funzioni. Se f e g sono

funzioni, allora:

(f g)(x) = f(g(x))

∘

Esempio:​

Se f(x) = x² e g(x) = x + 1, allora (f g)(x) = f(g(x)) = (x + 1)²

∘

Attenzione: bisogna verificare che il valore g(x) appartenga al dominio di f!

Funzioni inverse

Una funzione f è invertibile se esiste un’altra funzione f⁻¹ tale che:

f(f⁻¹(x)) = x e f⁻¹(f(x)) = x

Condizione necessaria: f deve essere iniettiva (cioè non assume mai lo stesso valore per

due valori diversi di x).

Esempio:​

f(x) = 2x + 1 → f⁻¹(x) = (x - 1)/2

Funzioni monotone

Una funzione è monotona se cresce o decresce in modo costante:

●​ Crescente: se x₁ < x₂ implica f(x₁) ≤ f(x₂)​

●​ Strettamente crescente: se x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂)​

●​ Decrescente: se x₁ < x₂ implica f(x₁) ≥ f(x₂)​

Le funzioni strettamente monotone sono sempre invertibili.

LIMITI DI FUNZIONI

✅ Definizione intuitiva di limite

Dire che:

il limite di f(x) per x → a è L

significa che, avvicinandosi a x = a, i valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L.

Scrittura:​

lim x→a f(x) = L

Limiti finiti

Quando x si avvicina a un certo valore a, se f(x) si avvicina a un numero reale, si parla di

limite finito.

Esempio:​

lim x→2 (x² + 1) = 5

Limiti infiniti

Se x si avvicina a un valore a, e f(x) cresce o decresce senza limite, diciamo che il limite è

infinito.

Esempio:​

lim x→0⁺ 1/x = +∞

(da destra, la funzione tende all’infinito)

Limiti all'infinito

Studiano il comportamento della funzione quando x tende a +∞ o -∞.

Esempio:​

lim x→+∞ (1/x) = 0

Significa che f(x) si avvicina a 0 per x molto grandi.

⭐ Limiti notevoli

Ci sono alcuni limiti fondamentali da ricordare:

1.​ lim x→0 (sin x) / x = 1​

2.​ lim x→+∞ (1 + 1/x)^x = e​

3.​ lim x→0 (1 + x)^(1/x) = e​

4.​ lim x→0 (1 - cos x) / x² = 1/2​

Questi limiti sono molto usati nei calcoli con le derivate e nello studio delle funzioni.