Analisi matematica 2 (seconda parte)

K SU

:

# VU

Sia [a b] regolare

Sia U

conservativo s -Pr curva

campo una

an : a

,

.

tratti #Cugo

Allora Vuole

di

il lavoro

(F U(ba)

U(bb)

d) = - b] -R

Siccome [a U(Oa)

U(Ob)

O(b)

chiuse O(a)

vole

J 0

-

curve

per : =

-

=

,

la

quindi di mulla

circuitazione è

conservativo

la campo

Teorema SONO EQUIVALENTI

:

Per tratti

1) supporto

02

U regolari

di

ogni coppia con

curve sono a

,

hanno finale

to anziole

che vole

stessi

contenuto r

in e

p .

D

SFdx (

- da

=

, 02

Per

2) tratti

chiusa supporto

regolare

semplice O

ogni curva a con

, ,

vole

Contento a

in :

pFdx 0

=

conservativo

3) a

su

De

Osservazione lenna modo

fornisce

allora il

è conservativo un

: potenziale

colcolare U

il

per

U(x Fd6

z)

y =

, , -

Di zo)

(Xo (X z)

da

che

qualunque to in

parte omiva Y

Yo

curua e

un p ,

,

. , ,

Definizione M" il

Un Uqtr

i rispetto

operto od per

punto

STELLATO

è de

u

segumento interamente contento

pe in r

* to)

(stellato

Osservazione ad

stellato ogni

rispetto

è p

comesso suo

un

: .

Teorema :

Se allora

stellato

inotazionale conservativo

è

operto

è a

su

:

Definizione -R -E

inotazionale

è O

de

:

Calcolo Integrale

Richiamo (integrale Riemon

di

:

[a b] -DR

f positiva Allora

continua

: . :

, ,

Pf)(dx Remon

lin Canchy

di

Da somme

X = M >N

Ov -

A . T k

sottointervalli lunghezza

di

n M

baf(te e

=

on b]

[a

tr di

to sottointervallo

scelto nel K-esimo

caso

: p a ,

.

Per definizione (ma

f

funzione limitata necessariamente

una non

continua) INTEGRABILE

è De :

7 finito

lin on

· &

M D

-

limite dei

dipende tk

dalla scelta

il punti

non

·

Teorema Se fè integrabile

allora

continua è

: ,

Definizione INTEGRALE RETTANGOLO

DOPPIO SU UN

: [c

b]

[a d]

Sia R H f

f = limitata

x -D

: , , , L'integrale

Z dovrà roppresentore

·

gofi volue tra

il

e il

compreso

rettangolo il grafico

ABCDe

funzione

della

1 Y

X ↳ [c

b] d]

Ja

Suddividendo uguale lugheza

sottointervalli di

in

e ,

,

(ba , YA

d

Questo suddivisione

genera una I

b] [c

[a d]

di T

in sottorettangoli

2

x 6

- 2

,

, ,

9 k7

[2 L 1

, ..., C

= M

, K 1 M

= ·

....., b x

a

·

I PakiPitibadia e

se

rettangolo I2 K

,

↓

f(p2 k)

,

D

&

↳ (b

(I2k)

l'area

F2 c)

(t) a)(d

[2

di

K (t)

Ke :

· = -

-

=

, .

,

, M2

Definiamo Canchy Rieman

la di

somma -

& f(P2 K)

II2 Kl

Sn = .

: , ,

2 k 1

=

,

Se roppresenta

f positiva dell'insieme dei

volume

il

è su

,

parallelepipedi

Definizione INTEGRALE RETTANGOLO

DOPPIO SU UN

:

b] R

[c R

d]

[a

4 limitata dice Integrabile

- ai an de

x

: :

,

,

I finito limite di

il

· Su -

per n dalla punti

dei

scelta

deve

limite

il dipendere

non

· PL K

,

denotiamo

Questo anR

detto di f

limite INTEGRALE lo

DOPPIO

viene e

S y)

f(x dxdy lin

=

, D

M -

Dirichlet

Funzione di

1]

[0

f +R

: - &

, 1 R

e

De x

D f(x) =

- altrimenti

O

D

O

Siccome limite dipende dalla

esiste dei

il di acelta punti

Sn se ,

,

& funzione INTEGRABILE

è NON

una

Teorema INTEGRABILITA DELLE FUNZIONI CONTINUE

: sull

[c

R Ja b] I integrabile

d]

Sia 7

f allora

continua

: e

=

: x ,

, ,

Teorema DI RIDUZIONE SU RETTANGOLI

: b]

[a 0] R

[c (quindi .

integrabile)

R Allora

f

Sia continua

: -

: x ,

, todecimo

1 y) d

dxdy

7 (x , d fissato

b X :

6) dy

dx

f(x y)

,

INTEGRALI GENERICI

DOPPI SU DOMINI

-R

Sia 2-M

f

limitato

r : t

d]

x [c creR

[a

FR b]

Siccome & limitato

è = .

,

,

Definiamo y D

.

d

E R-DR

: come C

/

& f(x (x

y) y)

f(x ,

y) , /

=

, R & *

o Q b

Diciamo che dure

integrabile integrabile

f a

è è poniamo

au se :

( f) F(x y)

f(x y)dxdy dxdy

: = ,

,

Se f R

che

implica sia

contina 1 continua Du

su non

Definizione SEMPLICI/REGOLARI

INSIEMI

: R

b]

[a

ECR t

J

dice continue

Ai y-Demplice -

De :

gz

gr c

· , , .

(x gz(x)

y) b]

[a

R2

E gu(x)

> =

=

+

x

= y

:

, - ,

, **

d]

7

ECR2 [C

he

dice L

X-semplice t

si Continue

se

· C

: -

, .

, 22(x))

(x y) d

[c

R2

E 2,(x)

> =>

X

-

+

y

= :

, - ,

,

E regolare

dice finito

di di insiem

di mion

è un

· numero

se un

semplici

X y

e &R

Sia

Teorema REGOLARE

insieme

r un

: R

Sia funzione

f continua s

Du

una

:

Allora f integrabile

è r

su

Un chiuso limitato

regolare è

insieme insieme e

· un

Teorema RIDUZIONE PER DOMINI SEMPLICI

:

-DR

f Continua

2

: allora vole

C'y-semplice

De

· :

Sec cx

↓ e

f y) oly

dxoly = ,

allora

2 l'X-semplice vole

De

· :

dxolyoyecx

Af o xy e

y)

,

INSIEMI MISURA

DI NULLA

Definizione PEANO

MISURA SECONDO

NULLA JORDAN

INSIEMI DI

:

RER Peamo-Jordan)

limitato (secondo

dice MISURABILE

di De

funzione

la 4 1de(X y) Er

,

f(x y) : =

, ERIR

y)

(X

o se ,

IR 2) integrabile

rettangolo contenente è au e

misurabile

Osservazione regolare funzione

, la

poiché

insieme e è

in

:

costante uguale al particolare re

è in continua

2 Au

Du

quindi semplici

continua insieme

cioscu y

X

du , .

Proposizione (Caratterizzazione mullal

degli insiemi misurabili di misura

R

Sia di vole

nulla

misurabile la seguente

E

r misura de

o

proprietà R

u

1

R un

ER

rettangolo

Dia & 2

con e e

Rin

Auddivido Dottorett M

nxn .

chiamo del

An di

l'area minore

tutti sottorettangoli che intersecano

i n

Elle

An-DO

Allora Am

M D &

-

Proposizione -

[a b) funzione allora

continua

Dia una

g :

· ,

, ((x g(x)

b]

[a

y)EM2/X

gof(g) insieme di

è

y minori

un

= =

,

,

, nullo

l'unione insiemi

finito di di Mulla

di misura è

muro

un

· m

insieme di nulla

misura

bordo ha

frontiera di

il regolare sulla

insieme misura

o

· un

Teorema :

CR2 dominio

Sia regolare

r R Supponiamo

f limitata

Sia funzione

: una .

[(X y)]

f

y/tr di

E (X

è nulla

continua in misura

: sia

: non

, ,

Allora integrabile

f è r

su

Teorema : [c

-

Fax

: RIE

limitata Ed i

continua

e Du con

Ax

-

Body editi

e

PROPRIETA DELL'INTEGRALE DOPPIO R-

R 7 integrabili

Sia limitato

re .

misurabile su

g :

e ,

R Allora

E

c .

1) LINEARE f f integrabili vole

c sono e :

e

g

+ . (ff(x fg(x

(f(x y)dxy

y)dxdy

y)dxdy

y) g(x

+ = +

, ,

,

, e

cff(x

(((f(x y) dxdy y)dxdy

= ,

,

e (Cdxdy /Sc Edxdy

In particolare = . E

· e

se

SFdxdy (n)

c c

=

. -

2) POSITIVITA (f(x y)dxdy

fx0ann >

+ 0

,

e

3) RISPETTO

MONOTONIA ALL'INTEGRANDA

&g(x

ff(x

fxgaun y)

y)dxdy dx y

=

- ,

,

In particolare + y)dxdy)

1f )g(x

y)dxdy)

f(x ,

,

4) RISPETTO INTEGRAZIONE

MONOTONA DOMINIO

AL DI

r'er misurabile integrabile

allora

fo f vole

r è su s e

su

,

& f) f(x y) y

y)dxdy

f(x dx

= ,

,

5) regolari

la di

vi mulla

1 112 misura

e ,

,

f fè

integrabile integrabile

è 12

ric

su su

,

vole

Ul2

es e

( f)

f) f(x f(x y)

y)dxdy y)dxdy dxdy

f(x +

= , ,

,

d Ul2 e

,

6) ANNULLAMENTO

+f)

(21 y)dxdy

f(x

0 0

= ,

PROPRIETA' DOPPIO

DELL'INTEGRALE FUNZIONI CONTINUE

DI

Teorema 1M limitato misurabile

e

:

PM Allora

: volgono

2 limitata continua

.

e :

-

7 Proprietà

i) di amullamento

Se ruoto

operto

e non e

, (f(x

a)f0sur dxdy

y) 0

; =

,

f 0 R

= an

S

6) y)dxdy FBER

f(x palla opera

0

=

,

f 0

= L

Del

ii) Teorema della media Yo)

(Xo

Se esiste

allora t

è Ir/ -

e &

0

>

convesso C

, .

f(x0 y0) 6)

= dxdy

f(x y)

, ,

Teorema FORMULA 12

DEL CAMBIO VARIABILE IN

DI

:

DER2

Sia dominio regolare

#

Sia D

f Continua

-4

: b)