Analisi matematica 2 - Integrali multipli

TEOREMA (FORMULA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILI

2 0

Siano e due domini regolari di . Siano con e

′ ℝ : Ω → ℝ, ∈ (Ω),

′

: Ω → Ω

1 ′ ′

Una mappa biunivoca, e tale che in .

(Ω ) det ≠ 0 Ω

Allora vale l’identità (,

(∬ (, ) ) = (∬ ((, ), (, ))|det )| )

Ω Ω′

′

Il fattore è detto fattore di distorsione delle aree: generalizza nella formula di

(, ()

|det )|

integrazione per sostituzione.

ESEMPIO

̅ 2

Sia . Sia una funzione continua.

Ω = ((0,0)) ⊂ ℝ (, )

Come possiamo riscrivere, mediante coordinate polari:

(∬ (, ) ) Ω

= (, ) = cos

(, ): { = (, ) = sin

Quindi la rappresentazione di mediante coordinate polari è

Ω

′ 2

{(,

Ω = ) ∈ ℝ : 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2}

Possiamo verificare che (,

) =

Se potessimo applicare il teorema del cambiamento di variabile otterremmo la formula:

(∬ (, ) ) = (∬ ( cos , sin ) )

Ω Ω′

Tuttavia, osserviamo che:

′

1) non è biunivoca

: →

Infatti: E:

[0,2] [0,

∀ ∈ ∀ ∈ ]

(0, ) = (0,0) (, 0) = (, 2)

2) per

(,

det ) = = 0 = 0

Giustifichiamo la formula di integrazione in coordinate polari

(∬ (, ) ) = (∬ ( , ) )

′

OSSERVAZIONE

Vale una versione generalizzata del teorema di cambiamento di variabili sotto queste ipotesi:

′

i. ( )

∈

′ ′ ′ ′

′

ii. tale che restrizione di da a

} )

∃{ ⊂ : → = ( Ω Ω

k

Soddisfi le ipotesi del teorema ∀ ∈ ℕ

iii. Valgono le identità

( ) = () (′ ) = (′)

→∞ →∞

APPLICAZIONE ALLE COORDINATE POLARI

Su ciascun la mappa soddisfa tutte le ipotesi del teorema di cambiamento di variabili (i. e ii.) e inoltre

Ω′

k 1 1

′ ′

)

(Ω = ( − ) (2 − ) → 2 = (Ω )

k →∞

1 1

2 2 2

)

(Ω = − − ( − ) → = (Ω)

k 2 2

2 →∞

Possiamo applicare il teorema generalizzato per giustificare la formula:

(∬ (, ) ) = (∬ ( cos , sin ) )

Ω Ω′

Più in generale, se, ad esempio:

′ 2

{(, () ()}

Ω = ) ∈ ℝ : ≤ ≤ , ≤ ≤

1 2

′

Allora, posto vale la formula:

Ω = (Ω ) ()

2

(∬ (, ) ) = ∫ ∫ ( cos , sin )

()

Ω 1

ESEMPIO 2 2 2

{(,

Ω = ) ∈ ℝ : + ≤ 1, ≥ 0, − ≤ ≤ }

′ 2

Ω = {(, ) ∈ ℝ : − ≤≤ , 0 ≤ ≤ 1}

4 4

Calcoliamo ′

2 2 2 2 2 2

)

(∬( − ) = (∬( cos − sin ) dρ dθ)

Ω Ω

Quindi

4 4 1

1 4

3 2 2

= ∫ ∫ (cos − sin ) = ∫ [ ] ∙ cos(2)

4

0 0

− −

4 4

È un integrale in una variabile che risolvo come

1 1 sin(2) 1

4

4

∫ cos(2) = ∙ [ ] =

4 4 2 4

− −

4 4

INTEGRALI TRIPLI

TEOREMA (FORMULA DI INTEGRAZIONE “PER FILI”)

Siano un dominio normale rispetto al piano (rappresentazione per fili) e una funzione

⊂ ℝ : → ℝ

continua.

Allora vale la formula (,)

(∭ (, , ) ) = (∬ [∫ (, , ) ] )

(,)

Dove (,)

(, ) = ∫ (, , )

(,)

CASO SPECIALE: CALCOLO DI UN VOLUME

() = (∭ 1 ) = (∬[(, ) − (, )] )

TEOREMA (FORMULA DI INTEGRAZIONE “PER STRATI”)

Siano un dominio rappresentabile per strati e una funzione continua.

⊂ ℝ : → ℝ

Allora vale la formula

(∭ (, , ) ) = ∫ (∬ (, , ) )

Dove () = (∬ (, , ) )

Ω z

SOLIDI DI ROTAZIONE

+

Sia una funzione continua.

[,

: ] → ℝ ̂

Per ogni l’insieme è una circonferenza centrata in

∈ [, ], Ω (0,0).

̂

Consideriamo il solido di rotazione generato dalla rotazione

Ω

completa attorno all’asse del grafico di

= ()

COROLLARIO (VOLUME DI SOLIDI DI ROTAZIONE) (con dimostrazione)

Vale la formula di Pappo-Guldino

̂

[()]

(

) = ∙ ∫

ESEMPIO 3 2 2

Sia Calcolare il volume di E

{(,

≔ , ) ∈ ℝ : 4 + 9 ≤ ≤ 1}.

Considero l’ellisse: 2 2 2

{(, ) 1}

≔ ∈ ℝ : 4 + 9 ≤

Dalla formula di integrazione per fili: 1

() = (∭ ) = (∬ (∫ ) )

2 2

4 +9

Cioè 2 2 )

(∬(1 − 4 − 9 )

Coordinate ellittiche 1 1 1

= cos cos − sin

2 2 2

: { → (, ) = [ ]

1 1 1

= sin sin cos

3 3 3

1

(,

det ) =

6

′ 2

{(,

= ) ∈ ℝ : 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2}

Quindi

2 2 2 2 2 2

)

(∬(1 − 4 − 9 ) = (∬(1 − cos − sin ) ) =

6 ′

2 1

1 1

2 3

) ( )

= (∬(1 − ) = ∫ (∫ − ) = ⋯ =

6 6 12

′

0 0

ESEMPIO

Consideriamo dove tale che

[, [,

: → ℝ = ] × ]

(, ) = () ∙ ()

Si dice funzione a variabili separate o separabili

Integro su R

∬ (, ) = ∫ (∫ (, ) ) = ∫ (∫ () ∙ ℎ() )

Ma in è costante

(), ,

= ∫ () (∫ ℎ() )

Ma in è costante

ℎ() , ,

∫

= (∫ () ) ∙ (∫ ℎ() )

Per gli integrali tripli continua a valere un’analoga formula di cambiamento di variabili.

2 casi particolari

COORDINATE CILINDRICHE

Siano [0,2],

≥ 0, ∈ ∈ ℝ =

: { =

=

Si ha che (,

, ) =

E quindi (∭ (, , ) ) = (∭ ( cos , sin , ) )

Ω Ω′

COORDINATE SFERICHE

Siano [0,2],

≥ 0, ∈ ∈ ℝ =

=

: { =

Si ha che

(,

, ) =

E quindi 2

(∭ (, , ) ) = (∭ ( sin cos , sin sin , cos ) sin )

Ω Ω′

ESEMPIO 3 2 2

≔ {(, , ∈ ℝ : + ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1}

Calcolo 2

(∭ )

Sia ′ 3

≔ {(, , ) ∈ ℝ : 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 1}

Quindi 2 2 2 3 2

(∭ ) = (∭ cos ∙ ∙ ) = (∭ cos )

′ ′

Lo calcolo come 1 2 1

3 2

= (∫ ) ∙ (∫ cos ) ∙ 1 = ∙∙1 =

4 4

0 0

ESEMPIO 3 2 2 2

Ω ≔ {(, , ∈ ℝ : + + ≤ 1}

Calcolo 2 2 2

(∭( + + + 1) ) =:

Ω

Sia ′ 3

{,

Ω ≔ , ∈ ℝ : 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ }

Quindi 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= (∭( sin cos + sin sin + cos + 1) sin ) ′

Ω

1

4 2 4 2

= (∭( + ) sin ) = ∫ ( + ) ∙ ∫ sin ∙ 2

′

Ω 0 0

1 1 32

= ( + ) ∙ 2 ∙ 2 =

5 3 15

INTEGRALI MULTIPLI IMPROPRI

Due casi principali 2) LIMITATO MISURABILE

1) CON

() : → ℝ

: → ℝ, ∈ ILLIMITATA E/O DISCONTINUA

ILLIMITATO

CONSIDERIAMO IL CASO ≥

1] CON ILLIMITATO

()