Analisi matematica 2

Domanda Teorica - 7 punti

Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale

Soluzione → ∈

Sia f : [a, b] continua. Allora esiste c tale che

R R

b

Z

1 f (x)dx = f (c)

−

b a a

Dimostrazione

Essendo f continua in [a, b], per il Teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo (= M )

e minimo (= m). Dalla proprietà di monotonia si ha che:

b b b

Z Z Z

1 1 1

≤ ≤

m = mdx f (x)dx M dx = M

− − −

b a b a b a

a a a

b

Z

1 f (x)dx è compreso tra il massimo e il minimo di f . Per la proprietà

quindi il valore −

b a a ∈

dei valori intermedi delle funzioni continue, tale valore sarà uguale a f (c) per qualche c

[a, b].

Esercizio 1 - 6 punti

Si consideri la serie +∞ n

x +1

X 2n

3 3

n=1

∈

con x R. ∈

1. (3 punti) Stabilire per quali valori x la serie converge.

R 5

−

2. (3 punti) Ricavare la somma della serie per x = 4

Soluzione

1. (3 punti) +∞ +∞ +∞

n n

x +1 9(x + 1)

X X X

2n n

3 = = (3x + 3)

3 3

n=1 n=1 n=1

La serie è pertanto una serie geometrica di ragione q = 3x + 3. Affinchè converga deve

essere 4 2

|3x −1 −4 −2, − −

+ 3| < 1, < 3x + 3 < 1, < 3x < <x< .

3 3

2

2. (3 punti) +∞ +∞ +∞

n n 0

5 3 3 3

X X X

n

· − − − − −

(3 + 3) = = =

4 4 4 4

n=1 n=1 n=0

1 1 4 3

− − − −

= 1= 1= 1=

3

3 7 7

1+

− −

1 4

4

Esercizio 2 - 6 punti

Si consideri la successione: 2

sin n

a =

n k

n (n + 1)

1. (3 punti) Si stabilisca, al variare di k, il carattere della successione.

2. (3 punti) Per k = 2 si stabilisca il carattere della serie

+∞

X a n

n=1

Soluzione ∈

1. (3 punti) Una successione a è convergente se esiste un valore l tale che

R

n lim a = l

n

n→+∞

→

Se n +∞ 2 2 2

sin n sin n sin n

∼ ∼

k k+1 k k+1

n (n + 1) n + n n

2

≤ ≤ ∀n.

dove al numeratore abbiamo che 0 sin n 1

≥ ≥ −1

Quindi se k + 1 0 ovvero k 2 2

sin n sin n

∼

lim lim =0

k k+1

n (n + 1) n

n→+∞ n→+∞

−1,

altrimenti, per k < il limite è +∞ e dunque,

≥ −1

converge se k

a =

n −1

è divergente se k <

2. (3 punti) Per k = 2 +∞ 2

sin n

X 2

n (n + 1)

n=1

è una successione a termini positivi. Inoltre

2

sin n 1 ∀n ∈

< N

2 3

n (n + 1) n

3

Poichè +∞ 1

X 3

n

n=1

converge (serie armonica generalizzata), allora anche

+∞ 2

sin n

X 2

n (n + 1)

n=1

converge per il criterio del confronto

Esercizio 3 - 7 punti

Si ricavi la funzione primitiva di x +1

f (x) = 2 −

x + x 6

passante per il punto di coordinate P = (1, 0)

Soluzione

Per ricavare la famiglia di primitive, bisogna calcolare

Z x +1

2 −

x + x 6

che è l’integrale indefinito di una funzione razionale fratta. Scomponiamo il denominatore,

osservando che ∆ = 1 + 24 = 25 > 0. − −

x +1 A B A(x 2) + B(x + 3) Ax + Bx 2A + 3B

x +1 = = + = =

2 2

− − − − −

x + x 6 (x + 3)(x 2) x +3 x 2 (x + 3)(x 2) x + x 6

−

(A + B)x 2A + 3B

= 2 −

x + x 6

Impostiamo dunque il sistema di uguaglianze: 3 2

−

− − A =1

A + B =1 A =1 B A =1 B =

5 5

35

−2A −2(1 −

+ 3B = 1 B) + 3B = 1 5B = 3 B =

Quindi

Z Z Z

x +1 2 1 3 1 2 3

|x |x −

dx = dx + dx = ln + 3| + ln 2| + C

2 − −

x + x 6 5 x +3 5 x 2 5 5

Tra le infinite primitive, calcoliamo ora quella passante per il punto P = (1, 0):

2 3 2 3 2

|4| | −

ln + ln 1| + C = ln 4 + ln 1 + C = ln 4 + 0 + C

0= 5 5 5 5 5

2

−

C = ln 4

5

e 2 3 2

|x |x − −

g(x) = ln + 3| + ln 2| ln 4

5 5 5

4