Analisi matematica 2 - Funzioni di più variabili

APPLICAZIONE: ORTOGONALITÀ TRA GRADIENTE E LINEE DI LIVELLO

" *

: ⊆ ℝ → ℝ, ∈ ().

Sia con aperto e Poniamo

{(, 0}

)

≔ ) ∈ : ( , = =

! ! !

) ( )

∃( , ) ∈ ( , = , ≠ .

Supponiamo che tale che e Vale il teorema del Dini:

∃, : → ∀ ∈

e tale che, 3, ()4 = =

∈ ): () = T

Possiamo parametrizzare una curva come ( = ()

*

∈ ()):

La curva è regolare ( 1 & ()4

() ≔ 31,

[ ( )]

& "

X1 +

Calcoliamo 1 1

( (

⟨3(), ()4, ()⟩ = ^3 , 4, _1, − `a = ^ ∙ 1 + _− `a =

( ) ( )

[ ()] [ ( )]

& " & "

X1 + X1 +

) )

Questo significa che ⊥ → ⊥ → ⊥

GENERALIZZANDO

" * )

: ⊆ ℝ → ℝ, ∈ (). ∈ ℝ, ∃( , ) ∈ ( , =

Sia con aperto e Dato se tale che e

! ! ! !

( , ) ≠ 0:

) ! ! {(, }

≔ ) ∈ : (, ) =

+

Scegliamo (, ) ≔ (, ) −

Notiamo che (-) (/)

= , ∇ = ∇

+

∀ ∈ ℝ

Quindi, ⊥

OSSERVAZIONE ! ) ( )

, ∈ () ( , = , ≠

Se è continua in e e

(

(, ) = 0

Allora l’equazione definisce implicitamente un’unica funzione

( (

: − , + ) → − , + )

! ! ! !

∀ ∈

Tale che, ((), ) =

*

∈ ()

E quindi, se ((),

)

& ()

= − ((),

)

)

( , = (, )

IL TEOREMA DEL DINI NON È APPLICABILE SOLO QUANDO

OSSERVAZIONE " "

∈ (). ∈ ().

Supponiamo che Mostriamo che

Sappiamo che ()4

3,

(

& ()

= − 3, ()4

)

Derivando, si ottiene )" ("

− 2 +

(( () ( ) ))

&& !

()

=⋯=− ∈ ()

)1

"

∈ ().

E deduciamo che

Si può dimostrare, iterando il ragionamento e rimanendo sempre nelle ipotesi del teorema del Dini, che

∈ (), ∈ ().

se allora

OSSERVAZIONE "

∈ ()

Supponiamo che e che )

( , = 0

! !

( , ) ≠ 0

l ) ! !

( )

, = 0

( ! !

)" ("

− 2 +

(( () ( ) ))

&& ( )

=−

! )1

( )

, > 0, x è punto di minimo relativo

(( ! ! 0

=− =m

< 0, x è punto di massimo relativo

( )

, 0

) ! !

ESEMPIO (, ) ≔ − − log = 0 =

Verificare che l’equazione definisce implicitamente, in un intorno di

(1,1), = (). (; 1).

una funzione Determinare l’equazione della retta tangente a in P e calcolare

4 "

(, ) ≔ − − = 0

Prima richiesta: verificare che l’equazione definisce implicitamente, in un

= (1,1), = ().

intorno di una funzione

"

{(, 0}

: ≔ ) ∈ ℝ : >

Dominio di (1,1) = 0:

Verifichiamo che (, ) = 1 − 1 − 0 =

Calcoliamo le derivate parziali = −

( 1

= 1 − −

)

(1,1)

Valutate in (1,1)

= −1

(

(,

) = 1 − 1 − 1 = −1 ≠

Seconda richiesta: determinare l’equazione della retta tangente a in P

4

(1) = 1

E (1,1)

(

& (1)

= − = −1

(1,1)

)

L’equazione della retta tangente in P è: )

− = ( −

! !

& (1)(

− (1) = − 1)

Cioè = − +

(; 1)

Terza richiesta: calcolare "

′′

Calcoliamo − − log = 0

Deriviamo Deriviamo ancora

&

&& & "

( )

−

& &

− − − = 0 && & & &&

− − − − =0

"

& (1)

= 1, (1) = 1, = −1

Sostituiamo && (1)

= 3

Quindi && (1)

& "

(; (1) ( (

) = (1) + ∙ − 1) + − 1)

2

3 "

( (

= 1 − − 1) + − 1)

2

(

= − + − )

FUNZIONI A VALORI VETTORIALI

6 7

⊆ ℝ : → ℝ :

Dato , consideriamo una funzione

( ) (), (), ()4

, , … , → 3 … ,

* " 6 * " 7

= ,

Se si dice campo vettoriale.

Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità si studiano componente per componente.

∈ ↔ = 1, … , ,

è derivabile in è derivabile in per ogni e in tal caso possiamo definire la matrice

! 8 !

:

Jacobiana di

⎡ ⎤

( ) ⋯ ( )

⎢ ⎥

( )

= ⋮ ⋱ ⋮

⎢ ⎥

⎢ ⎥

( ) ⋯ ( )

⎣ ⎦

TEOREMA (JACOBIANA DI FUNZIONI COMPOSTE)

,

Siano due aperti e

: ⊆ ℝ → ℝ

: ⊆ ℝ → ℝ

() ⊆

Tali che

Definiamo 7

: → ℝ

Come (

() = ∘ )() = 3()4

* *

Se e sono funzioni allora anche è e

()

= 3()4 ∙ ()

Infatti: ( × ) = ( × ) ∙ ( × )

INVERTIBILITÀ LOCALE 6 6

: ⊆ ℝ → ℝ

Consideriamo una funzione , con aperto.

DEFINIZIONE

6 *

⊆ ℝ ∈ ().

Siano aperto e

∈ ⊆ |

Diciamo che è localmente invertibile in se esiste un intorno di tale che (restrizione

) ().

di su è invertibile su @* *

(| )

() |

Se inoltre è aperto e e sono entrambe funzioni , diremo che è un diffeomorfismo locale.

? ?

TEOREMA DI INVERTIBILITÀ LOCALE

6 6 *

⊆ ℝ : → ℝ ∈ () ∈ .

Siano aperto e e Supponiamo che:

!

( ) ≠

∃ ( )

Allora un intorno di e un intorno di tale che

: →

@

: →

È biunivoca e è anch’essa di classe .

∀ ∈ :

Inoltre, @

@

() ()¦§

= ¤ ¥

!

Infatti @* ()4

3 =

Derivando @* ()4 ()

3 ∙ =

!#

4 4

E otteniamo @*

@*

() ()4©

= ¨ 3

!# 4

4

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI

* "

, ∈ ⊆ ℝ

Siano in un aperto . Poniamo

{(, 0}

≔ ) ∈ : (, ) =

max , min , .

Determiniamo ovvero massimo e minimo vincolati di sull’insieme

A

A (, ) , (, ) =

In particolare, nell’espressione le variabili sono vincolate dall’equazione

DEFINIZIONI

( )

, ∈ ,

Dato un punto esso è:

! ! )

(, ) ≤ ( ,

PUNTO DI MASSIMO VINCOLATO ∀(, ) ∈ )

(, ) ≥ ( ,

PUNTO DI MINIMO VINCOLATO ∀(, ) ∈

( ):

∃ ,

B ! !

PUNTO DI MASSIMO RELATIVO )

(, ) ≤ ( ,

VINCOLATO ( )

∀(, ) ∈ ∩ ,

B ! !

( ):

∃ ,

B ! !

PUNTO DI MINIMO RELATIVO )

(, ) ≥ ( ,

VINCOLATO ( )

∀(, ) ∈ ∩ ,

B ! !

Un punto di massimo o minimo (relativo) vincolato si dice punto di estremo (relativo) vincolato.

DEFINIZIONE

( , ) ∈ .

Sia il versore tangente (se esiste) a in

( , )

Diciamo che è un punto critico (o stazionario) vincolato per su se

( )

, =

Questa è la derivata tangenziale.

VINCOLI ESPLICITABILI

1) = ()

[, ]

: → . : m

Supponiamo che sia il sostegno di una curva regolare e semplice: = ()

Per trovare massimo e minimo è sufficiente porre

(

() = ∘ )() = 3(), ()4

E osservare che

max = max () min = min ()

C D∈[+,H]

C D∈[+,H]

∈ (, ) :

In particolare, se è un punto di massimo o di minimo relativo per

! & &

( ) ( ) ( ) ( )

, + , = 0

( ! ! ! ) ! ! !