Analisi matematica 2

R

, e la sua norma rappresenta la rapidità di variazione in quella direzione.

x 0

Esempio

Sia , con .

2 2 2

∈

f (x, y) = x + y (x, y) R

Calcoliamo il gradiente:

∂f ∂f

∇f (x, y) = (x, y), (x, y) = (2x, 2y).

∂x ∂y

19

CAPITOLO 3. DERIVATE PARZIALI, GRADIENTE, DIFFERENZIABILITÀ E CONSEGUENZE

In particolare, nel punto (1, 2): ∇f · ·

(1, 2) = (2 1, 2 2) = (2, 4).

Il gradiente indica che nel punto la direzione di massima crescita di è quella del vettore

(2, 4) (1, 2) f

e la rapidità di crescita in quella direzione è:

(2, 4), √

p 2 2

∥∇f 2 + 4 = 20.

(1, 2)∥ =

3.3 Differenziabilità

Definizione di Differenziabilità

Definizione

Sia un aperto non vuoto e sia una funzione. Diciamo che è

n m

⊂ →

Ω f : Ω f differenziabile

R R

se esiste un’applicazione lineare continua

∈

x Ω

in 0 n m

→

L : R R

tale che

− − −

f (x) f (x ) L x x

0 0

lim = 0.

∥x − ∥

x

x→x 0

0

In questo caso la mappa è unica e viene chiamata , denotata con

L f x df

differenziale di in 0 x

0

(oppure df (x )).

0

Osservazioni:

• Le funzioni lineari sono sempre differenziabili ovunque.

• Il limite definisce in modo univoco la trasformazione lineare L.

Proprietà e Relazioni della Differenziabilità

Proprietà della differenziabilità

• La di in implica automaticamente la sua in .

f x x

differenziabilità continuità

0 0

• Se è differenziabile in , allora per ogni vettore la di lungo

n

∈

f x v f

derivata direzionale

R

0

si ottiene applicando la differenziale a

v v:

∂f (x ) = df (x )[v].

0 0

∂v

• Nel caso scalare la differenziale si esprime tramite il

→

f : Ω gradiente:

R, ∂f

∇f ·

df (x )[v] = (x ) v = (x ).

0 0 0

∂v

Teorema del Differenziale Totale

Sia una funzione le cui derivate parziali , per esistano su e siano

∂f

n

⊂ →

f : Ω i = 1, . . . , n, Ω

R R ∂x

i

continue in un punto Allora è automaticamente differenziabile in e, per ogni vettore

∈

x Ω. f x

0 0

,

n

∈

v = (v , . . . , v ) R

1 n n ∂f

X

df (x )[v] = (x ) v .

0 0 i

∂x

i

i=1

Formula del Differenziale Composto

Se è differenziabile in e è differenziabile in allora

m n n p

⊂ → ∈ ⊂ →

g : U x U f : Ω g(x ),

R R R R

0 0

la composizione è differenziabile in , e vale

◦

f g x 0

◦ ◦

d(f g)(x ) = df g(x ) dg(x ).

0 0 0

20

CAPITOLO 3. DERIVATE PARZIALI, GRADIENTE, DIFFERENZIABILITÀ E CONSEGUENZE

3.4 Proprietà del Gradiente, delle Derivate Parziali e della Differenziabilità

Linearity delle Operazioni Differenziali

Siano due funzioni differenziabili in e sia una costante. Allora sia le

n m n

→ ∈ ∈

f, g : x c

R R R R

0

derivate parziali, sia il gradiente, sia la differenziale rispettano le regole di linearità:

1. Additività ∂f ∂g

∂(f + g) ∇(f ∇f ∇g(x

(x ) = (x ) + (x ), + g)(x ) = (x ) + ),

0 0 0 0 0 0

∂x ∂x ∂x

i i i

d(f + g)(x ) = df (x ) + dg(x ).

0 0 0

2. Omogeneità di grado 1 ∂f

∂(c f ) ∇(c ∇f

(x ) = c (x ), f )(x ) = c (x ),

0 0 0 0

∂x ∂x

i i

d(c f )(x ) = c df (x ).

0 0

21

Capitolo 4

Calcolo dei Massimi e Minimi Locali

4.1 Punti di Estremo

Sia un aperto e sia Un punto si chiama

n

⊆ → ∈

Ω f : Ω x Ω

R R. 0

• se esiste tale che

r > 0

massimo locale ≤ ∀ ∈ ∩

f (x) f (x ) x B (x ) Ω;

0 r 0

• se esiste tale che

r > 0

minimo locale ≥ ∀ ∈ ∩

f (x) f (x ) x B (x ) Ω.

0 r 0

Analogamente, è un (risp. se le disuguaglianze precedenti

x massimo assoluto minimo assoluto)

0

valgono per ogni ∈

x Ω.

Un punto di massimo (o minimo) assoluto è in particolare un estremo locale.

Immagina la funzione come un paesaggio in rilievo. Un è una “vetta” in

f

Spiegazione intuitiva: massimo locale

cui, muovendosi un po’ in qualsiasi direzione, si scende sempre o si rimane allo stesso livello. Viceversa, un minimo

è una “conca” o valletta, dove ogni piccolo spostamento porta a un’altezza uguale o superiore. Un

locale estremo

è il punto più alto (o più basso) di tutto il territorio esplorato, non solo nella zona circostante.

assoluto

4.2 Condizione Necessaria per Estremi Locali

Sia differenziabile in Chiamiamo o se la

→ ∈

f : Ω x Ω. x punto stazionario punto critico

R 0 0

differenziale si annulla: ⇐⇒ ∇f

df (x ) = 0 (x ) = 0.

0 0

Ogni estremo locale deve essere necessariamente stazionario.

Pensate a come a una superficie ondulata. In un la pendenza si azzera,

f

Spiegazione intuitiva: punto critico

quindi lì la superficie è “piatta” localmente. Questo significa che, muovendosi di poco in qualsiasi direzione, non

si trova subito né un punto più alto né uno più basso. Tuttavia, non tutti i punti piatti sono estremi: bisogna

poi controllare la natura (massimo, minimo o sella). il è il vettore che indica la

∇f (x )

Ricordiamo: gradiente 0

di in . Inoltre, la sua

f x

direzione di massima crescita norma

0 ∥∇f (x )∥

0

rappresenta la che può avere spostandosi in quella direzione.

f

massima velocità di variazione

4.3 Matrice Hessiana

2

C

Definizione di Classe

Diremo che è di classe se possiede tutte le derivate parziali fino al secondo

n 2

⊆ →

f : Ω C

R R

ordine e queste derivate seconde sono funzioni continue in tutto Ω.

23

CAPITOLO 4. CALCOLO DEI MASSIMI E MINIMI LOCALI

Definizione di Matrice Hessiana

Sia una funzione di classe . Allora la di in un punto

n 2

⊆ →

f : Ω C f

matrice Hessiana

R R

è la matrice

∈ ×

x Ω n n:

0 2 2

2 

 ∂ f ∂ f

∂ f ···

(x ) (x )

(x ) 0 0

0

21 ∂x ∂x ∂x ∂x

∂x 2 1 n 1

2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f 

 ···

(x ) (x ) (x )

0 0 0 

 22

∂x ∂x ∂x ∂x

∂x

1 2 n 2 .

H (x ) = 

 . . ..

..

f 0 .. .. 

 . . 

 

 2 2

2 ∂ f ∂ f

∂ f ···

(x ) (x ) (x )

0 0 0

2

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

1 n 2 n n

Questa matrice è simmetrica grazie alla continuità delle derivate seconde (teorema di Schwarz).

Utilità

La matrice Hessiana è un potente strumento per capire se un punto stazionario di una funzione è un

max, un min. o un punto di sella. Analizzando gli autovalori della matrice in quel punto, possiamo

determinare la natura del punto stazionario.

4.4 Analisi dei massimi e minimi locali e punti di sella

L’analisi del segno, del valore e della presenza di autovalori nulli (λ della matrice Hessiana consente

H

= 0) (x )

f 0

di trarre le seguenti conclusioni riguardo alla natura del punto :

x 0

1. Se tutti gli autovalori di sono positivi, allora è un punto di per .

H (x ) x f

minimo locale

f 0 0

2. Se tutti gli autovalori di sono negativi, allora è un punto di per .

H (x ) x f

massimo locale

f 0 0

3. Se ha allora non è né un punto di massimo né un

H (x ) x

sia autovalori positivi che negativi,

f 0 0

punto di minimo locale per . In tal caso, diciamo che è un per .

f x f

punto di sella

0

4. Se ha sicuramente il punto non è un

H (x ) x

sia autovalori positivi, (risp.negativi), che nulli

f 0 0

max, (risp. min), e il punto può essere di sella o di min,(risp. max.). È quindi necessario usare

come lo studio del comportamento della funzione nell’intorno di . (Risoluzione

B x

un altro metodo r 0

dettagliata, trucchi, ed esempio sono presenti nel volume ’Metodo di Impostazione degli esercizi’.

Utilizzo della regola di Cartesio per l’analisi dei segni

La regola di Cartesio permette di stimare il numero di cambi di segno degli autovalori di un polinomio, sempli-

ficando il calcolo diretto. È utile per identificare segnali di punti di sella o massimi/minimi locali.

In breve:

• Il numero di radici reali positive corrisponde ai cambi di segno tra i coefficienti consecutivi del polinomio.

• Il numero di radici reali negative si trova applicando la regola al polinomio con sostituito da −x.

x

Esempio

Consideriamo la funzione 3 2

−

f (x, y) = x 3xy .

Il gradiente è: 2 2

∇f − −6xy).

(x, y) = (3x 3y ,

Ponendo otteniamo i punti critici:

∇f (x, y) = 0 (0, 0).

La matrice Hessiana è:

−6y

6x

H (x, y) = .

f −6y −6x

24

CAPITOLO 4. CALCOLO DEI MASSIMI E MINIMI LOCALI

Nel punto diventa:

(0, 0)

0 0

H (0, 0) = .

f 0 0

Il polinomio caratteristico è: 2

−

p(λ) = det(H λI) = λ .

f

Applicazione della regola di Cartesio:

1. I coefficienti di sono Non ci sono cambi di segno, quindi non ci sono radici reali positive né

p(λ) (1, 0, 0).

negative (solo radici nulle).

2. La presenza di autovalori nulli implica che la regola di Cartesio non è conclusiva.

3. Analizzando direttamente la funzione nell’intorno di si osserva che assume sia valori positivi

(0, 0), f (x, y)

che negativi, quindi è un

(0, 0) punto di sella. 25

Capitolo 5

Funzioni Parametriche

Questo capitolo, a differenza dei precedenti, è meno rigoroso dal punto di vista matematico, ma si presta a una

comprensione più immediata e intuitiva, utile per l’analisi e l’applicazione a problemi concreti.

5.1 Curve Parametriche

Una curva parametrica in è definita tramite un solo parametro. In particolare, per le curve in (utili per

n 2

R R

risolvere integrali curvilinei e di superficie), una cu